基于式子結構分析 提升數學運算能力

江蘇省灌南高級中學 (222500) 劉鑫鈞 宋予林

1 問題提出

為了考察學生對多元變量問題的運算能力，筆者設計了上述問題，目的在于通過此題了解學生當前的運算水平，診斷在運算中可能出現的障礙，了解學生目前數學運算素養發展現狀，探尋相應的解決策略，為進一步提高學生數學運算能力，促進學生數學思維發展，培養學生規范化思考問題的數學素養的課堂教學提供參考.

這道題是本校2020高三月考第12題，滿分5分，班級平均得分1.2分,得分率偏低.為了具體了解學生在考試時是如何處理該問題的，在試卷評講中筆者和學生專門就該問題進行回顧與交流.

2 問題解決

2.1 觀察代數結構，培養算前、算中、算后的觀察能力

本題是一道代數題，解決的關鍵在于學生是否能從不同的角度觀察式子，感悟到式子的結構，從而選擇相應的解法.在課堂教學中，筆者首先讓做出來的學生展示其運算方法.

圖1

算完后，有同學受解法1的啟發，發現可以對解法1進一步改進.

評析：解法2是在解法1展示后，學生基于將圓方程a2+b2=c2變為單位圓的想法，由此對條件同除c2，結論同除c，實現解法簡化,別開生面.接下來，老師詢問是否還有其它解法，應者卻寥寥無幾.

《普通高中數學課程標準》(2017版)關于運算素養的水平劃分為三個層次：(1)能夠在熟悉的情境中了解運算對象，提出運算問題，并用運算結果說明問題；(2)能夠在關聯的情境中了解運算對象，提出運算問題，并能夠借助運算探討問題；(3)能夠在綜合情境中把問題轉化為運算問題，明確運算方向，構建運算程序，能夠用程序思想理解和解釋問題.以上三個水平層次分別對應于對運算素養的三個要求：熟悉運算，轉化運算，創新運算.由此可以看出解法1與解法2反映學生的運算水平還處在第一階段，只會在熟悉(圓方程結構)情境中解決問題，停留在熟悉運算(代數)水平，根源在于學生缺少對于式子結構的轉化能力.

2.2 轉化代數結構，培養學生運算中的轉化能力

如何培養學生的轉化能力呢？所謂橫看成嶺側成峰，就是告訴我們要善于轉化視角觀察問題，那么如何轉化a2+b2=c2,c≠0這個式子的結構呢？從左往右看，式子呈現“和”的結構，而和、差結構是經常能夠轉化的.

圖2

如何進一步提高學生的運算水平，再上一個臺階呢？教師的引導就顯得尤為重要，可以讓學生總結前面的解法1、解法2與解法3是從哪方面去認識a2+b2=c2結構，最終使其認識到無論是平方和結構還是平方差結構都是從代數的結構去分析，那么除了從代數角度去觀察，我們還可以從哪里去分析呢？進而讓學生領悟到可以從幾何的結構去分析.從而產生下面解法.

2.3 構造幾何結構，培養學生運算中的創新能力

圖3

3.結束語

數學運算是數學活動的基本形式，也是演繹推理的一種形式，是得到數學結果的重要手段.在平常的教學過程中，特別是解題教學中，不能讓學生僅僅停留在獲得運算結果的層面上，要善于引導學生從式子結構角度開展運算教學，培養學生觀察式子，轉化式子，構造式子的能力，提高學生在運算觀察、運算綜合、運算創新等方面的水平，提升學生的數學運算能力，從而使數學運算素養在課堂教學中實現真正落地.