構造函數思想求解幾道數學問題

上海市城市建設工程學校 (200232) 張火明 章幸辛

一般地，函數思想往往是通過構造函數，從而利用函數的概念和性質解題.在解題中，要善于挖掘題目中的隱含條件，構造出函數解析式和巧用函數的概念和性質，這是應用函數思想的關鍵.本文列舉幾例予以說明.

例1 (2020年全國Ⅰ卷理科第12題)若2a+log2a=4b+2log4b,則( ).

A.a>2bB.a<2bC.a>b2D.a

解:由題設可得2a+log2a=22b+log2b,令f(x)=2x+log2x,則函數f(x)在(0,+∞)上單調遞增,所以f(a)=2a+log2a=22b+log2b<22b+log22b=f(2b)，即f(a)

例2 (2020年全國Ⅱ卷文科第12題)若2x-2y<3-x-3-y,則( ).

A.ln(y-x+1)>0 B.ln(y-x+1)<0

C.ln|x-y|>0 D.ln|x-y|<0

解:由題設可得2x-3-x<2y-3-y，令f(x)=2x-3-x,則函數f(x)在(-∞,+∞)上單調遞增,所以由f(x)1，所以ln(y-x+1)>0.故選A.

評注：以上兩例求解的關鍵是通過構造函數，把等式、不等式問題轉化為函數問題，從而運用函數的性質解決，由此可以優化解題過程，提高學生思維的靈活性.

例3 已知關于x的方程lg(x-2)+lg(4-x)=lg(1-ax)有兩個不同的解，求實數a的取值范圍.

評注：通過構造函數，把方程f(x)=0根的問題轉化為函數y=f(x)的圖像與x軸的交點問題，從而利用函數圖像解決問題，也可以把方程問題轉化為兩個函數圖像的交點問題，通過數形結合解決問題，由此可以拓寬學生的解題思路，提升學生思維的廣度和深度.

評注：數列是定義在正整數集或其子集上的函數，因此數列問題轉化為函數問題，從而運用函數的性質解決.

例5 (2020年全國卷Ⅱ文科第21題)已知函數f(x)=2lnx+1.

(1)若f(x)≤2x+c,求c的取值范圍；

(1)當00；當x>1時，h′(x)<0.所以h(x)在區間(0,1)單調遞增，在區間(1，+∞)單調遞減.從而當x=1時，h(x)取得最大值，最大值為h(1)=-1-c.故當且僅當-1-c≤0，即c≥-1時，f(x)≤2x+c.所以c的取值范圍為[-1,+∞).

評注：本題為含參的不等式恒成立問題，求解關鍵是不斷轉化為函數問題，通過求導運用函數增減性質達到求解目的.

通過以上典例分析可見，不少數學問題可通過構造函數，再靈活地運用函數性質，并結合數形結合、分類討論、化歸等思想，往往能達到將問題化繁為簡、變難為易的求解.