基于基本不等式求取值范圍的研究

浙江省寧波效實中學 (315012) 魯 勤 童益民

用基本不等式求最值是高中數學教學和高考中常見的一種常見的方法，如2011年浙江高考理科第16題：設x,y為實數，若4x2+y2+xy=1，則2x+y的最大值是.變形后用基本不等式求解該題，最后只要驗證等號成立的條件.但如果用基本不等式求該題x,y為正數時的取值范圍，是否可行，還要附加什么條件？值得研究，請看下面的解析.

題1已知正數x,y滿足x2+4xy+y2=1，求x+y的取值范圍.

根據該定理，可用基本不等式解決二次方程有兩個正根的取值范圍的問題，來看解法2.

解法3：令x+y=t>0，因為y=t-x>0，所以0

題2已知正數x,y滿足4x2+xy+y2=1，求2x+y的取值范圍.

題3已知正數x,y滿足x2+2xy+4y2=1，求x+y的取值范圍.

分析：根據已知條件x2+2xy+4y2=1，不能得到x+y與xy的關系，所以就不能用基本不等式來解該題了，也就是題1的解法1與解法2的方法不能用了，只能用題1的解法3的方法了.

解法1：令x+y=t>0，所以y=t-x>0，所以0

分析：令x+y=t，設方程3x2-6tx+4t2-1=0的兩根為x1,x2，則x1+x2=2t，如果令x1=x∈(0,t)，那么x2=2t-x1=2t-x≠y了.所以方程3x2-6tx+4t2-1=0的根x1,x2與x,y不對應，從而也說明不能用基本不等式來解該題了.該題也要避免方程3x2-6tx+4t2-1=0在x>0上有解，忽略了隱含條件y=t-x>0，即x