追求深度學習，促進思維生長
——以“對數函數”教學為例

南京航空航天大學附屬高級中學 (210007) 吳 茹 孔德鵬

數學深度學習指以數學學科的核心內容為載體，以提升學生的思維品質與數學素養為目標，以整體分析與理解相關內容本質為策略，通過精心設計問題情境，引發學生認知沖突，組織學生全身心參與學習活動，使學生體驗成功、獲得發展的有意義的學習過程[1].數學深度學習不僅是數學學習的內在要求，也是時代對數學學習的更高要求.數學深度學習不僅注重知識、技能及數學方法的理解與掌握，更注重一般性思維策略與品質的提升，讓學生在數學學習中學會思考.筆者以“對數函數”教學為例，談談指向深度學習的數學教學設計及思考.

一、學習內容分析

“對數函數”是蘇教版《普通高中教科書·數學》(必修第一冊)第6章第3節的內容.本單元內容包括對數函數的概念、圖象及性質，共2課時.本節課是第一課時，主要學習內容是：通過細胞分裂具體實例，得到對數函數的概念；通過借助指數函數的研究經驗，探究對數函數的圖象及性質；應用對數函數性質解決一些簡單問題.

本單元是在研究對數、函數的概念與性質、冪函數及指數函數的基礎上，進一步研究對數函數的概念、圖象與性質.學生可以借助研究指數函數的活動經驗，探究對數函數的圖象與性質.對數函數作為基本初等函數之一，是函數主題的重要內容，在導數章節也會研究與之相關的函數.另外，對數函數模型也是分析和解決實際問題的重要工具，如研究地震震級、聲音分貝、PH測定等.

基于以上分析，筆者將本節課的重點設置為：對數函數的圖象及性質.通過回顧指數函數的概念、圖象及性質，進而回顧指數函數的學習經驗，類比指數函數圖象與性質的研究方法，自主探究對數函數的圖象及性質.

二、教學目標設置

開展教學活動的前提是要有明確的教學目標，教學目標既是教學的出發點，也是教與學的歸宿[1].結合《普通高中數學課程標準(2020年修訂版)》(以下簡稱《標準》)要求和教材上的內容安排，將本節課的目標設置為：

(1)從具體實例中抽象出對數函數的特征，并能用數學符號語言表達，了解對數函數的概念，提升數學抽象核心素養；

(2)能用描點法或借助計算工具畫出具體對數函數的圖象，探索并了解對數函數的單調性、特殊點等性質；

(3)知道對數函數y=logax與指數函數y=ax互為反函數(a>0，a≠1)；

(4)通過借助指數函數的學習經驗，自主探究對數函數的圖象、性質，提高從數學角度提出和解決問題能力，培養創新精神，發展直觀想象、邏輯推理等核心素養；

(5)回顧對數函數的研究過程，進一步體會研究具體函數的一般方法，促進自主學習能力提升，促進深度學習.

三、 教學過程設計

1. 創設情境，抽象概念

問題1回顧研究指數函數的研究過程，想想我們研究了指數函數的哪些內容？是如何展開研究的？

學生容易想到主要研究了指數函數的定義、圖象及性質；研究過程是先通過具體的生活情境，得到指數函數的抽象定義，再通過畫幾個具體指數函數圖象，總結歸納指數函數的性質；請學生說說指數函數的性質，如定義域、值域、定點、單調性等.

設計意圖：從整體上考慮，對數函數是在指數函數的研究基礎上進行的，不應該分開研究，而是應該進行類比研究；引導學生回憶研究指數函數的研究過程，從學生的最近發展區出發，盤活研究函數的基本經驗，為學生自主探究對數函數的圖象及性質做好思維鋪墊.

問題2某細胞分裂時，由1個分裂成2個，2個分裂成4個，4個分裂成8個，……假設細胞分裂的次數為x，相應的細胞個數為y，則y=2x.因此知道x的值，就能求出y的值.現在我們來研究相反的問題：知道了細胞個數y，如何確定分裂次數x？

學生通過將指數式改寫為對數式，得到x=log2y.

設計意圖：再次通過學生熟悉的細胞分裂問題創設情境，一方面幫助學生進一步理解指數函數的概念，同時也讓學生進一步體會歐拉曾說過的“對數源出于指數”；另一方面，熟悉的情境貼近學生心理，符合學生認知規律，能激發學生的探究欲望.

問題3對于這個對應關系x=log2y，它是一個函數嗎？

這個問題需要給學生足夠的思考時間，啟發學生用函數的定義去判斷這個對應是否為函數.函數y=2x是在R上單調遞增，那么x與y一定是一一對應的，對于每一個給定的y值，都有唯一的x與之對應.所以根據函數的定義，x=log2y是一個函數，這里面y表示自變量，x表示函數值.而我們習慣上用x表示自變量，y表示它的函數.這樣上面這個函數就可以寫成y=log2x形式.

設計意圖：通過判斷x=log2y是否為函數，引導學生深度思考.這不僅可以進一步幫助學生理解函數的概念，發展學生的邏輯思維；而且可以為對數函數概念的形成提供理論支撐，讓學生潛移默化中感受到指對函數之間的聯系，進而借助指數函數的基本經驗研究對數函數的圖象及性質.

問題4對于函數y=log2x，你會提出哪些問題？

由于之前的鋪墊，學生自然會想到幾個問題：(1)這個函數叫什么函數？能不能類比指數函數，取名叫對數函數？(2)函數y=log2x的圖象是怎么樣？有什么性質？(3)函數y=2x與y=log2x有什么聯系？解決第一個問題，就可以抽象得出對數函數的定義；解決第二個問題，就可以通過描點法得到其圖象，注意圖象與y軸的關系，并能夠加以解釋；不僅如此，學生在描點時會發現所描點正好和y=2x描的點的橫縱坐標是反著的，進而激發學生畫出y=2x的圖象，經過比較分析，得到兩個函數圖象關于直線y=x對稱.

設計意圖：通過學生主動思考，提出問題，培養學生發現并提出問題的能力，激發學生的創造思維；通過解決學生提出的問題，自然地抽象出對數函數的概念，通過研究函數y=log2x的圖象，讓學生初步感受y=log2x的圖象及與指數函數y=2x圖象的關系，能為接下來的探究指明方向.

2.自主探究，分享交流

剛剛研究一個特殊的對數函數的圖象及性質，不具有一般性.本節課的重點是通過幾組具體的對數函數，總結歸納出一般對數函數的圖象及性質.

問題5基于研究指數函數的經驗，試探究對數函數y=logax(a>0，a≠1)的圖象與性質.

由學生自己確定研究的具體函數模型，一部分學生類比指數函數描點作圖，一部分學生利用對稱性作圖.再由圖象總結對數函數的性質，最后通過希沃助手，投影學生的研究成果，分享歸納對數函數的圖象及性質.

設計意圖：對問題5的處理，將主動權完全放給學生，由之前的學習經驗學生會選擇不同的底數的對數函數進行研究，或與同底指數函數進行比較研究，這給學生提供更廣闊的探究空間，進一步積累了數學探究的經驗；學生自己發現性質不僅提高了學生探究的積極性和成就感，也有利于學生創造思維的發展，提升學生直觀想象及邏輯推理等核心素養；通過互動交流，優化學生的認知結構，提升學生的數學表達能力.

3.基于經驗，自主編題

在初步認識了對數函數的概念、圖象及性質后，接下來便是簡單應用.在指數函數的過程中，指數函數的簡單應用是比較大小、解方程、解不等式及求指數型函數的定義域、值域等問題.

問題6基于研究指數函數的經驗，結合本節課所學內容，請設計一道例題.

類比指數函數圖象及性質的應用，引導學生思考對數函數的圖象及性質可以解決的問題，并嘗試編題.

設計意圖：數學學習不僅學習知識，更要以知識為載體，發展學生的發散和創造性思維.通過這種“自給自足”的解題方式，促進學生的深度學習，使學生真正理解對數函數的圖象及性質；有利于培養學生類比遷移的能力，培養學生的創造性思維；通過角色轉換，學生體驗編題的喜悅，激發學生數學學習的興趣.

4.總結概括，形成經驗

問題7今天借助研究指數函數的學習經驗，研究了對數函數的圖象與性質.如果以后再遇到一個陌生的函數模型，我們該如何展開研究呢？

設計意圖：通過回顧類比指數函數的學習經驗展開對數函數的學習過程，使學生進一步體會研究函數的一般方法，形成一般性思維策略，幫助學生學會學習.

5.問題延伸，能力提升

問題8函數y=ax與y=logax(a>0，a≠1)互為反函數，如何理解“反”？

設計意圖：通過提出新問題，再聚焦“核心知識”，促進學生課后繼續對兩個函數深度思考.這不僅能夠促進學生對數學知識整體性的理解，思考兩者在概念、圖象及性質上的聯系，而且可以讓學生體會用聯系的眼光看問題，進而可以聯想到類比指數函數問題解決策略解決對數函數相關問題，為下節課內容做鋪墊.

四、教學反思

1. 努力提高學生提出問題能力，促進深度思考

顧明遠教授說：“新世紀的教育要求學生獨立思考，敢想敢做，勇于創新，不能提出問題的學生不是一個好學生[2].”發現并提出問題能力是發展學生數學核心素養的重要途徑，《標準》強調培養學生“四能”，強調數學要促進思維的發展就必須培養學生的問題意識，學生只有發現問題，才能真正調動內驅力.培養學生發現和提出問題的主陣地就是數學課堂，在現行數學課堂中，仍有部分教師是“教師問——學生答”的模式，學生沒有提出問題的機會，這樣不利于發展學生的創新精神及發散思維.所以，教師要努力改變自己的教學行為，教學設計的出發點要注重培養學生提問題能力，特別是能夠引發深入思考的問題，只有這樣學生才能真正做到學會思考.

一個好的情境，能夠吸引學生的注意力，激發學生的好奇心及求知欲，進而可以引導學生發現并提出問題，使學生真正成為學習的主體.創設的情境要能讓學生聯想新舊知識的關聯，進而根據已有的學習經驗，進行發問.在本課例中，筆者利用與指數函數相同的情境引入新課，利用相反的問題，通過指對互化得到新的函數，再根據函數書寫習慣，變成y=log2x的形式，學生自然會提出問題：y=log2x的圖象是什么樣的？它和y=2x這兩者有什么關系.對學生而言，對數是很陌生的，現在又研究對數函數，學生內心是抗拒的，通過創造這樣一個好時機，讓學生自己聯系到指數函數，拉近學生與新學知識的距離，可以讓學生主動探究新知，真正成為學習的主體.在教學過程中，教師如能堅持有意識培養學生的發問意識，潛移默化中促進學生深度思考，提升學生的創新思維，才能培養出具備創新意識和探索精神的新型人才.

2.類比引領學生自主探究，促進深度理解

建構主義認為，學習是學習者以自身已有知識和經驗為基礎的主動的建構活動，不應被看成對教師所授知識的被動接受[3].在教學中，應從學生的最近發展區出發，引導學生抓住知識或方法之間的聯系，進行有效的自主探究活動，幫助學生建立良好的認知結構.比如，在概念課、性質課、定理課等引入環節，常常可以從新知在整個知識體系中的地位、與已學知識內部聯系出發，回憶基本活動經驗，提出新的問題，引導學生進行類比探究，實現有效的知識建構.

對數函數是學生在研究指數函數的基礎上進行研究的，研究內容和方法基本相同，學生可以借助研究指數函數的活動經驗，進行自主探究對數函數的圖象、性質及應用.在本課例中，將主動權交給學生，沒有給學生具體的對數函數進行研究，這恰恰給學生更大的空間.有的學生會選擇描點作圖，有的學生選擇對稱作圖，而且發現了比教材上更多的性質，學生課堂上積極性高，討論熱烈，取得不錯的效果.在應用環節上，學生能夠類比指數函數的應用，出題類型眾多，有比較大小、解不等式、求定義域等問題，還有一位同學出了一道實際應用問題，真正做到了學以致用.

像這樣把具有相似結構的一類課建立聯系進行整體設計，即通過對數學教材的“深度理解”，將已形成的學習經驗遷移至新的情境中，類比學習新知，以簡馭繁，解決相應問題，完善認知結構.通過類比學生自主研究的這種形式，不再是單純知識的傳遞，更注重學生的學，在探究交流中，能更好的落實自主探究、合作交流等教學方式，這也將更有利于學生在學習過程中將自己的經歷轉化為有效的基本活動經驗.

3. 努力做好深度教學，促進學生深度學習

隨著新一輪課改的啟動，高考改革的深入推進.作為新高考的“風向標”卷，2020年普通高中學校招生全國統一考試·新高考卷Ⅰ(山東)有向“素養立意”轉變的特點，在試題的難度設計上不僅有層次性，而且在思維上有靈活性、深刻性，方法上有綜合性、探究性和創造性等.這樣的難度設計有利于高校選拔人才，也有利于中學數學教學的改革.面對新高考形勢變革，數學教學不能只滿足于數學知識與技能的簡單積累，而應該更加注重通過數學教學，讓學生真正理解數學內容，建立整體性的認識，形成一般性的思維策略，努力提升核心素養.

如果教師做不到“深度教學”，學生就很難真正做到“深度學習”.這對教師提出更高的要求，數學教學必須圍繞數學問題進行深度教學，幫助學生形成一般性的思維策略，讓學生真正做到“學懂、學活、學深”.深度教學的重要的環節分為：建立聯系、問題引領、分享交流、學會學習.在本案例中，通過解決問題1和2，盤活指數函數的活動經驗，能夠讓學生在后續研究中確定研究對數函數方法，也能讓學生初步感知指對函數之間的關系(建立聯系)；通過對一個特殊的對數函數y=log2x的研究，讓學生了解它的圖象與性質，也能為解決問題3(問題引領)，提供一定的經驗，在總結對數函數的圖象及性質時，展示多位學生畫的圖象，請多位學生總結歸納對數函數圖象及性質(分享交流)，緊接著讓學生自主命題，應用新知；通過問題7的解決，讓學生深度思考研究函數的一般方法，形成一般性的思維策略(學會學習).

用聯系的觀點來分析思考，才能更深入的認識；相反地，只有更深入的認識，才更容易發現不同對象的聯系.重視問題串設計，只有適當的問題才能引領學生更深刻地思考，提升思維.如果教師能夠長期堅持深度教學，深度學習自然就會成為學生的自覺行為，學生的全面發展和核心素養的提升也必將落到實處.