中點在解析幾何問題中的三種用法

甘肅省天水市第八中學 (740120) 王存斗

中點問題是解析幾何中最常見的題型之一，而如何用中點？如何求中點？學生可能沒有成熟的經驗和具體的措施，為此，本文從優化解題的角度來探討中點在解析幾何中的三種用法，供讀者參考.

一、抓住中點的幾何特征

中點的幾何性質非常明顯，也常隱藏在圓心、對稱、平行四邊形等條件中，如果能在解題中充分發揮它的幾何作用，可使解題過程進一步優化.

圖1

評注：由于D點是兩直線的交點，很多同學都會想到“交軌法”求其軌跡方程，但本題若用此法，運算就會過于繁雜.而本解法是在理解題目內涵的基礎上，巧用F1F2的中點是O的幾何性質，就使整個解題變得輕松流暢.

二、用中點巧求斜率

在許多問題中需要表示出直線方程，先找到斜率是非常重要的，如果所在的直線上含有已知的中點，那么就可以通過分別設點代入曲線方程，再二式相減就能夠得到此直線的斜率了.

評注：求直線的斜率的方法有很多，但若方法的選擇不當將會導致繁瑣的運算，令人望而卻步.此解法通過巧妙設出中點坐標，利用圓及等腰三角形的性質，使問題獲得簡解.

評注：此解法通過挖掘得到圓心就是線段AB的中點并加以充分運用，直線AB的方程就求出來了，這就是“點差法”的典型用法.

三、用參數表示中點

通過將直線方程與曲線方程聯立，消去一個未知數，使之轉化為一個一元二次方程，再由根與系數的關系得到中點坐標，這是中點最常用的方法.

評注：表示中點坐標是問題解決的關鍵.聯立方程，再由根與系數的關系求出中點是圓錐曲線問題中的常見解題步驟.

評注：此解題過程中用到了解析幾何中許多解題技巧，如怎么表示中點、如何解決面積的表達式、如何求最值等，我們只有通過不同題型的長期訓練，才能有效的掌握這些.

上面是對解決解析幾何問題中如何使用中點的一個歸納，以例說事，經典實用.我們在平時的教與學中，要引導學生不斷總結歸納，注意有條理的擴大知識儲備，這樣才能提升教學效果，使學生獲得更多的收獲.