拋物線定長弦問題的再討論

江蘇省昆山中學 (215300) 季剛祥 吳祖燕

一、問題再現

已知長為2的線段AB的兩個端點在拋物線y=x2上滑動，求AB的中點M到x軸的距離的最小值及中點M的坐標.

這是一道典型的拋物線的定長弦問題，下面筆者就這道題的解法及此類問題的一般結論談點拙見，不當之處，望各位不吝賜教.

二、問題解法

分析1：考慮到線段AB是動態的，而點M到x軸的距離就是它的縱坐標，于是有如下方法.

分析2：考慮到弦長AB為定值，聯想到直線的參數方程中參數的幾何意義，從而有如下方法.

分析3：以上兩種方法都是通過設直線方程來解決的，由于拋物線方程的特殊性，也可以通過設點的方法解決.

分析4：先求出點M的軌跡方程，進而求出點M的縱坐標范圍，來確定點M到x軸的距離最小值.由此得下列方法.

三、問題探索

1.拋物線的定長弦的中點軌跡的問題

2.與拋物線的定長弦的中點有關的距離問題