圓錐曲線中線段之和的最值問題

廣東省珠海第一中學 (519000) 楊 軍

圓錐曲線中線段最值問題一般涉及解析幾何的基本思想、基本方法.通過對直線、橢圓、雙曲線、拋物線中線段的最值問題探討，利用三角形兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊的原理，可以解決圓錐曲線這類線段之和最值問題，是研究性學習的體現，有益于培養學生的數形結合、轉化化歸等數學基本思想.本文列舉數例予以說明.

1.求直線上的動點到兩定距離最值問題

例1設點P為直線l:x+y-4=0上的動點,點A(-2,0),B(2,0),則|PA|+|PB|的最小值為.

圖1

變式例1條件不變，結論改為求|PA|-|PB|的最大值.

解：由三角形兩邊只差小于第三邊知，當P,A,B三點不共線時，|PA|-|PB|<|AB|；當P,A,B三點共線時，|PA|-|PB|=|AB|.所以當P(4,0)時|PA|-|PB|有最大值|AB|=4.

評注：動點到兩定點的距離之和最小時，兩定點要在直線兩側；動點到兩定點的距離之差最大時，兩定點要在直線同側.

2.求橢圓上的動點到兩定距離最值問題

圖2

圖3

評注：求橢圓上動點到兩定點的距離之和或之差時，先看定點在橢圓內部還是外部，利用三角形兩邊之和大于第三邊或者兩邊只差小于第三邊的結論，尋找共線時取到合適的最值.若不能直接找到最值，則可利用橢圓第一定義替換一個焦半徑，而達到求解目標.

3.雙曲線上的動點到兩定距離最值問題

圖4

解：如圖4所示，對任意點P都有|PF|+|PA|>|AF|,此時不能直接找到最小值，可利用雙曲線第一定義替換|PF|.設雙曲線的右焦點為M，則M(4,0)，由雙曲線的定義可得|PF|-|PM|=4，則|PF|=4+|PM|，所以|PF|+|PA|=|PM|+|PA|+4≥|AM|+4=9，當且僅當A,P,M三點共線時，等號成立.因此|PF|+|PA|的最小值為9.

評注：如果例3中A點是雙曲線內部的一個點，則只要A,P,M三點共線時，就有|PF|+|PA|取到最小值.

4.拋物線上的動點到兩定距離最值問題

例4設P是拋物線y2=4x上的一個動點，F是拋物線y2=4x的焦點，若B(3,2)，則|PB|+|PF|的最小值為.

圖5

解：因為22<4×3，所以點B(3,2)在拋物線y2=4x的內部，如圖5，過點B作BQ垂直準線于點Q，交拋物線于點P1，根據拋物線定義可得，|P1Q|=|P1F|，又P是拋物線y2=4x上的一個動點，所以|PB|+|PF|≥|P1B|+|P1Q|=|BQ|=4，當且僅當點P與點P1重合時，|PB|+|PF|取得最小值，且最小值為4.

評注：求解拋物線上一動點到定點(定點在拋物線內部)與焦點距離和的最值問題時，通常需要過該動點向準線作垂線，利用拋物線的定義，將問題轉為求拋物線上一點到準線以及定點距離的最值問題，即可求解.

變式已知拋物線y2=4x上一點P到準線的距離為d1，到直線l：4x-3y+16=0為d2，則d1+d2的最小值為( ).

圖6

評注：利用拋物線的定義，可將d1+d2的取值轉化為求點到直線的距離求得.