初中數(shù)學(xué)教學(xué)中數(shù)形結(jié)合思想的運(yùn)用價值

王梓美

【摘要】數(shù)形結(jié)合思想是數(shù)學(xué)中的一種重要思想，運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想方法可以解決很多數(shù)學(xué)難題，能夠幫助學(xué)生更好地理解與掌握數(shù)學(xué)知識，提高數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的效果，對于初中數(shù)學(xué)教學(xué)具有非常重要的價值。運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想能夠更好地分析已知條件與求解問題的關(guān)系，將數(shù)量關(guān)系與幾何圖形融合在一起，構(gòu)思解題思路，提高解題效率。從小學(xué)階段就有關(guān)于數(shù)形結(jié)合思想的運(yùn)用，初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師應(yīng)該結(jié)合實際教學(xué)經(jīng)驗，通過文獻(xiàn)研究與問卷調(diào)查等，探析數(shù)形結(jié)合思想的重要價值以及具體運(yùn)用，加強(qiáng)數(shù)學(xué)概念教學(xué)、以數(shù)解形展開教學(xué)、以形解數(shù)進(jìn)行教學(xué)、總結(jié)歸納數(shù)形結(jié)合。落實以上具體的解題策略，可以循序漸進(jìn)地發(fā)展學(xué)生的解題能力。

【關(guān)鍵詞】初中數(shù)學(xué)? 數(shù)形結(jié)合思想? 以數(shù)解形? 以形解數(shù)? 總結(jié)歸納

【中圖分類號】G633.6 【文獻(xiàn)標(biāo)識碼】B/A 【文章編號】2095-3089（2021）10-0121-02

初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，主要研究對象是代數(shù)與幾何，這兩大方面既相互獨(dú)立，又相輔相成、互為聯(lián)系，表現(xiàn)在具體的數(shù)學(xué)題目中，主要分為以數(shù)解形和以形解數(shù)兩大方面。應(yīng)該認(rèn)識到，數(shù)學(xué)學(xué)科中的“數(shù)”與“形”具有獨(dú)特優(yōu)勢和局限性，僅僅運(yùn)用代數(shù)或者幾何知識很難解決綜合性較強(qiáng)的數(shù)學(xué)問題，應(yīng)該將兩者結(jié)合起來，互為補(bǔ)充，發(fā)揮各自的優(yōu)勢，更好凸顯數(shù)形結(jié)合思想的妙用。數(shù)形結(jié)合思想在初中數(shù)學(xué)學(xué)科中有很多妙用，但是傳統(tǒng)的課堂教學(xué)中很少將其作為專題開展教學(xué)，初中學(xué)生的抽象思維能力與歸納總結(jié)能力有限，教師需要加強(qiáng)這方面的教學(xué)，幫助學(xué)生總結(jié)數(shù)形結(jié)合思想方法，歸納具體的運(yùn)用，解答更多數(shù)學(xué)題目。

一、初中數(shù)學(xué)教學(xué)中數(shù)形結(jié)合思想的重要價值

數(shù)學(xué)學(xué)科中的問題多種多樣、內(nèi)涵豐富，有代數(shù)、幾何、函數(shù)、拋物線、坐標(biāo)系等問題，解決數(shù)量關(guān)系問題離不開幾何圖形，同樣結(jié)合幾何圖形問題也離不開數(shù)量關(guān)系，“數(shù)”與“形”是息息相關(guān)、密不開分的[1]。

初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師指導(dǎo)學(xué)生數(shù)形結(jié)合思想具有非常重要的價值，主要體現(xiàn)為三個方面：一是理清相互關(guān)系與構(gòu)建解題思路。運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想解答數(shù)學(xué)問題時，可以幫助學(xué)生理清題目中的代數(shù)與幾何關(guān)系，形成初步的解題思路，比如對于二次函數(shù)方面的問題，可以結(jié)合它的圖像與性質(zhì)探析，明確具有對稱性，y=ax2的a>0或a<0，圖形開口方向不同，a取值不同其開口大小不同，函數(shù)圖像會隨著函數(shù)解析式的變化而變化。二是培養(yǎng)與提升學(xué)生解答數(shù)學(xué)問題的能力。運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想，在遇到數(shù)量關(guān)系或者幾何圖形方面的問題，可以借助“以形解數(shù)”或“以數(shù)解形”，解答各類問題，比如證明勾股定理時，可以運(yùn)用“趙爽弦圖”的方法，在全等三角形、統(tǒng)計與概率等問題中同樣需要用到數(shù)形結(jié)合思想。三是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)。數(shù)形結(jié)合思想作為數(shù)學(xué)學(xué)科的重要思想方法，學(xué)生只有掌握與學(xué)會靈活運(yùn)用，才能更好地解答各類數(shù)學(xué)問題，發(fā)展數(shù)學(xué)思維與提升解題能力，形成數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。

二、初中數(shù)學(xué)教學(xué)中數(shù)形結(jié)合思想的具體運(yùn)用

（一）運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想，加強(qiáng)數(shù)學(xué)概念教學(xué)

數(shù)學(xué)定義、數(shù)學(xué)公理、數(shù)學(xué)定理、數(shù)學(xué)公式與運(yùn)算法則等數(shù)學(xué)概念，是初中數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)框架，是學(xué)習(xí)、理解與掌握數(shù)學(xué)知識的基礎(chǔ)，只有掌握這些數(shù)學(xué)基礎(chǔ)概念才能更好地解答相關(guān)數(shù)學(xué)題目。但是，由于數(shù)學(xué)概念多是文字描述性質(zhì)的內(nèi)容，邏輯性較強(qiáng)，通常較難理解，學(xué)生在識記時通常只會記憶文字，無法做到靈活運(yùn)用。數(shù)形結(jié)合思想能夠幫助學(xué)生更好地理解、識記和運(yùn)用數(shù)學(xué)概念，讓學(xué)生對數(shù)學(xué)概念了熟于心，進(jìn)而更好地靈活運(yùn)用不同的數(shù)學(xué)概念解決多樣的數(shù)學(xué)題目[1]。

例如在七年級數(shù)學(xué)“有理數(shù)”的初步學(xué)習(xí)中，對于“正數(shù)和負(fù)數(shù)”的概念認(rèn)識，教師可以先運(yùn)用溫度計實物、電梯樓層圖片、吐魯番海拔高度數(shù)據(jù)等內(nèi)容，讓學(xué)生借助這些具體事物理解負(fù)數(shù)的概念。接著，教師可以畫出數(shù)軸圖，展示一條向右的線段x，中間是點O，左邊是-a，右邊是a，通過這個數(shù)軸的直觀展示，讓學(xué)生更好地認(rèn)識-a代表負(fù)數(shù)，a代表正數(shù)。對于“直線、射線、線段”的概念，教師同樣可以借助數(shù)形結(jié)合思想，通過展示空間中無端點的、向兩方向無限延伸的圖形，幫助學(xué)生理解直線的概念;通過展示由一個端點向一個方向無限延伸的圖形，幫助學(xué)生理解射線的概念;通過展示兩個端點與不延伸的圖形，幫助學(xué)生理解線段的概念。對于后面的“立體圖形”的概念，為了讓學(xué)生理解“不都在同一平面內(nèi)”的內(nèi)容，教師可以展示長方體、正方體、圓柱等的模型圖與實物圖，結(jié)合圖形講解這個概念，以此幫助學(xué)生更好地掌握立體圖形的基本概念。在讓學(xué)生理解數(shù)學(xué)基礎(chǔ)概念之后，還可以出示一些基礎(chǔ)問題要求學(xué)生進(jìn)行分析與解答。

（二）運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想，以數(shù)解形展開教學(xué)

在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想，教師應(yīng)該指導(dǎo)學(xué)生“以數(shù)解形”，就是在解答圖形問題時，將“數(shù)”與“形”結(jié)合起來，運(yùn)用數(shù)量關(guān)系解答幾何圖形問題，需要明確其中的集合點[2]。一般而言，教師可以指導(dǎo)學(xué)生從兩個結(jié)合點進(jìn)行思考：一是運(yùn)用數(shù)軸與坐標(biāo)系等工具，將常見的幾何問題轉(zhuǎn)為代數(shù)問題;二是運(yùn)用角度、面積、距離等幾何量，更好地解決幾何問題，比如線段比例證明相似、勾股定理證明直角，運(yùn)用三角函數(shù)研究角的大小等。在具體的課程教學(xué)中，教師可以先結(jié)合一些例題講解類似解題方法，幫助學(xué)生理解基本的運(yùn)用方法，然后再出示相關(guān)的訓(xùn)練題型，讓學(xué)生運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想中的“以數(shù)解形”進(jìn)行解答。

例如有這樣一道題目：三角形ABC的三邊是m2-n2，2mn，m2+n2（m，n是正整數(shù)，m>n），運(yùn)用含m，n代數(shù)式表示，試求出三角形ABC的面積。對于這道題，教師可以先進(jìn)行講解，分析運(yùn)用勾股定理證明其中的垂直關(guān)系，根據(jù)題意可得：（m2-n2）2+（2mn）2=m4-2m2n2+n4+4m2n2=m4+2m2n2+n4=（m2+n2）2，得出△ABC是直角三角形，所以SRt△ABC=1/2（m2-n2）×2mn=mn（m2-n2）=m3n-mn3。在這樣的解答之后，教師還可以出示一些關(guān)于“以數(shù)解形”的題目，讓學(xué)生根據(jù)數(shù)形結(jié)合思想的基本方法試著求解。比如點P是矩形ABCD內(nèi)的一點，PA=3，PB=4，PC=5，求出PD的長度;如果要將五個邊長是1的正方形組成的十字形圖案裁剪與拼接成一個正方形，用虛線表示出裁剪的痕跡，應(yīng)該怎樣做？以此讓學(xué)生分析與解答。

（三）運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想，以形解數(shù)進(jìn)行教學(xué)

在數(shù)形結(jié)合思想中，更加偏重的是運(yùn)用“以形解數(shù)”的方法，主要是因為幾何圖形具有直觀、形象和具體的優(yōu)勢，能夠更好地將數(shù)量關(guān)系展現(xiàn)出來，幫助學(xué)生更好地分析、思考與解答問題，求解很多不容易解答的代數(shù)問題。關(guān)于“以形解數(shù)”的簡單運(yùn)用，一是可以運(yùn)用幾何圖形實際代數(shù)公式，如完全平方與平方差的公式;二是運(yùn)用數(shù)軸、平面直角坐標(biāo)系等可以幾何化代數(shù)式，根據(jù)代數(shù)式的具體內(nèi)容構(gòu)造出幾何圖形，從而簡化求解的問題。對于這部分內(nèi)容的教學(xué)，教師同樣可以先引入基礎(chǔ)的例題進(jìn)行講解，在讓學(xué)生掌握基礎(chǔ)的運(yùn)用之后，再出示相關(guān)的練習(xí)題，讓學(xué)生運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想中的“以形解數(shù)”試著解答[3]。

例如有這樣一個題目：tanɑ=1/2，tanβ=1/3，且ɑ、β為銳角，求證ɑ+β=45°。對于這個題目，教師可以先結(jié)合圖形進(jìn)行分析：結(jié)合正切函數(shù)意義構(gòu)造滿足題目條件的∠ɑ與∠β，構(gòu)造兩角和為解題的關(guān)鍵點，可以通過翻轉(zhuǎn)，將下面圖形翻轉(zhuǎn)到上面圖形的下面，構(gòu)成第二個圖形，所以能夠構(gòu)造出∠ɑ與∠β的和，即ɑ+β，根據(jù)圖形可以證明△ABD≌△CBE，得出△ABC為等腰直角三角形，所以ɑ+β=45°。在這樣講解與讓學(xué)生理解之后，教師可以出示相關(guān)的題目讓學(xué)生試著解答，比如：①等腰△ABC，AB=AC=5，BC=6，P為底邊上任一點，那么P到兩腰距離之和是多少？②關(guān)于x的不等式組{x-a>0，2-x>0}整數(shù)解有兩個，那么a的取值范圍是多少？通過出示相關(guān)題目，讓學(xué)生根據(jù)例題的解題方法進(jìn)行解答，最后再根據(jù)學(xué)生的解答情況進(jìn)行講解，以此更好地提升課堂教學(xué)實效。

（四）總結(jié)歸納數(shù)形結(jié)合

初中數(shù)學(xué)學(xué)科中，關(guān)于數(shù)形結(jié)合思想中的“數(shù)”，一般有實數(shù)、代數(shù)式、函數(shù)與不等式等，“形”一般有角、直線、數(shù)軸、三角形、四邊形、代表性、相似、勾股定理、全等、拋物線和圓等。對于初中數(shù)學(xué)教育教學(xué)中數(shù)形結(jié)合思想方法的運(yùn)用，一般分為兩大類：一是運(yùn)用數(shù)量關(guān)系研究與解答幾何圖形的相關(guān)問題，需要建立函數(shù)關(guān)系式或者方程與方程組等，謂之“以數(shù)解形”;二是結(jié)合圖形直觀性表示數(shù)量關(guān)系的問題，常用到數(shù)軸、坐標(biāo)系、函數(shù)圖形等，謂之“以形解數(shù)”。除了這兩項基本的運(yùn)用，數(shù)形結(jié)合思想方法在初中數(shù)學(xué)中還有更多形式的妙用，教師應(yīng)該結(jié)合一些典型例題進(jìn)行總結(jié)歸納，幫助學(xué)生更好地掌握具體運(yùn)用[4]。

例如關(guān)于數(shù)形結(jié)合思想更靈活的運(yùn)用方式，可以分為五類：一是探究數(shù)字變化規(guī)律，二是解決數(shù)與式的問題，三是解決代數(shù)式恒等變形問題，四是解決一些極值的問題，五是解決相關(guān)函數(shù)的問題。在總結(jié)之后，教師還可以出示相關(guān)的訓(xùn)練題目，讓學(xué)生靈活運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想的各種運(yùn)用方式試著解答，以此更好地起到鞏固訓(xùn)練的效果，并做好檢查、點評與講解工作，從而提升學(xué)生的運(yùn)用能力。

三、結(jié)語

綜上所述，初中數(shù)學(xué)教育教學(xué)中運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想，教師應(yīng)明確數(shù)形結(jié)合思想的主要內(nèi)涵，認(rèn)識到初中數(shù)學(xué)教學(xué)中數(shù)形結(jié)合思想的重要價值，明確初中學(xué)生的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)與學(xué)習(xí)能力，根據(jù)初中數(shù)學(xué)的相關(guān)知識內(nèi)容，構(gòu)建運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想教學(xué)的基本策略。教師可以深入落實加強(qiáng)數(shù)學(xué)概念教學(xué)、以數(shù)解形展開教學(xué)、以形解數(shù)進(jìn)行教學(xué)、總結(jié)歸納數(shù)形結(jié)合等，引導(dǎo)與促進(jìn)學(xué)生積極參與到數(shù)形結(jié)合思想的學(xué)習(xí)與運(yùn)用中，在具體的訓(xùn)練與指導(dǎo)中，幫助學(xué)生更好地掌握知識，學(xué)會靈活運(yùn)用。

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