形助探究思路 數(shù)精嚴(yán)謹(jǐn)推理*

安徽省宿州市碭山中學(xué) (235300) 高 凱

數(shù)形結(jié)合思想是數(shù)學(xué)的重要思想之一，它是發(fā)現(xiàn)問題和提出問題，分析問題和解決問題的重要手段，是探索和形成論證思路，進(jìn)行數(shù)學(xué)推理，構(gòu)建抽象結(jié)構(gòu)的思維基礎(chǔ).

一、試題再現(xiàn)

題目(2020年“皖北協(xié)作區(qū)”第22屆高三聯(lián)考理科第21題)已知函數(shù)f(x)=ax2-2lnx(a∈R).(1)當(dāng)a=1，證明f(x)≥x-lnx;(2)是否存在不等的正實(shí)數(shù)m,n滿足m=n2且f(m)=f(n)，若存在，求a的取值范圍；若不存在，說明理由.

二、解法探究

分析：(1)略；(2)由題m=n2及f(n)=f(m)得am2-2lnm=am-lnm，即am2-am-lnm=0,由于m,n為不等的正實(shí)數(shù)，問題轉(zhuǎn)化為關(guān)于x的方程ax2-ax-lnx=0有不等于1的實(shí)根.

綜上所述，a的取值范圍是{a|a>0且a≠1}.

圖1

{a|a>0且a≠1}.

評析：分離參數(shù)a后，避免了參數(shù)討論，學(xué)生更容易接受和理解，但是美中不足的是高中階段不要求掌握洛必達(dá)法則.

圖2

圖3

圖4

方法5:由題得a(x2-x)=lnx.令g(x)=a(x2-x);h(x)=lnx,兩函數(shù)的圖象如圖4所示.當(dāng)a≤0時(shí)，兩函數(shù)的圖象只有一個(gè)交點(diǎn)(1,0)，不符合題意.

評析：把抽象問題和直觀的圖象結(jié)合起來，通過圖象化抽象為直觀，易于發(fā)現(xiàn)解決問題的思路；然后結(jié)合圖象進(jìn)行推理論證，從而達(dá)到精確化，理性化的理解.

三、心得體會

華羅庚曾說：“數(shù)缺形時(shí)少直觀，形少數(shù)時(shí)難入微，數(shù)形結(jié)合百般好，隔裂分家萬事休.”

數(shù)形結(jié)合的思想正是把“最活躍的形象思維”與“最嚴(yán)密的邏輯思維、代數(shù)推導(dǎo)”結(jié)合起來理解問題、解決問題的一種思想方法.教學(xué)時(shí)我先用幾何畫板作出不同解法構(gòu)造出的函數(shù)圖象，先讓學(xué)生直觀感受圖形的變化與運(yùn)動的規(guī)律，然后進(jìn)行數(shù)學(xué)推理.方法1推理嚴(yán)謹(jǐn)，但過于抽象，對學(xué)生能力要求較高，得分率低；方法2，方法3轉(zhuǎn)化為圖象解題，形象直觀，容易發(fā)現(xiàn)思路，但需準(zhǔn)確畫出圖象.方法4，方法5從圖象的位置關(guān)系入手，利用切線研究問題，需從圖象變化中尋找分類討論的切入點(diǎn).

通過學(xué)習(xí)，提升學(xué)生利用圖象分析問題，建立形與數(shù)的聯(lián)系，探索解決問題的能力，增強(qiáng)他們運(yùn)用幾何直觀和空間想象思考問題的意識，進(jìn)而感悟數(shù)學(xué)的本質(zhì).