概念印象與線性代數教學

周建華， 吳 霞， 盧 偉

(東南大學 數學學院， 南京211189)

1 引 言

網絡技術的進步，使得在線教學成了大家關注的重點.但是，提高課程的教學效果不能只依賴教學形式和教學手段的豐富和改進，還需要更深入地理解課程內容的特點和學生的學習規律，更科學地設計教學.

與其它公共數學課程相比，線性代數中會出現更多的抽象概念和定理，而對概念正確、有效的理解對學好線性代數極其重要.針對教學過程中的種種現象，常會自問：

(i) 怎樣判斷學生對教學內容的理解？

(ii) 哪些因素會影響學生的理解？

(iii) 怎樣促進學生的理解？

本文將利用[1]在分析人們對數學概念的認知過程時提出的“概念定義”和“概念印象”，介紹筆者對上述問題的一些思考和在教學過程中的一些嘗試.

2 做好教學設計，促進學生對課程內容的理解

2.1 體現“理解”的標志

判斷學生對概念是否理解的一個重要依據是他做題的情況.但是，如果結論只是“是”或“否”的話就太籠統了，因為“理解”有不同的層次.舉個例子：在講到線性相關性時，經常會遇到類似下面的情況：

問題已知向量組α1，α2，α3線性無關，證明α1+α2，α2+α3，α1+α3也線性無關.

學生的證明因為α1，α2，α3線性無關，所以，存在全為零的數k1，k2，k3使得

k1α1+k2α2+k3α3=0，

(1)

因為k1，k2，k3都等于零，所以

k3α1+k1α2+k2α3=0，

(2)

(1)+(2)得

(k1+k3)α1+(k1+k2)α2+(k2+k3)α3=0，

(3)

將(3)整理，得

k1(α1+α2)+k2(α2+α3)+k3(α1+α3)=0，

(4)

因為k1，k2，k3全為零，由(4)，α1+α2，α2+α3，α1+α3也線性無關.

有類似問題的學生不是個別的.[2]形容學生在遇到類似的概念時，“猶如墜入了云里霧里，不知身在何處，更不知要去何方.”

上述過程顯示學生犯了邏輯錯誤的同時，還表明他沒有真正理解線性相關性的概念，他只是試圖按定義的表述方式給出形式化的證明.按照[1，3]的說法，他對線性相關性概念沒有建立起足夠的“概念印象”.

盡管不同國家數學教學的環境不同，課程的設置方式和要求也有差異，但[2-3]的一些觀點對我們仍然具有借鑒的價值.

在刻畫認知結構時，[1]用到了概念定義和概念印象兩個術語.概念定義指對概念非循環方式的準確描述.通常地，在初中及初中之前的數學概念的定義都是非正式的，正式的定義從高中才開始出現.這里所稱的概念印象不一定是指視覺意義上的圖形，而是指對概念的心里層面印象的總和.并不是所有概念印象都是“好”的.比如，講到等腰三角形，人們就會想到兩腰之夾角的角平分線既是三角形的高，也是中線；談到函數，有人就會認為凡函數都有代數表示式.這都屬概念印象.概念定義和概念印象完全是兩碼事.在幼時，依靠 “直覺定義”.像 “白云”，“花朵”，“衣服”等是不需要給出文字形式的定義的，但對此卻有概念印象.有些概念的定義需采用文字形式，如“森林”可以用“許許多多樹在一起就成森林”來引入.這樣的定義假定在我們的視覺印象中有很多很多樹在一起，具有概念印象.

在線性代數中，所有概念都是用文字形式給出的，相應的概念印象則隨學習過程逐漸建立起來.然而，[1]指出，在用到概念時，人們需要的是概念印象，而不是概念定義，概念定義是不活躍的，且容易被忘掉.在思維活動中，概念印象則總要被喚醒.因此，在學習數學時，死記硬背概念的定義沒有意義，對理解概念，形成豐富有效的概念印象才是最重要的.

解決問題的能力當然是判斷學生掌握所學知識的重要方面，擁有有效的概念印象則是衡量學生理解的標志.是否擁有好的概念印象可以從學生具備的能力上體現出來[3].

(i) 回憶而不僅是記住概念的能力

死記硬背概念的學生學習數學總會有很大的困難，但常常會遇到這樣的學生.他們非常努力地想要一字不差地背下概念的定義，但他們的記憶只能保持到期末考試結束.

曾向學生提出過這樣的問題：若向量組α1，α2，α3和β1，β2，β3都線性無關，問：α1+β1，α2+β2，α3+β3是否也一定線性無關？

一些學生會這樣嘗試：設

k1(α1+β1)+k2(α2+β2)+k3(α3+β3)=0，

試探著能否推出組合系數k1，k2，k3都等于零.另一些學生會這樣考慮：若

β1=-α1，β2=-α2，β3=-α3，

則α1+β1，α2+β2，α3+β3中的向量都是零向量，而含有零向量的向量組必定線性相關.

顯然，前一類學生只是試圖逐字逐句地利用概念的定義來回答問題，后一類學生則建立了有效的概念印象，一遇到這個問題，就記起了與概念相關的刻畫，運用相應的命題找到了問題的答案.

(ii) 用自己的語言交流的能力

上面的這個例子也顯示了表征理解的另一個重要標識：用自己的方式表達概念的能力.只靠死記硬背的學生，在處理問題時，思維被束縛在概念定義的形式上，只能逐字逐句地按照定義，形式地解決問題.擁有豐富概念印象的學生則不然，遇到與概念相關的問題時，只要瞥一下這個概念的名稱，他就會將與此有關的各種知識聯系起來，他的經驗就會起作用.他可以根據自己的理解，用自己的表達方式與人交流，而不必強迫自己從概念的原始定義出發，形式化地表達自己的想法.

(iii) 一般化思維的能力

所有的數學概念都是用一般性的術語定義的，但是，學生未必能用一般性的術語來思考.

還是以線性相關性為例.在大多數情形，學生從語義上理解其定義并沒有多大困難.課堂上，在給出定義后，老師都會給出一些具體的行(或列)向量組，判斷其線性相關性.對學生來說，這沒什么困難.學生也知道，要判斷一個具體的向量組的線性相關性，可以把問題化成一個齊次線性方程組，然后用Gauss消元法得出結論.但是，如果討論的向量組不是“具體的”，而是“抽象的”，許多學生就會感到困難.上文提到的那兩個例子就是例證.

(iv) 建立不同主題之間聯系的能力

不同主題之間錯綜復雜的聯系是線性代數區別于其它數學課程的重要特征.還是以線性相關性為例.線性相關性概念貫穿于整個課程之中，它與行列式、線性方程組、矩陣、特征值和特征向量、線性變換、內積等都密切相關.曾經有人說過，線性代數可以從任意一個主題出發建立整個理論體系.也許正因為這個原因，我們才能夠看到各種不同體系、不同設計的線性代數教材.多視角的特點既是線性代數吸引人的地方，也是學生感到困難的原因.事實上，不會建立不同主題之間的聯系，構建有效的概念印象根本無從談起.

2.2 影響“理解”的因素

(i) 背景因素

知識背景是建立豐富概念印象的重要基礎.微積分是與線性代數同時開設的另一門重要的數學課.不難發現在這方面這兩門課有明顯的不同.

在學生眼里，微積分是高中數學的自然延續.在中學，他們學習實數和實數的函數.微積分的討論對象基本沒變.并且，令人印象深刻的是，運用微積分可以解決他們熟悉的，但原先無法解決的問題，比如，不規則圖形的面積、動力學問題等等.相較而言，線性代數與中學數學的聯系要少.盡管中學似乎也涉及諸如線性方程組、解析幾何、內積等，但中學數學與線性代數內容的聯系是表面的.例如，談及線性方程組時，中學里只涉及2×2，至多3×3的方程組，并只關心它們的求解，不考慮這些方程組的表示、解的存在性和唯一性，更不涉及矩陣代數、行列式等.美國曾有人對數學教育專業的研究生做過調查，他們中13%的人認為微積分于其職業沒有什么用處，而對線性代數，這一比例高達45%.數據從一個側面反映了微積分與線性代數的中學數學背景的差異.

另一方面，在中學數學，具有一般意義的證明僅僅出現在幾何.在中學生的印象中，幾何是需要證明的，但算術和代數則不需要.而且，與以往相比，幾何也已被嚴重削弱.高考對幾何證明的要求也差不多只剩下立體幾何中的三垂線定理了，平面幾何已不作要求.因此，相對于“計算”，學生對“證明”顯得生疏.同時，微積分中定理的數量也很有限，而線性代數則需要很多的定理和定理的證明.

從上述比較可以看出，與微積分相比，線性代數與中學數學的聯系要少很多.這也許就是在大學數學中微積分容易引起學生興趣，而線性代數卻不受待見的重要原因.

(ii) 課時因素

皮亞杰曾說過，一個概念在達到最后的平衡時看起來很簡單，但它的起源要復雜得多.由于線性代數課程的上述特點，對于大多數學生來說，構建有效的概念印象需要經歷一個較長時間的過程.因此，在線性代數中建立有效的概念印象需要老師和學生付出更大的努力，花費更多的時間.然而，線性代數是一門課時少、周期短的課程.在一些場合，甚至被當作速成的課程開設.

有的教材和課堂教學對課程中的一些細節采用了“實用化”的“省時”策略，一些問題被模糊了.有時，這會產生混亂.下面是一個典型的例子：多數教材都稱，1×1的矩陣可以等同于數，因此，對矩陣A=(1，2)T，B=(4，-1)，利用乘法結合律可得

(AB)n=(AB)(AB)…(AB)=A(BA)(BA)…(BA)B=A(BA)n-1B=A·2n-1·B=2n-1AB，

最后一個等號是因為用數左乘一個矩陣與右乘一個矩陣是等效的.這里，至少有兩點是模糊的：①用數右乘矩陣有沒有定義(實際上也沒有必要給出這個定義)？②如果把1×1的矩陣與數等同看待，1×1矩陣2n-1又如何與2×2矩陣AB相乘呢？

(iii) 維度因素

在微積分，從一元函數到多元函數的討論是一個非常耐心、謹慎的過程.先討論二元函數f∶2→、三元函數f∶3→，然后再過渡到對一般的n元函數f∶n→的討論.而且，n元函數還只是略提一下，更一般的函數f∶m→n則鮮有要求.

作為線性代數討論的主要對象，向量和矩陣實際上是多變元的，而且，在許多場合，必須把向量和矩陣作為整體，而不是按其分量來處置.然而，盡管學生在課程之前沒有接觸過高維空間，在課程中，卻沒有時間和耐心，完成從低維空間到高維空間的過渡.在一些線性代數課程中，還要討論抽象的向量，這對學生來說，難度就更大了.

線性代數沒有為學生做足夠的鋪墊，一些過程的缺失會帶來明顯的后果.比如，在通過對增廣矩陣作初等變換求解線性方程組時，總有一些學生會糾結于能否作初等列變換.一些并不是實質性的問題常常會成為一些學生學習進程的障礙.

學生空間想象能力的訓練，以及從低維的數組向量到一般的n維向量，再到抽象的向量的過渡，也是影響學生建立概念印象的因素.

2.3 促進“理解”的措施

概念印象的豐富和優化應該貫穿于課程教學的各個環節.

(i) 教材的設計

不同的線性代數教材往往從一些特定的角度助力讀者概念印象的構建.雖然不同的學生需要的教材不盡相同，但對大多數學生而言，教材不應象科研著作，不能只是簡潔地按邏輯呈現材料.教材需要與學生分享隱藏在概念定義背后的思想過程、定理的智力需求和定理證明的動機.教材也不應該是大量概念、定理的堆砌，如果不幫助學生分析定理和定理的證明，只是致力于讓學生弄懂那些對解題有用的定理的結論，其結果往往會導致學生只懂得在解題時找定理、用定理，無助于形成對理論整體的認知.用一句俗話說，這會使得學生“只顧埋頭拉車，不知道抬頭看路”， 或者“只見樹木，不見森林”，在一定程度上妨礙學生的學習.

教材不僅要讓學生知道有哪些定理以及這些定理有哪些用處，還應通過那些定理以及定理的證明，讓學生意識到，線性代數實際上是在統一的思想下，圍繞諸如線性方程組、線性相關性、線性變換等少數幾個中心議題展開的，相關的討論都可轉化為對矩陣之間等價、相似、合同等關系的討論，矩陣之間的這些關系的刻畫又可以用相應的標準形，以及相應變換的不變量表達.所有這一切的根本思路只有兩個字：化簡！

(ii) 教學的設計

要像關注學生知識基礎一樣關注學生學習經驗的積累.人們往往非常關注學生已有的知識是否滿足課程內容的邏輯需求，而不太考慮學生是否具備學習課程知識的經驗.實際上，既有知識和經驗對構建概念印象都是不可或缺的.比如，中學數學大都只涉及數值計算，用符號表達的運算、推理較少，所以，在處理矩陣問題時，基于對其元素作數值計算進行的討論往往容易為學生掌握，但把矩陣作為整體的符號操作常讓學生感到困難.因此，課堂教學應該由易到難，由簡到繁，讓學生漸漸積累這方面經驗.符號操作是學會一般化思考重要的一環，也是在學習抽象的代數概念時構建概念印象的重要背景.

讓學生參與概念的建立.學生只有理解構造概念背后的理由以及論證的正當性，才不至于只知道背誦定義及算法.例如，一般地，齊次線性方程組有無窮多個解，但它們可以用有限多個解表達，因而要建立向量空間及基的概念.將向量空間概念更一般化，就可得到用公理化方式定義的線性空間.

培養學生的直覺，并幫助學生建立其直覺與解析表達之間的聯系，學會用數學語言表達直覺.例如，這樣證明矩陣乘積的結合律：對A=(aij)s×m，B=(bij)m×n，和列向量x=(x1，x2，…，xn)T，由觀察可知，如果將B用列向量表示成B=(b1，b2，…，bn)，則

AB=(Ab1，Ab2，…，Abn)，Bx=x1b1+x2b2+…+xnbn，

因此，對任意列向量x，

(AB)x=(Ab1，Ab2，…，Abn)x=x1Ab1+x2Ab2+…+xnAbn，

而

A(Bx)=A(x1b1+x2b2+…+xnbn)=x1Ab1+x2Ab2+…+xnAbn.

因此，對列向量x，有結合律(AB)x=A(Bx).這時，自然就會猜測，對任意C=(cij)n×t，(AB)C=A(BC)應該也成立.其實，這時其證明也水到渠成了：

(AB)C=(AB)(c1，c2，…，ct)=((AB)c1，(AB)c2，…，(AB)ct)
=(A(Bc1)，A(Bc2)，…，A(Bct))=A(Bc1，Bc2，…，Bct)=A(BC).

鼓勵學生學會理解證明，而不僅是理解證明的每個步驟.讀懂證明是建立不同主題間聯系、構建概念印象非常有效的途徑.但是，對不少學生來說，理解證明極具挑戰性，教師的作用不可少.比如，證明 “若A是實對稱矩陣，則存在實對稱矩陣B，使得B3=A”.由于每個實對稱矩陣都正交相似于實對角陣，且很容易將一個實對角陣寫成另一個實對角陣的立方.這里，最重要的是“化簡”.其實，“化簡”是解決任何問題最基本的策略.線性代數很大的篇幅都是在介紹為什么要將對象化簡，化簡的辦法，以及如何通過化簡解決問題.

合理分配學時.與其它數學課程相比，線性代數有更多概念、定理，理解概念是學好線性代數最重要的一環，而理解概念的關鍵是要建立有效的概念印象，概念印象的建立則是一個復雜的精神活動過程，需要一定的時間周期，不是簡單的邏輯推理表演，更不能速成.

(iii) 習題的設置

習題的設置應該配合各層面概念印象的構建.習題可以為推出新的概念或給出困難定理的證明做些鋪陳；一些簡短而結果又出乎意料的證明題，可以激發學生對于“證明”的興趣；涉及不同概念的習題可以使學生有更多將不同主題聯系起來的機會；許多問題可以用各種標準形(等價、相似、合同變換下的標準形)得到解決，這方面的習題有助于增強從整體上理解線性代數理論的意識.

(iv) 實踐活動

實踐活動也有助于概念印象的建立.課程中的應用案例、數學建模元素、利用計算機的輔助教學、分小組討論、學生演講、撰寫小論文等豐富了教學形式.毫無疑問，這些活動都能起到豐富概念印象的效果，只要條件允許，都值得提倡.

3 結 論

教學是一種認識活動，也是一個精神交流過程.充分理解教學內容的特點，了解學生的認知規律，是提高教學效果的基本前提.“以學生為中心的教學”不應只是形式上的，還應落實到教學方案、教學過程的具體設計.筆者在[4-5]曾做過探討，[1]的分析方法則使我們從新的角度進行了思考.以上是我們在實踐過程中一點粗淺的認識和體會.

致謝作者非常感謝相關文獻對本文的啟發以及審稿專家提出的寶貴意見.