盤活三角知識 傳播數(shù)學文化

湖北省襄陽市第一中學 (441000) 王 勇 吳玉紅

數(shù)學文化是貫穿整個高中數(shù)學的重要內容，在高考中，以數(shù)學文化為命題背景的試題立意深遠、構思精巧、內涵豐富，既能考查數(shù)學知識、能力、思想和方法，又能加深對中外數(shù)學文明的了解，增強愛國主義情懷，提高數(shù)學文化素養(yǎng)，豐厚數(shù)學文化底蘊.融入對數(shù)學文化的考查已成為新一輪高考命題改革的一個顯著特征.下面精選以三角知識為依托的數(shù)學文化題六例并分類解析，旨在探索題型規(guī)律，揭示解題方法.

一、三角變換 精彩紛呈

圖1

分析：求解本題的關鍵是弄清所求角與36°角，72°角及144°角之間的關系，再利用二倍角公式及誘導公式即可順利求解.

圖2

A.①③ B.①③④ C.①④ D.②③④

二、定理公式 運用自如

圖3

分析：利用數(shù)學文化“折扇”為背景命制的與三角函數(shù)相結合的題目，把雅致秀氣的折扇與扇形的面積相交匯，體現(xiàn)了美育的素養(yǎng)導向.求解的突破口是熟記扇形的面積公式，把半徑相同的兩扇形的面積比轉化為兩扇形的圓心角的比，再利用它們的圓心角的和為2π，即可得小扇形的圓心角的弧度數(shù).

例4 (2020·江西省十校聯(lián)考題)阿波羅尼奧斯是古希臘數(shù)學家，他與阿基米德、歐幾里得被稱為亞歷山大前期三大數(shù)學家，以他名字命名的阿波羅尼斯圓是指平面內到兩定點距離的比值為定值λ(λ>0,且λ≠1)的動點的軌跡.已知在△ABC中，角A,B,C所對的邊分別為a,b,c，且sinA=2sinB，acosB+bcosA=2，則△ABC面積的最大值為( ).

分析：根據(jù)正弦定理得a=2b，及余弦定理得c=2，建立適當?shù)钠矫嬷苯亲鴺讼担柚⒉_尼斯圓可得邊AB上的高的最大值，進而求出△ABC面積的最大值.

圖4

三、三斜求積 璀璨明珠

B.△ABC的三個內角A,C,B成等差數(shù)列

四、實際應用 三角發(fā)威

例6(2020·福建省質檢題)上世紀末河南出土的以鶴的尺骨(翅骨)制成的“骨笛”(圖5①)，充分展示了我國古代高超的音律藝術及先進的數(shù)學水平，也印證了我國古代音律與歷法的密切聯(lián)系.圖5②為骨笛測量“春(秋)分” “夏(冬)至”的示意圖.圖5③是某骨笛的部分測量數(shù)據(jù)(骨笛的彎曲忽略不計)，夏至(或冬至)日光(當日正午太陽光線)與春秋分日光(當日正午太陽光線)的夾角等于黃赤交角.

圖5

由歷法理論知，黃赤交角近1萬年持續(xù)減小，其正切值及對應的年代如下表：

根據(jù)以上信息，通過計算黃赤交角，可估計該骨笛的大致年代是( ).

A.公元前2000年到公元元年

B.公元前4000年到公元前2000年

C.公元前6000年到公元前4000年

D.早于公元前6000年

分析：讀懂題意畫出示意圖，通過解直角三角形和兩角差的正切公式，計算出黃赤交角的正切值，對照題中的表格而得解.

圖6

解析：由題意可畫出示意圖，如圖6，其中AO⊥BO(BO代表骨笛)，AO=10.00，BC=9.40，BO=16.00，故OC=6.60.設黃赤交角為θ，由題意得

縱觀以上各例，我們發(fā)現(xiàn)，此類數(shù)學文化題一般是從中外優(yōu)秀傳統(tǒng)文化中挖掘素材，將數(shù)學文化與三角知識有機結合，要求考生對試題所提供的數(shù)學文化信息材料進行整理和分析，在試題營造的數(shù)學文化氛圍中，感受數(shù)學的思維方式，體驗數(shù)學的理性精神.