三種q-算子的推廣

黃代萍

(重慶師范大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，重慶 401331)

q-級(jí)數(shù)的研究始于1748年，經(jīng)過(guò)多年的發(fā)展已較為成熟，其應(yīng)用十分廣泛，研究方法也多種多樣.常見(jiàn)的有組合方法、解析方法和算子方法，其中算子方法對(duì)q-級(jí)數(shù)的研究起著至關(guān)重要的作用.算子方法的發(fā)展歷史悠久.Rogers[1]用q-導(dǎo)數(shù)算子構(gòu)造了兩個(gè)q-指數(shù)算子來(lái)研究q-級(jí)數(shù)的某一性質(zhì)，Chen Y C等[2]重新發(fā)現(xiàn)了Rogers的兩個(gè)指數(shù)型算子，并給出了具有重要影響的兩個(gè)算子恒等式；Fang J P[3]和Chen Y B等[4]利用參數(shù)擴(kuò)充技巧先后構(gòu)造了新的q-指數(shù)算子和Cauchy算子；張之正等[5]和Li N N等[6]又分別引入了雙參數(shù)有限q-指數(shù)算子和三參數(shù)廣義q-指數(shù)算子；受文獻(xiàn)[2]的啟發(fā)，Jia Z Y[7]將算子方法與q-移位階乘的齊次形式[8]相結(jié)合，得到了新的q-指數(shù)算子恒等式.在已有的文獻(xiàn)中，考慮到對(duì)Cauchy算子、雙參數(shù)有限q-指數(shù)算子以及三參數(shù)廣義q-指數(shù)算子應(yīng)用Jia Z Y[7]的方法進(jìn)行類似推廣的研究較少，為進(jìn)一步豐富算子理論，本文就此展開(kāi)了研究.

1 預(yù)備知識(shí)

多重q-移位階乘記作:(a1,a2,…,am;q)n=(a1;q)n(a2;q)n…(am;q)n.其中n為整數(shù)或.

2 三種算子的推廣

2.1 Cauchy算子的推廣

上述算子就是Cauchy算子，可看作是Rogers[1]一個(gè)算子的推廣.接下來(lái)，將給出Cauchy算子的一些性質(zhì).

定理1[4]若max{|bt|,|bs|,|ct|,|cs|}<1，則:

(1)

定理2[4]若max{|bt|,|bs|,|ct|,|cs|}<1，則：

(2)

在文獻(xiàn)[7]中，Jia Z Y通過(guò)對(duì)文獻(xiàn)[2]的結(jié)果的推廣，得到了新的q-指數(shù)算子恒等式，在此基礎(chǔ)上，導(dǎo)出了Cauchy算子的推廣形式.

定理3 若max{|as|,|aω|,|ds|,|dω|}<1，且ω≠0，則：

(3)

其中Pn(a,b)=(a-b)(a-bq)…(a-bqn-1),P0(a,b)=1.

(4)

(5)

(6)

由式(2)知:

(7)

將式(7)代入式(8)，化簡(jiǎn)可得證.

當(dāng)n=0時(shí)，定理3即為定理2，則可把定理3視為定理2的推廣.

在式(3)中，令v=s，可推導(dǎo)出定理3的如下結(jié)果.

推論1 若max{|aω|,|dω|}<1，且ω≠0，則：

(8)

推論2[11]若max{|aω|,|dω|}<1，則：

(9)

在文獻(xiàn)[11]中，陳永兵利用q-Leibniz公式得到了上述推論，下面將給出另一種證明方法.

證明首先給出Sears終止型的3φ2變換公式的一個(gè)變形[9]：

(10)

在式(10)中，用aω,dω,c,bdω分別替換a,b,e,d，有：

(11)

在式(11)中，令c=0，化簡(jiǎn)可得證.

2.2 雙參數(shù)有限q-指數(shù)算子和三參數(shù)廣義q-指數(shù)算子的推廣

雙參數(shù)有限q-指數(shù)算子[5]和三參數(shù)廣義q-指數(shù)算子[6]分別定義為：

接下來(lái)，將分別給出雙參數(shù)有限q-指數(shù)算子及三參數(shù)廣義q-指數(shù)算子的一個(gè)重要性質(zhì).

定理4[5]若max{|as|,|at|}<1，則：

(12)

定理5[6]若max{|as|,|at|}<1，則：

(13)

在這一小節(jié)中，主要導(dǎo)出了雙參數(shù)有限q-指數(shù)算子和三參數(shù)廣義q-指數(shù)算子的推廣形式.

定理6 若max{|as|,|aω|}<1，且ω≠0，則：

(14)

證明方法與定理3相同，下面給出具體的證明過(guò)程.

(15)

由式(12)知：

(16)

將式(16)代入式(15)，化簡(jiǎn)可得證.

當(dāng)n=0時(shí)，定理6簡(jiǎn)化為定理4，即定理6是定理4的推廣.

在文獻(xiàn)[6]中，Li N N等已推導(dǎo)出以下恒等式，將給出其證明過(guò)程.

定理7[6]若max{|as|,|aω|}<1，且ω≠0，則：

(17)

(18)

由式(13)知：

(19)

將式(19)代入式(18)，化簡(jiǎn)可得證.

在式(17)中，令v=s，可得到以下結(jié)果.

推論3 對(duì)|aω|<1，且ω≠0，則：

(20)

2.3 推廣后算子的簡(jiǎn)單應(yīng)用

這一節(jié)中，將給出q-二項(xiàng)式定理的兩個(gè)推廣形式.

定理8 對(duì)max{|d|,|cd|,|bcd|,|x|}<1，且a≠0,c≠0，則：

(21)

證明q-二項(xiàng)式定理可以改寫(xiě)為：

(22)

對(duì)式(22)兩邊的變量x應(yīng)用算子T(b,d;Dq)，有：

(23)

由式(8)和式(2)知：

(24)

(25)

將式(24)，(25)代入式(23)，化簡(jiǎn)可得證.

定理9 對(duì)|x|<1，且c≠0，則：

(26)

(27)

由式(20)和式(13)知：

(28)

(29)

將式(28)、(29)代入式(27)，化簡(jiǎn)可得證.

3 結(jié)語(yǔ)

在已有的成果基礎(chǔ)上，為進(jìn)一步得到新的結(jié)果，引入了三種q-算子，并將其與q-移位階乘的齊次形式聯(lián)系起來(lái)，從而推導(dǎo)出了一系列新的恒等式.此外，還得到了關(guān)于q-二項(xiàng)式定理的推廣，所得結(jié)果在一定程度上對(duì)q-級(jí)數(shù)的研究起著推動(dòng)作用.