基于MATLAB科學計算對二階動態電路的分析與課程設計

蔣禮林，陳 政，孫全亮，高友君，陳 勤

(1. 賀州學院 科研處, 廣西 賀州 542899;2. 賀州學院 材料與化學工程學院, 廣西 賀州 542899; 3. 賀州學院 人工智能學院, 廣西 賀州 542899;4. 賀州學院 教育與音樂學院, 廣西 賀州 542899)

“電路分析”是一門融合物理學和高等數學于一體，適用于電子信息、通信工程和物聯網等本科生必修的基礎理論課程，主要闡述電路的基本理論、概念和分析方法，也是信息類學生進一步學習專業課程的先驅[1-7]。近年來，基于“電路分析”的微課程設計和“金課”建設的教學改革和人才培養課題提出了一些新的觀點[5-6,8]。二階動態電路時域分析作為“電路分析”的重要教學內容，它涉及抽象的物理知識和嚴謹的數學推導，特別是對初學者十分難于理解[5,7,9-12]。也就是說，如何理解二階微分方程兩個特征根的特點，就決定了能否正確理解和掌握二階電路響應中自由分量的變化規律[7,10,13-14]。MATLAB (Matrix Laboratory) 作為一種以矩陣運算為基礎的交互式程序語言，具有實用性、科學性、簡潔性、有效性和先進性；它的另一個特點是語言結構簡單、易于學習和操作，是執行教學、科學研究、仿真、工程設計和數值計算等工作非常有效的計算機語言工具[15]。由此可見，“電路分析”具有理論性強、實踐性高、內容抽象、電路繁多、學生難于理解和教師難于施教的共同特點[7,9,15]。然而，這些特點對“電路分析”專業基礎課的教、學、研和人才培養產生了一定負面影響。因此，為提高“電路分析”教學和人才培養質量，開展了以二階動態電路經典解法和MATLAB科學計算方法相結合的研究，通過選用綜合性的數值計算實例來深入闡述求解二階電路的方法和課程設計，培養學生全面理解、掌握和運用相關知識來解決實際二階動態電路的能力，進而激發學生的動手、靈活思維和創新能力，同時為深入學習電子信息領域相關專業課程和分析方法奠定堅實的基礎。

1 二階動態電路實例

二階動態電路是指含有兩個動態性能不同的儲能元件或者動態性相同的相互獨立的儲能元件組成的電路，且能用二階常微分方程描述該電路的特性。如，圖1所示是一個在t=0時刻S開關閉合的經典RLC串聯電路。假設電容電壓的初始值uC(0-) =10 V，電感電流的初始值iL(0-) =0 A，L=1 H，C=0.25 F，分別求解R=5 Ω、R=4 Ω、R=1 Ω和R=0時，電路中電容兩端電壓uC(t)和電感電流iL(t)的演化規律[7]。

圖1 RLC串聯電路示意圖

根據KCL和KVL定律可得

(1)

(2)

(3)

(4)

(4) 式就是圖1所示的RLC電路的自由振蕩方程，其特解為零(即，電路沒有強制響應)。因此，該RLC電路的自由響應為其電路的全響應。

(5)

對于沒有強迫振蕩RLC電路的二階常系數齊次線性微分方程 (4) 的特征根的不同形式，其自由響應解的表達式不同，即所隱含的物理意義也不同。表1展現了RLC電路的自由響應解與其特征根的對應關系，其中所有自由響應表達式的經典求解可參考文獻[7,9]。電路系統表現出振蕩狀態應歸因于二階常系數齊次線性微分方程 (4) 的特征根 (5) 式出現了兩個共軛復根(虛根)，即RLC回路中電容器儲存的電場能與電感線圈儲存的磁能相互轉換而產生的現象。

表1 RLC電路的自由響應解與其特征根的對應關系

(6)

由圖2可見，這時電路的特征根是兩個不相等的負實根。很明顯，uC(t)≥0 (即為圖1所示的參考方向) 且其振幅隨時間t一直衰減到0，這說明在整個過程中電路處于過阻尼非振蕩的單一E指數衰減和電容一直處于放電狀態。然而，iL(t)≤0表示其實際方向與所選定的參考方面相反；并且當t≈0.5 s時，iL(t)達到負最大值約1.6 A。之后，iL(t)隨時間t以多E指數衰減到0。在整個過程中，電容儲存的電能轉化為電阻R消耗的能量和電感L儲存的能量。

圖2 R=5 Ω時uC(t)隨時間t的演化過程 (a)和iL(t)和R=5 Ω時iL(t)隨時間t的演化過程(b)

同理可得第2種情況：當R=4 Ω時，uC(t)和iL(t)的表達式分別為

(7)

這表示電路的特征根是兩個相等的負實根和電路處于臨界阻尼非振蕩衰減狀態，即為過阻尼與欠阻尼的分界線。由圖3可見，R=4 Ω(圖3)與R=5 Ω(圖2)的兩種情況所對應的變化規律和能量轉化基本類似。然而，當t≥0.5 s時考慮uC(t)和iL(t)的E指數衰減速率，R=4 Ω 明顯快于R=5 Ω。

圖3 R=4Ω時uC(t)隨時間t的演化過程(a)和R=4Ω時iL(t)隨時間t的演化過程(b)

第3種情況，當R=1 Ω時，uC(t)和iL(t)的表達式分別為

值得注意的事是，在這項研究中所有角度均采用弧度制。該方程的特征根是一對共軛復根，這表明：由于電阻不斷消耗能量，所以電容的電場能與電感的磁場能相互交換，并且總能量越來越少，最終電路系統的總能量變為0。如，圖4所示為R=1 Ω時uC(t)和iL(t)隨時間的變化規律。可見，電容兩端的電壓uC(t)和流過電感的電流iL(t)的振幅在兩條對稱的E指數之間隨著時間t演化做振蕩衰減，并且最終衰減少為0。這可歸因于初始的電場能在電容與電感之間相互轉化，且最終所有能量被電阻R所消耗(即轉化熱能或其他形式的能量)。這種情形稱為RLC電路的欠阻尼振蕩衰減。

圖4 R=1 Ω時uC(t)隨時間t的演化過程(a)和R=1Ω時iL(t)隨時間t的演化過程(b )

第4種情況：當R=0 Ω時，uC(t)和iL(t)的表達式分別為：

(8)

這表示電路的特征根是一對共軛虛根，即由于電路不存在電阻，并且電容與電感都不消耗能量，所以電路以初始時刻儲存的能量在電容與電感之間周而復始地交換。如，圖5所示為當R=0 Ω時uC(t)和iL(t)的變化規律，即uC(t)以正弦和iL(t)以余弦隨時間t無衰減振蕩變化。這歸因于電阻不消耗能量 (R=0 Ω，初始電場能可在電容與電感之間完全相互轉化。

圖5 R=0 Ω時uC(t)隨時間t的演化過程(a)和R=0 Ω時iL(t)隨時間t的演化過程(b)

以上通過對RLC二階動態電路4種情況的詳細分析與講解，能讓學生對枯燥和抽象的二階動態電路的教與學非常直觀地理解，能激發學生用創造性思維去分析問題，從而有利于提高教學質量并輸出高質量的人才。

2 MATLAB科學計算主程序

為了把二階動態電路時域分析涉及的數學公式復雜性和物理內容抽象性直觀地呈現給學生，所以基于MATLAB科學計算列出典型欠阻尼振蕩衰減(第3種情況)的主程序。另外，其他3種情況的MATLAB程序只要在此基礎上稍加修改就能實現運算。同時，學生親自使用MATLAB編程并運用相關實例更有利于激發學生的動手能力和創新意識。以下為R=1 Ω時，uC(t)和iL(t)隨時間t演化的MATLAB程序，本程序僅為相關的教學研究提供參考。

MATLAB源程序：

clc; clear; close all;

uc0=10; iL=0; L=1; C=0.25; %RLC電路的相關常數

R=[5 4 1 0];

alfa=R/(2*L); %電路的衰減系數

w0=sqrt(1/(L*C)); %無阻尼振蕩角頻率

wd=sqrt(1/(L*C)-(R/2*L).^2); %有阻尼衰減振蕩角頻率

t=0:0.01:10; %時間變量

k1=10.33; %積分常數k

fai0=pi*75.5/180; %積分常數初始相位角，并用弧度制表示角度

uc3=k1*exp(-alfa(3)*t).*sin(wd(3)*t+fai0); %電容器兩端的電壓uC(t)

iL33=-C*k1*w0*exp(-alfa(3)*t).*sin(wd(3)*t); %流過電感的電流iL(t)

plot(t, uc3, '-m', t, iL33, '-b', 'linewidth',2); %繪制二維數據圖及參數設置

axis([-0 10 -12 12]);

xlabel('t/s'); ylabel('

Evolution of amplitude'

);

legend('

R=0, uc(t) Oscillation','

〗R=0, iL(t) Oscillation');

grid on

result=[t', uc3', iL33'];

save -ASCII -DOUBLE result.dat result; %保存計算數據，以便數據處理

3 課程設計

教學是教師與學生之間互動的傳授知識與接受知識的重要過程。教師對課堂知識的有效設計與講解十分有利于學生對知識的接受。基于對二階動態電路經典解的分析和MATLAB程序的實現，設計二階動態電路時域分析的課程，示意圖見圖6。該示意圖由6個模塊組成，即：實際電路、電路模型、構建元件電路圖、求解方程、理論結果與數值結果。很明顯，模塊與模塊之間是可逆的，即模塊之間的關系為相互印證。從“構建元件電路圖”到“求解方程”的講授都能提高學生對物理、數學及工程問題的分析與理解。將復雜和抽象的“理論結果”轉化為簡單和具體的“數值結果”，更能加深學生對數學公式和物理內含的理解。這一環節的重要性體現在能培養學生全面理解、掌握和運用數學和物理知識解決實際RLC二階動態電路問題的能力，進而激發學生的動手編程、整體思維和運用MATLAB創新解決問題的能力，同時為學生進一步深入學習電子信息領域相關專業課程和分析方法奠定堅實的基礎。

圖6 二階動態電路時域分析的課程設計示意圖

4 結論

通過使用MATLAB程序包對“電路分析”RLC二階動態電路經典解的時域情況進行數值計算和物理內含分析，結果表明：相對于單調、復雜和乏味的純數學公式，RLC二階動態電路經典解的MATLAB科學計算更能有效地讓學生理解和掌握數學與物理之間的內存聯系，以及RLC二階動態電路不同經典解所表達的物理意義。針對RLC二階動態電路時域變化規律教與學的課程設計有利于學生理解經典解的求解方法和各元件之間能量的轉化。因此，基于MATLAB科學計算對二階動態電路的研究能很好地培養學生全面理解、掌握和運用相關知識解決實際二階動態電路的能力，激發學生的動手、靈活思維和創新能力，同時為深入學習電子信息領域相關專業課程和分析方法奠定堅實的基礎；同時，也可以為從事電子信息工程類的教學與研究人員提供交流與參考。