抓住三角函數(shù)的“五性”速解題

江蘇省金湖中學(xué) (211600) 張?zhí)?/p>

在許多與三角函數(shù)相關(guān)的問(wèn)題中，如果我們能夠挖掘三角函數(shù)中蘊(yùn)藏的周期性、奇偶性、單調(diào)性、對(duì)稱性和有界性并有效使用，從而就抓住問(wèn)題實(shí)質(zhì)、使問(wèn)題的快速解決，起到事半功倍的作用.下面通過(guò)幾個(gè)典型題例，展示這些性質(zhì)的精妙運(yùn)用給解題帶來(lái)的效果，供讀者朋友參考.

一、周期性

若對(duì)函數(shù)y=f(x)，存在實(shí)數(shù)T≠0，使等式f(x)=f(x+T)對(duì)任意x都成立，則稱此函數(shù)為周期函數(shù)，T為一個(gè)周期.

例1 已知函數(shù)f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,0≤φ≤π)一個(gè)周期內(nèi)圖像的最高點(diǎn)是(2,2)，與它相鄰的最低點(diǎn)的橫坐標(biāo)是6，則f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2020)=.

評(píng)注：求一些函數(shù)式若干項(xiàng)的和的問(wèn)題，找出其式子規(guī)律性(如周期性)是非常重要的思維趨向.

評(píng)注：抓住所給周期的范圍就是抓住了問(wèn)題的關(guān)鍵點(diǎn)，為后面快速解題鋪平了道路.

二、奇偶性

若函數(shù)y=f(x)，若對(duì)定義域內(nèi)的任意x都有f(-x)=f(x)，則稱函數(shù)f(x)為偶函數(shù)；若對(duì)定義域內(nèi)的任意x都有f(-x)=-f(x)，則稱函數(shù)f(x)為奇函數(shù).

評(píng)注：對(duì)于一般的三角函數(shù)式，若需判斷函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性或求函數(shù)的最大值和最小值等問(wèn)題時(shí)，首要任務(wù)是將其轉(zhuǎn)化為f(x)=Asin(ωx+φ)的形式，然后再根據(jù)條件求解.

評(píng)注：此題是三角函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的綜合題，體現(xiàn)了高考題的考查目標(biāo)與方向，抓住三角函數(shù)為奇函數(shù)的特點(diǎn)解決參數(shù)求值問(wèn)題是破題的關(guān)鍵.

三、對(duì)稱性

對(duì)于函數(shù)y=f(x)，若在定義域內(nèi)任意x，都有f(a-x)=f(a+x)成立，則稱此函數(shù)關(guān)于直線x=a對(duì)稱；若都有f(a-x)=-f(a+x)成立，則稱此函數(shù)關(guān)于點(diǎn)(a,0)對(duì)稱，其中偶函數(shù)與奇函數(shù)是這兩種情況下在a=0時(shí)的特例.

評(píng)注：由于三角函數(shù)y=sinx的對(duì)稱軸是比較熟悉的，所以這里判斷出所給函數(shù)是軸對(duì)稱問(wèn)題就是解題的重要環(huán)節(jié).

評(píng)注：將中心對(duì)稱的條件轉(zhuǎn)化為一個(gè)等式，再分析化簡(jiǎn)這個(gè)等式，求出待求參數(shù)的值是解決此類題最基本的思路.

四、單調(diào)性

評(píng)注：已知函數(shù)的單調(diào)區(qū)間求其它問(wèn)題，就是將已給的區(qū)間看成是整個(gè)函數(shù)區(qū)間的子集，然后建立等式或不等式解決問(wèn)題.

五、有界性

如果函數(shù)y=f(x)對(duì)給出的區(qū)間上任意x都滿足f(x)≤M，則稱M是此函數(shù)的上確界，滿足f(x)≥N，則稱N是此函數(shù)的下確界.