基于迭代優化的多電機交叉耦合控制方法研究

李書領，段松凱，李書良

（1.河南機電職業學院電氣工程學院，河南鄭州451191；2.包頭鋼鐵集團，內蒙古包頭014000）

隨著科學技術的發展，人類生產生活對機電設備復雜程度的需求日益提升，電機作為機電產品中的驅動設備，已被廣泛應用于各個領域。利用電機實現電能與機械能的轉換，具有高效、環保且可靠的優點，是目前工業生產和控制中普遍應用的驅動產品。以適應復雜工控環境和市場需求為導向，越來越多的機電產品如工業生產線、打印機、數控機床、醫療器械及工業機器人等，其控制系統都需要多電機協同控制，驅動執行機構實現預期功能。目前，多電機控制系統中存在的遲滯非線性、參數攝動及多狀態變量等問題是研究的重點和難點，國內外學者對此展開廣泛深入研究，以提高多電機同步控制或協同控制的精度[1-4]。

馮建修等學者[5]以玻璃纖維濕法氈生產線為研究對象，提出了基于變頻器間數據傳輸特性和控制器特性的激光測距閉環控制策略，并說明了交流同步傳動系統的實現方法。谷雨等學者[6]在相鄰交叉耦合控制策略的基礎上，考慮不同職能電機的功能權值，提出了加權交叉耦合的多電機同步控制算法，利用Matlab/Simulink對算法的有效性和穩定性進行了驗證。李言民等學者[7]為保證多臺伺服電機的同步控制精度，提出了基于模糊PID控制器的多電機交叉耦合控制方法，通過Matlab仿真實驗驗證了此方法對系統抗擾動的優化。上述方法通過優化控制器結構和參數提高多電機同步控制精度，但由于這些控制方法需要較大計算量，多通過仿真驗證算法的性能，難以應用在實際工控環境中。

Xia Changliang等學者[8]針對兩自由度機械控制平臺，在傳統的比例積分速度控制器基礎上，利用卡爾曼濾波對速度反饋信號實時估計，降低傳感器反饋信號的噪聲，提高多電機同步控制精度。涂文聰和周湛清等學者[9-10]分別利用模糊動態代價函數和魯棒控制方法實現模型預測電流或轉矩控制，將現代智能控制算法思想融入控制器，可有效提高伺服電機單軸跟蹤精度。樊英等學者[11]提出了基于新型趨近律和混合速度控制器的IPMSM調速系統滑模變結構控制，通過提高單軸永磁同步電機的跟蹤性能來間接提高多電機同步跟蹤性能。綜上所述，利用提高單軸動態特性及反饋信號準確度的方法可以在一定程度上提高多電機同步控制精度，但是對于具有交叉耦合特性的機電系統，此類方法不再適用。

Shi Tingna等學者[12]簡化了基于偏差耦合的控制器結構，利用速度環同步控制調節實現多電機同步性能和跟蹤性能的解耦控制。為兼顧控制系統單軸跟蹤性能和多軸同步性能，耿強等學者[13]針對傳統偏差耦合多電機同步控制方法，將多電機系統運行過程進行分段化處理，提出了基于線性系統校正原理的改進型偏差耦合控制結構，根據分段控制需求設計控制器輸出選擇函數，通過仿真和試驗驗證了所提方法的有效性和可行性。以上方法針對實際被控對象，進行數學建模和控制器優化，能夠較好地解決多電機同步控制精度的問題，但是在試驗過程中需要進行大量的在線計算，給控制器帶來了較大的運算負擔，在一定程度上占用了控制器在其他方面的運算能力。

為了有效提升多電機交叉耦合控制系統的動態性能，降低控制器運算負載，提高算法實現可行性和普適性，本文提出一種基于迭代優化的多電機交叉耦合控制方法，針對被控對象數學模型及輸入指令跟蹤軌跡，設計合理的前饋控制器結構，并對前饋控制器的參數迭代優化，利用前饋控制器的有效補償提升被控對象的多軸交叉耦合控制性能，最后，通過仿真和試驗驗證所提算法的正確性和有效性。

1 前饋控制器結構設計

針對含有控制器、旋轉伺服電機和滾珠絲杠的機電系統，建立其數學模型，圖1為機電控制系統的控制框圖。

圖1 典型機電系統控制框圖Fig.1 Control block diagram of typical electromechanical system

圖1中，控制環節采用傳統的PID控制器，由于機械系統需要將旋轉伺服電機的旋轉運動轉換為直線運動，因此利用聯軸器和滾珠絲杠實現運動形式轉換。針對圖1的典型機電系統控制功能框圖，在忽略前饋補償環節的條件下，系統傳遞函數為

式中：x（s）為機電系統的輸出位移；xr（s）為系統位置指令；Kp，Ki，Kd分別為PID控制器的比例、積分和微分系數；Kt為旋轉伺服電機的轉矩系數；Krl為機械平臺旋轉運動與直線運動的轉換系數，其與聯軸器剛度、滾珠絲杠參數有關；M為滾珠絲杠和移動平臺在工作過程中的等效質量；B為機械平臺在平行移動時的阻尼系數。

根據式（1）所示的系統傳遞函數，在考慮傳動環節的情況下，系統含有高階特性，在單軸運動控制過程中，常利用前饋控制器對系統特性進行補償，實現響應快、精度高的動態性能要求。對于兩軸或多軸機電系統，由于不同自由度工件臺的質量相互耦合，其某一自由度工件臺的等效質量隨運動過程呈慢時變特性，因此針對多自由度機電系統交叉耦合問題，設計合理的前饋控制器對系統交叉耦合特性進行補償，是提高系統動態性能的關鍵。

前饋控制器的設計主要包括前饋控制器結構設計和參數優化。其設計的核心是利用前饋控制器結構和參數優化實現對被控對象數學模型的逆等效。在理想狀態下，若前饋控制器F能夠與被控對象數學模型的逆等效，則系統在無控制器作用下也可實現對輸入指令軌跡的準確跟蹤。考慮到式（1）所示的系統傳遞函數，本文采用基于連續指令軌跡的前饋控制器，其數學表達為

式中：F（s）為前饋控制器結構；s為對指令軌跡的微分；n為指令軌跡微分的階數。

則前饋控制器輸出ufo為

式中：F（a）中元素a0，a1，a2，…，an為前饋控制器對應參數配置。

綜上，根據前饋控制器的參數和指令軌跡可以確定前饋控制器補償量，與系統控制器輸出共同確定控制率輸出，實現對伺服電機的控制調節作用。以兩自由度平臺為研究對象，在考慮系統交叉耦合特性影響下，圖2為系統交叉耦合前饋控制器結構原理，其中單軸前饋控制器用來擬合本系統模型的逆，耦合前饋控制器負責解耦其余自由度系統對本系統的影響，在此基礎上需確定前饋控制器中的參數以及參數的迭代優化方法，利用準確高效的參數優化方法實現系統動態性能的提升。

圖2 交叉耦合前饋控制器結構原理圖Fig.2 Structural schematic diagram of crosscoupled feedforward controller

2 迭代優化控制策略

本文采用基于連續指令軌跡的前饋控制器結構，根據前饋控制器結構，其傳遞函數中不含有極點，若能夠保證其前饋控制量輸出有界，則可確定此前饋控制器自身穩定，進而保證系統穩定性。根據圖1可確定系統單軸跟蹤誤差的表達式如下：

式中：xr（a）為輸入指令軌跡；x（a）為工件臺輸出位移；e（a）為系統單軸跟蹤誤差。

為提高此系統動態響應特性，即保證在輸入指令軌跡時變的過程中，系統能夠快速、準確地實現對目標指令軌跡的跟蹤，避免單軸跟蹤誤差受到自身系統和耦合系統的共同影響，基于單軸跟蹤誤差定義控制系統的目標函數如下：

式中：Z為自定時非零正整數。

根據數值分析相關理論，式（5）的目標函數為凸函數，為確定其迭代更新率求解過程，首先確定初始前饋控制參數向量a0和正定矩陣Q，如下式所示：

式中：dk為迭代運算中間變量；k，i分別為迭代次數和F（a）中的第i個元素；?為梯度運算符號；τk為相互共軛且線性無關的向量，此向量可在初始化階段設定，滿足求解方程要求即可。在迭代計算過程中τk表達式如下式：

式（7）中，τk為方程求解初始化階段設定的向量參數，在迭代計算過程中，需要根據τk的殘差判斷方程求解的停止條件，即τk為方程求解精度設定向量，在實際應用過程中，根據所需計算精度、處理器運算能力與計算效率匹配確定。

3 控制方法收斂性分析

針對第2節的前饋控制器參數向量確定方法，本節將對參數向量確定方法的收斂速度和收斂精度進行分析。根據式（5）所示的目標函數可知其滿足凸函數定義，假設ao為目標函數的最優解，若目標函數二階連續可導，則目標函數滿足下式：

且若目標函數的最優解為ao，則對目標函數J（a）在最優解點進行泰勒函數展開，有：

式中：為前饋控制器參數向量與最優解目標向量的殘差值。

此時聯立式（8）和式（9）可以得到：

進一步可求得殘差的表達式：

若保證前饋控制器參數向量不斷收斂，則需要殘差向量滿足下式：

即對式（11）兩邊取范數后，需使不同迭代次數的殘差向量滿足式（12），將式（11）和式（12）聯立可得：若前饋向量滿足收斂特性，則需要Z滿足條件0＜Z＜2。

若使前饋控制器參數向量收斂速度快，則根據式（12）可知：若Z=1時，理論上其可以實現快速收斂，通過1次迭代計算即可得到最優前饋控制器參數向量。但是，由于機電系統在數學建模過程中包含簡化環節，如機械平臺的死區非線性、遲滯滯回特性以及電機電感等非線性環節，在迭代計算過程中不可避免地產生系統誤差，因此收斂特性會受到影響。在確定前饋控制器參數向量過程中，通過多次迭代優化可以降低上述非線性環節的影響，得到前饋控制器參數向量最優解。

上述前饋控制器參數向量確定方法和收斂性分析是針對單軸伺服展開的，對于圖2所示的交叉耦合前饋控制器，前饋控制器結構和迭代優化方法相同，即通過優化前饋控制器結構和參數確定最優解，實現對單軸系統本身及其他自由度對本軸影響的有效補償。

4 仿真試驗驗證

為驗證所提迭代優化更新方法的正確性和收斂性，利用Matlab/Simulink對其算法驗證。仿真試驗中采用的控制器及被控對象參數為：工件臺等效質量M=1.25 kg，工件滑動阻尼系數B=0.625 N/（m·s-1），控制器比例系數Kp=676.4，控制器積分系數Ki=10 146.1，控制器微分系數Kd=0。基于以上的被控對象和控制器參數，利用基于軌跡信息的前饋控制器實現迭代優化控制，判斷迭代更新方法的收斂速度和收斂精度。

針對控制系統模型和控制器，以文獻[14]中指令軌跡為參考位置輸入進行仿真分析，利用所提的前饋控制器參數向量迭代優化方法進行參數的迭代更新，圖3為10次迭代計算過程中迭代次數與目標函數的關系。由圖3可見，本文所提方法能夠在較短迭代過程中實現收斂，收斂速度較好，且隨著迭代計算次數的增加，其目標函數能夠收斂到全局最優。

圖3 迭代優化方法的收斂性分析Fig.3 Convergence analysis of iterative optimization method

圖4為傳統交叉耦合算法和本文所提出的基于迭代優化控制方法的比較。由圖4可知，利用傳統交叉耦合算法，其最大跟蹤誤差為0.7 μm，而利用迭代優化控制方法對交叉耦合控制器優化后，其最大跟蹤誤差在0.2 μm以內，據此通過仿真驗證了所提算法的有效性。

圖4 傳統交叉耦合與迭代優化算法比較Fig.4 Comparison of traditional cross-coupling and iterative optimization algorithms

為進一步驗證所提方法的適用性和通用性，通過XY兩自由度試驗平臺進行試驗。兩自由度試驗平臺機械部分由THK滾珠絲杠和聯軸器組成，電氣部分包括自研的控制板卡和臺達旋轉交流伺服電機等，利用道爾光柵作為位置反饋傳感器，其分辨率為1 μm。基于上述試驗平臺，對勻速位置指令和正弦位置指令分別試驗，利用本文所提的迭代前饋控制器參數優化方法，采集單軸跟蹤誤差來對比說明不同控制方法的動態性能。

圖5為在10 mm/s的指令速度下，傳統PID控制器和基于迭代優化控制方法所對應的單軸跟蹤誤差，基于傳統PID控制器的單軸跟蹤誤差的均方根值為21.3 μm，利用迭代優化的PID控制器試驗平臺的單軸跟蹤誤差的均方根值為13.7 μm。

圖5 勻速指令下單軸跟蹤誤差Fig.5 Uniaxial tracking error under uniform speed command

與此同時，在幅值為50 mm、周期為1 s的正弦位置指令輸入下，基于PID控制器（初始狀態）和迭代優化后的試驗結果如圖6所示，傳統PID控制器所對應的單軸跟蹤誤差均方根值為88.3 μm，利用迭代優化前饋控制器的控制方法其單軸跟蹤誤差的均方根值為25.6 μm；由于驅動控制過程中采用d-q軸控制方法，根據圖7的q軸電流采樣可見，初始狀態下其q軸采樣值的最大值為350 mA，經過迭代優化計算后q軸采樣值的最大值為200 mA，即通過迭代優化后的控制方法能夠通過前饋交叉耦合前饋控制適量補償，從而減少控制器作用，提高系統動態跟蹤精度。

圖6 正弦指令下單軸跟蹤誤差Fig.6 Uniaxial tracking error under sinusoidal command

圖7 正弦指令下q軸電流采樣Fig.7 Sampling of q-axis current under sinusoidal command

綜上所述，基于迭代優化的多電機交叉耦合控制方法能夠有效提升機電系統的動態控制精度，根據勻速位置指令和正弦位置指令的試驗結果可以發現，基于軌跡的前饋控制器結構及其參數優化方法能夠有效提升系統動態特性，且優化方法具有較好的收斂速度和收斂精度，為實際工程應用奠定基礎，為解決多軸電機同步控制及交叉耦合問題提供思路。

5 結論

為提高多電機同步控制性能及多自由度機電系統的動態特性，本文提出一種基于迭代優化的多電機交叉耦合控制方法。首先，針對機電系統進行數學建模，利用經典控制器理論推導系統傳遞函數；其次，設計合理的前饋控制器結構并提出有效的前饋控制器參數優化方法；再次，對所提方法進行了收斂速度和收斂精度的分析；最后，通過仿真和試驗驗證了所提方法的正確性和實用性。本文所提控制方法能夠通過離線迭代優化，實現目標函數的快速收斂，有效降低了控制器在線運算負載和算法實現難度。