初中數學教學中數形結合思想的運用價值

王梓美

【摘要】數形結合思想是數學中的一種重要思想，運用數形結合思想方法可以解決很多數學難題，能夠幫助學生更好地理解與掌握數學知識，提高數學學習的效果，對于初中數學教學具有非常重要的價值。運用數形結合思想能夠更好地分析已知條件與求解問題的關系，將數量關系與幾何圖形融合在一起，構思解題思路，提高解題效率。從小學階段就有關于數形結合思想的運用，初中數學教學中，教師應該結合實際教學經驗，通過文獻研究與問卷調查等，探析數形結合思想的重要價值以及具體運用，加強數學概念教學、以數解形展開教學、以形解數進行教學、總結歸納數形結合。落實以上具體的解題策略，可以循序漸進地發展學生的解題能力。

【關鍵詞】初中數學? 數形結合思想? 以數解形? 以形解數? 總結歸納

【中圖分類號】G633.6 【文獻標識碼】B/A 【文章編號】2095-3089（2021）10-0121-02

初中數學教學中，主要研究對象是代數與幾何，這兩大方面既相互獨立，又相輔相成、互為聯系，表現在具體的數學題目中，主要分為以數解形和以形解數兩大方面。應該認識到，數學學科中的“數”與“形”具有獨特優勢和局限性，僅僅運用代數或者幾何知識很難解決綜合性較強的數學問題，應該將兩者結合起來，互為補充，發揮各自的優勢，更好凸顯數形結合思想的妙用。數形結合思想在初中數學學科中有很多妙用，但是傳統的課堂教學中很少將其作為專題開展教學，初中學生的抽象思維能力與歸納總結能力有限，教師需要加強這方面的教學，幫助學生總結數形結合思想方法，歸納具體的運用，解答更多數學題目。

一、初中數學教學中數形結合思想的重要價值

數學學科中的問題多種多樣、內涵豐富，有代數、幾何、函數、拋物線、坐標系等問題，解決數量關系問題離不開幾何圖形，同樣結合幾何圖形問題也離不開數量關系，“數”與“形”是息息相關、密不開分的[1]。

初中數學教學中，教師指導學生數形結合思想具有非常重要的價值，主要體現為三個方面：一是理清相互關系與構建解題思路。運用數形結合思想解答數學問題時，可以幫助學生理清題目中的代數與幾何關系，形成初步的解題思路，比如對于二次函數方面的問題，可以結合它的圖像與性質探析，明確具有對稱性，y=ax2的a>0或a<0，圖形開口方向不同，a取值不同其開口大小不同，函數圖像會隨著函數解析式的變化而變化。二是培養與提升學生解答數學問題的能力。運用數形結合思想，在遇到數量關系或者幾何圖形方面的問題，可以借助“以形解數”或“以數解形”，解答各類問題，比如證明勾股定理時，可以運用“趙爽弦圖”的方法，在全等三角形、統計與概率等問題中同樣需要用到數形結合思想。三是培養學生數學學科核心素養。數形結合思想作為數學學科的重要思想方法，學生只有掌握與學會靈活運用，才能更好地解答各類數學問題，發展數學思維與提升解題能力，形成數學核心素養。

二、初中數學教學中數形結合思想的具體運用

（一）運用數形結合思想，加強數學概念教學

數學定義、數學公理、數學定理、數學公式與運算法則等數學概念，是初中數學的基礎框架，是學習、理解與掌握數學知識的基礎，只有掌握這些數學基礎概念才能更好地解答相關數學題目。但是，由于數學概念多是文字描述性質的內容，邏輯性較強，通常較難理解，學生在識記時通常只會記憶文字，無法做到靈活運用。數形結合思想能夠幫助學生更好地理解、識記和運用數學概念，讓學生對數學概念了熟于心，進而更好地靈活運用不同的數學概念解決多樣的數學題目[1]。

例如在七年級數學“有理數”的初步學習中，對于“正數和負數”的概念認識，教師可以先運用溫度計實物、電梯樓層圖片、吐魯番海拔高度數據等內容，讓學生借助這些具體事物理解負數的概念。接著，教師可以畫出數軸圖，展示一條向右的線段x，中間是點O，左邊是-a，右邊是a，通過這個數軸的直觀展示，讓學生更好地認識-a代表負數，a代表正數。對于“直線、射線、線段”的概念，教師同樣可以借助數形結合思想，通過展示空間中無端點的、向兩方向無限延伸的圖形，幫助學生理解直線的概念;通過展示由一個端點向一個方向無限延伸的圖形，幫助學生理解射線的概念;通過展示兩個端點與不延伸的圖形，幫助學生理解線段的概念。對于后面的“立體圖形”的概念，為了讓學生理解“不都在同一平面內”的內容，教師可以展示長方體、正方體、圓柱等的模型圖與實物圖，結合圖形講解這個概念，以此幫助學生更好地掌握立體圖形的基本概念。在讓學生理解數學基礎概念之后，還可以出示一些基礎問題要求學生進行分析與解答。

（二）運用數形結合思想，以數解形展開教學

在初中數學教學中運用數形結合思想，教師應該指導學生“以數解形”，就是在解答圖形問題時，將“數”與“形”結合起來，運用數量關系解答幾何圖形問題，需要明確其中的集合點[2]。一般而言，教師可以指導學生從兩個結合點進行思考：一是運用數軸與坐標系等工具，將常見的幾何問題轉為代數問題;二是運用角度、面積、距離等幾何量，更好地解決幾何問題，比如線段比例證明相似、勾股定理證明直角，運用三角函數研究角的大小等。在具體的課程教學中，教師可以先結合一些例題講解類似解題方法，幫助學生理解基本的運用方法，然后再出示相關的訓練題型，讓學生運用數形結合思想中的“以數解形”進行解答。

例如有這樣一道題目：三角形ABC的三邊是m2-n2，2mn，m2+n2（m，n是正整數，m>n），運用含m，n代數式表示，試求出三角形ABC的面積。對于這道題，教師可以先進行講解，分析運用勾股定理證明其中的垂直關系，根據題意可得：（m2-n2）2+（2mn）2=m4-2m2n2+n4+4m2n2=m4+2m2n2+n4=（m2+n2）2，得出△ABC是直角三角形，所以SRt△ABC=1/2（m2-n2）×2mn=mn（m2-n2）=m3n-mn3。在這樣的解答之后，教師還可以出示一些關于“以數解形”的題目，讓學生根據數形結合思想的基本方法試著求解。比如點P是矩形ABCD內的一點，PA=3，PB=4，PC=5，求出PD的長度;如果要將五個邊長是1的正方形組成的十字形圖案裁剪與拼接成一個正方形，用虛線表示出裁剪的痕跡，應該怎樣做？以此讓學生分析與解答。

（三）運用數形結合思想，以形解數進行教學

在數形結合思想中，更加偏重的是運用“以形解數”的方法，主要是因為幾何圖形具有直觀、形象和具體的優勢，能夠更好地將數量關系展現出來，幫助學生更好地分析、思考與解答問題，求解很多不容易解答的代數問題。關于“以形解數”的簡單運用，一是可以運用幾何圖形實際代數公式，如完全平方與平方差的公式;二是運用數軸、平面直角坐標系等可以幾何化代數式，根據代數式的具體內容構造出幾何圖形，從而簡化求解的問題。對于這部分內容的教學，教師同樣可以先引入基礎的例題進行講解，在讓學生掌握基礎的運用之后，再出示相關的練習題，讓學生運用數形結合思想中的“以形解數”試著解答[3]。

例如有這樣一個題目：tanɑ=1/2，tanβ=1/3，且ɑ、β為銳角，求證ɑ+β=45°。對于這個題目，教師可以先結合圖形進行分析：結合正切函數意義構造滿足題目條件的∠ɑ與∠β，構造兩角和為解題的關鍵點，可以通過翻轉，將下面圖形翻轉到上面圖形的下面，構成第二個圖形，所以能夠構造出∠ɑ與∠β的和，即ɑ+β，根據圖形可以證明△ABD≌△CBE，得出△ABC為等腰直角三角形，所以ɑ+β=45°。在這樣講解與讓學生理解之后，教師可以出示相關的題目讓學生試著解答，比如：①等腰△ABC，AB=AC=5，BC=6，P為底邊上任一點，那么P到兩腰距離之和是多少？②關于x的不等式組{x-a>0，2-x>0}整數解有兩個，那么a的取值范圍是多少？通過出示相關題目，讓學生根據例題的解題方法進行解答，最后再根據學生的解答情況進行講解，以此更好地提升課堂教學實效。

（四）總結歸納數形結合

初中數學學科中，關于數形結合思想中的“數”，一般有實數、代數式、函數與不等式等，“形”一般有角、直線、數軸、三角形、四邊形、代表性、相似、勾股定理、全等、拋物線和圓等。對于初中數學教育教學中數形結合思想方法的運用，一般分為兩大類：一是運用數量關系研究與解答幾何圖形的相關問題，需要建立函數關系式或者方程與方程組等，謂之“以數解形”;二是結合圖形直觀性表示數量關系的問題，常用到數軸、坐標系、函數圖形等，謂之“以形解數”。除了這兩項基本的運用，數形結合思想方法在初中數學中還有更多形式的妙用，教師應該結合一些典型例題進行總結歸納，幫助學生更好地掌握具體運用[4]。

例如關于數形結合思想更靈活的運用方式，可以分為五類：一是探究數字變化規律，二是解決數與式的問題，三是解決代數式恒等變形問題，四是解決一些極值的問題，五是解決相關函數的問題。在總結之后，教師還可以出示相關的訓練題目，讓學生靈活運用數形結合思想的各種運用方式試著解答，以此更好地起到鞏固訓練的效果，并做好檢查、點評與講解工作，從而提升學生的運用能力。

三、結語

綜上所述，初中數學教育教學中運用數形結合思想，教師應明確數形結合思想的主要內涵，認識到初中數學教學中數形結合思想的重要價值，明確初中學生的數學基礎與學習能力，根據初中數學的相關知識內容，構建運用數形結合思想教學的基本策略。教師可以深入落實加強數學概念教學、以數解形展開教學、以形解數進行教學、總結歸納數形結合等，引導與促進學生積極參與到數形結合思想的學習與運用中，在具體的訓練與指導中，幫助學生更好地掌握知識，學會靈活運用。

參考文獻：

[1]周芬芬.初中數學教學中數形結合思想的應用探究[J].新課程研究（下旬刊），2017（12）：64-65.

[2]李術輝.芻議在初中數學教學中數形結合思想應用研究[J].中學課程輔導（教學研究），2019，13（2）：216.

[3]騰敏.初中數學教學中數形結合思想的運用研究[J]. 求知導刊，2015，No.40（24）：132-132.

[4]劉玲.淺議數形結合思想在初中數學教學中的應用[J].東西南北：教育，2020（1）：115-115.