概率分析和結構計算的大壩變形監控指標擬定★

李延卓 李姝昱

(黃河水利委員會黃河水利科學研究院，河南 鄭州 450003)

0 引言

典型監測效應量的小概率法雖然在實際的大壩安全變形監測工作中會經常使用，但是該方法在分析典型監測效應量的概率密度函數時，會產生不確定性。針對這一問題，研究了以信息不確定性最小、概率密度函數熵最大為依據的最大熵法，應用信息熵中的最大熵原理，得到精度較高的最大熵概率密度函數，進而擬定監控指標。而考慮到通過概率分析擬定監控指標時沒有定量聯系強度和穩定控制條件，也未能聯系大壩的結構特性。因此，將結構Em=F-1(E,α)計算和概率分析相結合，研究了大壩變形監控指標擬定的混合法，即通過結構計算確定監控指標的水壓分量；根據實測資料，建立變形的混合模型，得到一定概率水平下的溫度分量極值和時效分量，從而擬定出更具有物理意義的大壩變形監控指標。

1 變形安全監控指標擬定的最大熵法

美國工程師Shannon提出“信息熵”這一概念[2]，他將事物可能出現的狀態或結果稱為信源，一個離散的信源X可以表示為：

信源X是隨機變量，X取xi的先驗概率為pi。將信源X不確定性的測度定義為信息熵H(x)：

(1)

若為連續型隨機變量，熵的計算公式如下：

(2)

其中，f(x)為連續型隨機變量x的概率密度函數。

由熵的最大值的原理，熵的最大值的計算公式如下[3,4]，即：

(3)

為了求得熵H(x)的最大值，引入Lagrange乘子λi作目標泛函數：

(4)

然后，根據駐值條件?L/?f(x)=0，則有：

(5)

可解得：

(6)

該式即為最大熵概率密度函數的解析形式。

要得到隨機變量x的最大熵概率密度函數，就需要求解出式中的n+1個拉格朗日系數，即求解以下(n+1)個非線性方程：

(7)

可通過牛頓迭代法來求解該非線性方程組。

由牛頓迭代法求出隨機變量x的最大熵概率密度函數f(x)，xm為監測效應量的極值，當x>xm或x

(8)

(9)

在求得f(x)后，擬定安全監控指標xm的主要問題就是確定失效概率Pα，通常根據大壩重要性取為1%～5%，采用插值法求得Pα對應的變形安全監控指標，即：

xm=F-1(x,α)

(10)

2 變形安全監控指標擬定的混合法

采用結構分析法計算得到監控指標對應的水壓分量δHm；同時通過有限元計算和實測值分析建立混合模型，分離出溫度分量樣本，采用典型小概率法或最大熵法求得一定概率水平下的溫度分量極值δTm；時效分量δθm則是由混合模型直接計算得到。在實際應用時，結構分析法和混合

模型得到的位移都是相對于初始狀態的相對值，因此擬定的監控指標還需要加上初始狀態的位移δ0，具體表達式為：

δm=δHm+δTm+δθm+δ0

(11)

2.1 基于結構分析法的水壓分量確定

根據大壩安全條例和監測規范中關于大壩安全狀態和大壩結構性態的分類方法，相應地將變形安全監控指標劃分為一、二、三級[5]。結構分析法擬定變形監控指標時，主要以強度和穩定性作為控制條件，并且不同級別的監控指標具有不同的控制條件，詳見表1。

表1 不同等級監控指標控制條件

采用混合法擬定變形監控指標，水壓荷載一般選取的是設計考慮的工況。對于混凝土壩，選取特征水位計算水壓分量時，計算出特征水位下關鍵部位的應力、滑動面的滑動力等，根據表中各級監控指標強度和穩定的控制條件判斷是否滿足要求；最后通過結構計算得到對應級別變形監控指標的水壓分量δHm。

2.2 基于混合模型的溫度分量極值確定

考慮到在工程實際中確定與設計等級相對應的最不利溫度荷載工況比較復雜，根據變形的實測資料，建立變形的混合模型，即:

(12)

其中，δH為水壓分量；X為調整系數；δT為溫度分量；Tk為周期諧波因子或觀測日前期實測氣溫的平均值；δθ為時效分量。

通過對實測位移資料的分析，從建立的混合模型可分離出溫度分量，選取不利溫度荷載組合時的溫度分量Xmi，則Xmi為隨機變量，由監測資料序列可得到一個溫度分量的樣本空間(子樣數為n)：{Xm1,Xm2,…,Xmn}。采用典型小概率法或最大熵法，確定溫度分量的分布類型或最大熵概率密度函數從而得到一定概率水平Pα(α)下溫度分量的極值δTm。

2.3 基于混合模型的時效分量確定

采用混合法擬定變形監控指標時，時效分量同樣是通過混合模型來獲得，即根據最近分析時段的監測資料建立變形的混合模型，分離出時效分量，當測值穩定且無明顯趨勢性變化時，可取初始日至監測資料系列最后一天的時效分量作為δθm。

3 實例分析

某樞紐工程大壩壩型為混凝土重力壩，最大壩高113.0 m，壩頂全長308.5 m。水庫正常蓄水位173.0 m，設計洪水位174.76 m，校核洪水位177.80 m。大壩壩體共分為6個壩段，自左向右依次命名為1號～6號壩段，其中1號、2號、5號、6號壩段為擋水壩段，3號、4號壩段為溢流壩段。選取2號非溢流擋水壩段以及4號溢流壩段作為典型壩段，對2003年—2008年壩頂水平位移的垂線監測資料進行分析。

3.1 典型小概率法

選取每年的變形最大值δmi作為典型監測效應量，見表2。采用典型小概率法得到，2號、4號壩段壩頂水平位移最大值服從正態分布，對應于α=5%的監控指標見表3。

表3 典型小概率法擬定的安全監控指標 mm

3.2 最大熵法

同樣選取2號和4號壩段壩頂水平位移的年變形最大值作為典型監測效應量，采用牛頓迭代法，得到各典型壩段壩頂水平位移年最大值的最大熵概率密度函數，求出不同失事概率下的變形安全監控指標，如下：

2號壩段壩頂水平位移最大值的最大熵概率密度函數為：

f(x)=exp(-2.068 075 8+1.363 385 8x-

0.431 906 4x2+0.000 375x3+0.000 000 04x4)。

根據δm=F-1(x,α)，求出當失效概率α=5%時，對應的安全監控指標δm=3.359 mm。

4號壩段壩頂水平位移最大值的最大熵概率密度函數為：

f(x)=exp(-9.011 408 34+5.892 724 7x-

1.015 403 4x2-0.000 986 2x3+0.000 000 1x4)。

根據δm=F-1(x,α)，求出當失效概率α=5%時，對應的安全監控指標δm=4.028 mm。

3.3 混合法

該壩為混凝土重力壩，在選擇最不利荷載組合時應滿足的條件為：壩踵處不出現拉應力，壩趾處壓應力不超過容許值，壩基面抗滑穩定滿足設計要求。對典型壩段的強度及穩定進行復核，計算典型壩段在設計洪水位工況下，壩踵、壩趾處的垂直向正應力以及壩基面的抗滑穩定系數K，典型壩段有限元模型如圖1所示，計算時選取的材料參數見表4，結果見表5。

表4 典型壩段的材料參數

表5 設計洪水位下典型壩段強度及穩定復核計算結果

根據表4，表5可知，設計洪水位時，典型壩段的強度和穩定均滿足要求，在擬定變形監控指標時，水壓分量選取設計洪水位對應的壩體位移。根據實測資料建立壩頂位移的混合模型，分離出溫度分量，根據每年壩頂水平位移最大值出現的時段，得到溫度分量的樣本空間。經K-S法檢驗，選取的2號壩段溫度分量樣本服從正態分布N(0.586，0.282)；4號壩段溫度分量樣本同樣服從正態分布N(0.987，0.134)。采用典型小概率法計算出pα=5%下2號和4號壩 段溫度分量極值δTm分別為1.048 mm和1.207 mm。從建立的混合模型中分離出時效分量，通過對時效分量的分析得出，2號和4號壩段的時效變形已趨于穩定，因此選取初始日至監測資料系列最后一天的時效分量作為δθm用于擬定水平位移監控指標。根據結構計算和位移混合模型中各分量的分離結果，由式(11)擬定典型壩段壩頂水平位移的安全監控指標見表6。

表6 基于混合法的各分量值及監控指標擬定 mm

3.4 幾種方法的分析和比較

通過分析和比較典型小概率法、最大熵法以及混合法擬定的典型壩段壩頂水平位移監控指標，可以看出：

1)典型小概率法和最大熵法定性對強度和穩定不利荷載組合所產生的效應量進行分析，即都是對典型監測效應量(每年位移的極大值)直接進行分析。兩種方法擬定的監控指標值較為接近，也證明了最大熵法擬定監控指標的可行性。但這兩種方法擬定的監控指標只是現行荷載條件下的極值，即是一個警戒值，而想得到符合實際的監控指標，還需要有長期的監測資料，且要包含真正遭遇的較不利荷載組合。

2)采用混合法擬定監控指標時，將結構計算和概率分析結合起來，定量聯系了大壩強度和穩定的控制條件。將設計洪水位下結構計算得到的水平位移作為監控指標的水壓分量，同時由混合模型確定了在一定概率水平下的溫度分量極值，充分考慮了不利荷載的疊加組合，擬定的監控指標值也明顯大于小概率法和最大熵法得到的結果，可作為該壩的變形監控指標。

3)這三種方法在擬定變形安全監控指標時，均用到了失事概率pα(α)，但α的取值目前還沒有明確的規范規定，因此在根據大壩的重要性確定α值時帶有一定的主觀經驗性。

4)無論是典型小概率法、最大熵法還是混合法，擬定大壩變形監控指標時都是依據現有的監測資料，對其抵御未來荷載的能力進行估計。在實際運行中，壩體和地基抵御荷載的能力在不斷變化，根據大壩的具體情況，及時修正現有的安全監控指標，并及時做好監測資料整編分析，確保大壩正常運行。