基于四種截集的粗糙模糊集表現定理的新表示

何天榮

(麗江師范高等專科學校 教師教育學院，云南 麗江 674199)

粗糙模糊集理論[1-7]是粗糙集理論[8-9]與模糊集理論[10-11]的整合研究，二者都是對經典集合理論的推廣，都是用來研究知識的不確定性與不完全性的理論，但二者的側重點不同，因此具有很強的優勢互補性.分解定理與表現定理并列為模糊數學最基本的定理，它從另外的角度闡述了模糊集合由經典集合擴充而來.關于粗糙模糊集構造性質的研究，基于上截集形式的粗糙模糊集的分解定理、表現定理、擴展原理的研究成果居多[12-17]，如袁學海等[18]提出了四種新的截集并研究了基于這四種截集有形式的模糊集的分解定理，蔣勁松等[19]研究了交與并的表示下粗糙模糊集的分解定理，何天榮[20]研究了并的表示下基于四種截集形式的粗糙模糊集的構造性質.目前，交的表示下基于四種截集形式的粗糙模糊集的表現定理和擴展定理的研究成果尚未出現.粗糙模糊集表現定理的新表示是在粗糙模糊集交的定義下基于四種截集的粗糙模糊集的表現定理，因為結論是基于交的表示及相應分解定理的前提下得出的，所以所得結論與基于并的粗糙模糊集的表現定理的結論形式完全不同.定理的證明需要借助基于交的粗糙模糊集的分解定理及粗糙模糊集的交的表示定義，四個定理的證明具有相似性，只要詳細證明其中兩個定理，其余兩個定理的證明可以用與已證明的兩個定理完全類似的方法證明.

1 粗糙模糊集及截集

為了系統研究基于四種截集的粗糙模糊集的表現定理，首先引入兩個重要概念：粗糙模糊集及它的四種截集，將模糊數學中原有的截集稱為λ-上截集，將與上截集隸屬函數不等號方向相反的截集稱為λ-下截集；再以補集形式分別定義λ-下重截集與λ-上重截集.分解定理及表現定理的理論證明基于各種截集的定義及粗糙模糊集交的定義.

1.1 粗糙模糊集

(1)

(2)

1.2 粗糙模糊集的四種截集

定義2[18]設B是論域V上的一個模糊集，λ∈[0,1]，稱：

同理可以定義以下3種截集.

2 交的表示形式的粗糙模糊集及分解定理

2.1 交的表示形式的粗糙模糊集

(3)

把這樣的定義稱為粗糙模糊集的交的表示，是相對于粗糙模糊集的并的表示：

(4)

而言的，接下來的分解定理及表現定理的結論都是基于交的表示形式下得到的.

2.2 基于交的四種截集形式的粗糙模糊集分解定理

根據模糊子集的交的表示方式，可以得到以下4個分別基于四種截集形式的粗糙模糊集的分解定理，定理結論引自文獻[19],這里直接給出結論，不作證明，證明的過程可以參考相關文獻.

定理1[19](基于上截集形式的粗糙模糊集的分解定理)：

定理2[19](基于下截集形式的粗糙模糊集的分解定理)：

定理3[19](基于下重截集形式的粗糙模糊集的分解定理)：

定理4[19](基于上重截集形式的粗糙模糊集的分解定理)：

3 四種截集形式粗糙模糊集的表現定理

表現定理是粗糙模糊集的基本定理，是粗糙模糊集構造性質的重要組成部分，它從另一個角度闡明粗糙模糊集是由粗糙集擴充而成的，描述的是每個集合套都可以表示成一個粗糙模糊子集.接下來首先引入集合套的定義及性質，再給出四個表現定理并證明其中具有代表性的兩個定理.

3.1 集合套及其基本性質

3.2 基于四種截集形式的粗糙模糊集的表現定理

基于粗糙模糊集交的表示定義及對應于四種截集的4個分解定理可以得到以下4個表現定理，為節省篇幅，僅證明定理6和定理7，定理5的證明類似于定理7，定理8的證明類似于定理6.

上截集是模糊集最原始的截集概念，基于并的上截集形式的粗糙模糊集的表現定理的研究成果相對較多，本定理是基于交的上截集形式的粗糙模糊集的表現定理，可以理解為前者的并行研究，定理結論的證明可以用完全類似于定理7的方法，而定理7是基于下重截集的粗糙模糊集的表現定理，下重截集是引入的新的截集定義[18]，為節省篇幅，選擇詳細證明更具有代表性的定理7，而定理5的證明不再贅述.

即定理6的結論2)和結論3)成立.

所以f是(H*(R),∪，∩，’)到(A*，∪，∩，’)的滿同態映射.

其次證明定理7的結論1)、2)、3)成立.

所以f是(H*(R),∪，∩，’)到(A*，∪，∩，’)的滿同態映射.

本定理的證明完全類似于定理6，在此不做贅述.

4 結語

引入粗糙模糊集的四種截集，并在粗糙模糊集交(定義3的(3))的表示形式下系統研究了粗糙模糊集基于四種截集形式的四個表現定理，并系統證明了其中具有代表性的兩個定理，其余兩個定理的證明完全類似于已證明的兩個定理.本文得出的四個表現定理結論完全不同于基于并(式4))的粗糙模糊集的表現定理[20]，其本質原因在于文獻[20]所得結論是基于粗糙模糊集的并的表示及基于并的四種截集形式是分解定理；而本文所得結論的理論依據是粗糙模糊集交的表示及基于交的四個分解定理.