賞析一道含參恒成立問題的多種解法

湖北省武漢市黃陂區第一中學盤龍校區 (430312) 李紅春湖北省武漢市教育科學研究院 (430032) 孔 峰

波利亞有一句名言：掌握數學就意味著善于解題.解題是教師數學活動的基本形式和主要內容，也是職業幸福感的源泉.在眾多數學問題中，含參恒成立問題一直是高考中的熱點和難點，尤其當這類問題與導數結合起來時，解題方法更顯得靈活多變，難度不容小覷.數學試題浩如煙海，在有限的時間做很多題，淺嘗輒止，一知半解，倒不如以一道典型試題為抓手，從不同的角度進行思考分析，領悟其中的方法與規律，這既能優化思維品質，又有利于加強數學知識和方法之間的內在聯系，促進知識網絡的有效構建.

題目已知aln(x+1)-2(x+1)-ax+2ex>0對x∈(0,+∞)恒成立，求實數a的取值范圍.

本題以不等式為載體，結構簡潔巧妙，以指數、對數混合形式出現，主要考查利用導數研究函數的的性質，考查學生邏輯思維能力、化歸與轉化能力、運算求解能力，以及分類討論、數形結合等思想，是一道難度較大，區分度較高的試題，下面研究其解法.

策略1分類討論，逐步深入

含參數的問題，往往因為參數的存在，導致函數的性質具有不確定性，這時可通過“分類討論，逐步深入”的方法，將含糊的問題具體化，讓解題得以繼續.

(1)當a≤0時，g″(x)>0恒成立，則g′(x)在(0,+∞)遞增，則g′(x)>g′(0)=0，故g(x)在(0,+∞)遞增，則g(x)>g(0)=0，滿足題意；

評析：以上解法有兩點值得注意，首先端點處的函數值比較特殊：g(0)=0，g′(0)=0；其次通過“x>0時ex>1+x”這一關系將超越函數g″(x)縮小為有理函數，為g″(x)尋找零點創造了條件.

策略2數形結合，以形助數

數學是研究數量關系與空間形式的科學，華羅庚先生曾感嘆道：“數無形時少直觀，形無數時難入微，數形結合百般好，割裂分開萬事休.”通過挖掘數學式子背后形的特征，以形助數，是解決數學問題中的一種常用方法.

圖1

圖2

此時，在切點右側存在一個區域(0,x0)，在該區域隨著x的增大，曲線上切線斜率逐漸減小，圖像呈現出“上凸”的趨勢，在該區間g(x)的圖像位于h(x)圖像的下方，如圖2，顯然不符合題意.

綜上a≤2.

評析：將原不等式移項重新組合，得到g(x)≥h(x)恒成立，觀察出h(x)的圖像為函數g(x)在x=0處的切線，從形的角度分析問題，找準解題思路.

策略3分離參數，回避討論

通過參數與變量的分離，使所得函數不含參數，進而無需分類討論，從而簡化解題.

評析：以上解答過程“巧合”頗多，推動解題不斷深入下去的關鍵其實是“細致的觀察”與“大膽的猜想”.如：求導后要判斷導函數的符號，即導函數分子m(x)的符號，而m(x)=0，于是猜若m(x)單調，則m′(x)的符號是確定，在簡單變形后將問題等價為n(x)的符號判斷后，發現n(0)=0，則猜想n(x)是單調的，即n′(x)的符號是確定，最終將問題歸結為判斷φ(x)的符號，可以說是猜想在推進解題全過程.

策略4先求充分，再證必要

數學解題講究等價轉化，即含參數問題中求得的結果應該是使得原不等式成立的“充要條件”，解題時可先求出原不等式成立的“充分條件”，然后證明其“必要性”【1】.

評析：關注函數取端點值的特殊性，先通過式子成立的充分條件求出參數的取值范圍，再證明其必要性，充分性表明：有了就足夠；必要性表明：少了就不行.先求充分條件，再證明其必要性，是一種逐步降低解題難度的方法.

策略5同構轉化，歸于單調

通過將已知條件變形整理，使得不等式兩邊的式子具有“一致”的結構，從而抽象出共同的函數，再借助單調性將問題加以解決.

評析：依據式子兩端具有相同的結構，構造出函數，再將不等關系轉化為函數的單調性來求解，過程簡潔明了，是本題的最佳解答，但對觀察能力提出較高的要求.

本文的五種解題方法充分展示了解決含參恒成立問題的五種基本策略：分類討論、以形助數、參變量分離、運用充要條件以及同構轉化.解題過程我們充分感受到了數學思維的靈活性與多樣性.需要指出的是，面對不同問題，究竟選擇哪種策略還要因題而異，比如有些式子無法實現參變量分離，不能使用策略3；又如策略5，只有使不等式兩邊具有一致的結構才能構造出函數.總之，解題首先要根據已知條件選準策略，然后再立足已有條件，緊盯求解目標，圍繞當前障礙，探尋處理方法.

另外，“工欲善其事，必先利其器”，求解含參恒成立問題還需要自身具備幾個能力，即觀察能力、猜想能力、反思能力、化歸能力和運算能力.觀察、猜想和反思為我們的解題指引了可能的方向，化歸和運算則是檢驗猜想方向是否正確，完成解題過程的基本保障.