實值函數近似鞍點集的連續性

2021-04-02 05:13:52王衍程李小兵

湖北民族大學學報(自然科學版) 2021年1期

關鍵詞：定義

王衍程，王梅，劉雷，李小兵

(重慶交通大學數學與統計學院，重慶 400074)

鞍點問題在數學規劃和博弈論的研究中占有非常重要地位.它為極大極小問題、拉格朗日對偶問題、變分不等式、Nash均衡問題的研究提供了有效地表述形式和基本工具.目前鞍點問題的理論研究主要是集中在鞍點的存在性[1-9].隨著向量優化的發展，在適當的條件下，學者們研究得到了大量的關于向量值函數錐鞍點存在性的結論[6，8-10].

受上述研究結果的啟發，主要研究標量值函數的含參鞍點問題.在大多數情況下，由于實際問題中數據具有不確定性，優化模型可能不存在精確解.因此，需要利用近似解來解決這些問題.本文，主要分析參數鞍點問題近似鞍點集的連續性.具體結構如下：首先，提出擾動鞍點問題，與含參近似鞍點集、輔助近似參近似鞍點集的定義，并回顧了一些集值映射相關概念和性質；然后，利用一些類似于文獻[25]的技巧，在適當的條件下討論了鞍點問題近似解的Hausdorff連續性.

1 模型描述及預備知識

其中f:C×D×Λ→為實值函數，是非空凸集值映射并且M(Λ):={C(λ)×D(λ)|λ∈Λ}.

在優化理論與應用中，通常很難用數值算法得到優化模型的精確解，因此往往考慮優化模型的近似解.本文將考慮受到擾動鞍點問題的近似解的一些拓撲性質.為此，任取ε∈+(+表示非負實數集)以及λ∈Λ，接下來分別定義擾動鞍點問題的ε-近似鞍點集與輔助ε-近似鞍點集：

本文主要考慮拓撲性質：當參數λ和ε變化時，ε-近似鞍點集S(ε,λ)的穩定性(Hausdoff連續性).

下面，先介紹一些集值映射的相關知識.

1) 在x0∈X處Hausdorff上半連續(簡寫為H-上半連續)，若對于Y中的任意鄰域，X中存在x0的鄰域N(x0)，使得對任意的x∈N(x0)都滿足：Q(x)?Q(x0)+.

2) 在x0∈X處Hausdorff下半連續(簡寫為H-下半連續)，若對于Y中的任意鄰域，X中存在x0的鄰域N(x0)，使得對任意的x∈N(x0)都滿足：Q(x0)?Q(x)+.

3) 在x0∈X處Berge上半連續(簡寫為B-上半連續)，若對于滿足Q(x0)?U的每一個開集U，X中存在x0的鄰域N(x0)，使得對任意的x∈N(x0)都滿足：Q(x)?U.

4) 在x0∈X處Berge下半連續(簡寫為B-下半連續)，若對于滿足Q(x0)∩U≠φ的每一個開集U，X中存在x0的鄰域N(x0)，使得對任意的x∈N(x0)都滿足：Q(x)∩U≠φ.

若Q在x0處B-下半連續且B-上半連續，則稱Q在x0處B-連續.同理，若Q在x0處H-下半連續且H-上半連續則稱Q在x0處H-連續.

1) 若Q在x0處B-上半連續，則Q在x0處H-上半連續.

2) 若在x0處H-上半連續，并且Q(x0)是緊值的，則Q在x0處B-上半連續.

3) 若Q在x0處H-下半連續，則Q在x0處B-下半連續.

4) 若Q在x0處B-下半連續，并且Q(x0)的閉包clQ(x0)是緊值的，則Q在x0處H-下半連續.

1) 若Q在Λ上是緊值的，則Q在x0處B-上半連續的充要條件為：對X中任意的收斂序列xn→x0，任意序列yn∈Q(xn)，存在序列{yn}的子列{ynk}，y0∈Q(x0)，使得ynk→y0.

2)Q在x0處B-下半連續的充要條件為：對任意的收斂序列xn→x0，y0∈Q(x0)，存在序列{yn}?Q(x0)，使得yn→y0.

下面給出二元函數的凹性與凸性的定義.

定義2[29]假設C，D分別是X與Y中的非空凸子集.

1) 若對于?x1,x2∈C，?y∈D，?t∈(0,1)，滿足：

f(tx1+(1-t)x2,y)≤tf(x1,y)+(1-t)f(x2,y).

(1)

則稱實值二元函數f:X×Y→在C上關于x是凸的，反之亦然.

2) 若對于?x∈C，?y1,y2∈D，?t∈(0,1).滿足：

f(x,ty1+(1-t)y2)≥tf(x,y1)+(1-t)f(x,y2),

(2)

則稱實值二元函數f:X×Y→在D上關于y是凹的，反之亦然.

3) 若f既在C上關于x是凸的，又在D上關于y是凹的，則稱f在C×D上是凹-凸的.

2 主要結果

考慮鞍點集S(ε,λ)在考慮點(ε0,λ0)附近的變化情況,在接下來的討論中，均假設S(ε,λ)在點(ε0,λ0)的某個鄰域內是非空的.

定理1 假設下列條件成立：

1)C(Λ)與D(Λ)是有界的；

2) 對于?λ∈Λ，f(·,·,λ)在C(Λ)×D(Λ)上是凹-凸的.

則對于X中的任意閉凸零鄰域,存在ε0的鄰域V,對于?λ∈Λ，?ε∈V,滿足:

S(ε0,λ)?S(ε,λ)+，S(ε,λ)?S(ε0,λ)+.

(3)

證明因為C(Λ)與D(Λ)是有界的，不難得出M(Λ)也是有界的.于是，對于X中的任意閉凸零鄰域,存在ρ>0，使得:

M(Λ)-M(Λ)?ρ.

(4)

對于?η∈(0,ε0)，?ε1,ε2∈(ε0-η,ε0+η),其中ε1<ε2.任取(x1,y1)∈S(ε1,λ)，則:

f(x,y1,λ)-f(x1,y,λ)+ε1≥0,?(x,y)∈M(λ).

于是，有:

f(x,y1,λ)-f(x1,y,λ)+ε2=f(x,y1,λ)-f(x1,y,λ)+ε2+(ε1-ε2)≥0.

因此，(x1,y1)∈S(ε2,λ)，且S(ε1,λ)?S(ε2,λ).進而對于?ε∈[ε0-η,ε0+η]，有:

S(ε0-η,λ)?S(ε,λ)?S(ε0+η,λ).

(5)

(6)

事實上，任取(x1,y1)∈S(γ,λ)和(x2,y2)∈S(ε2,λ).根據式(1)和式(2)，可得:

(7)

(8)

(9)

S(ε0,λ)?S(ε,λ)+.

S(ε,λ)?S(ε0,λ)+.

綜上所述，式(3)成立.

引理3 令ε>0，λ∈Λ，若C(λ)與D(λ)在λ處B-上半連續并且有緊值，則S(ε,λ)在M(Λ)上是緊集.

證明由于C(λ)與D(λ)是緊子集，因此只需要證明S(ε,λ)是閉集即可.取(xn,yn)∈S(ε,λ)滿足(xn,yn)→(x0,y0)，那么對任意的x∈C(λ)，y∈D(λ)，有:

f(x,yn,λ)-f(xn,y,λ)+ε≥0.

因為C(λ)與D(λ)在λ處B-上半連續并且有緊值，則(x0,y0)∈C(λ)×D(λ).因此對任意的x∈C(λ)，y∈D(λ)，有:

對對照組提供開腹手術方法治療。首先,為患者提供硬膜外麻醉處理,取3-6cm的麥氏切口,然后找到闌尾,若系膜相對較為厚,則必須要分次進行結扎[2];若系膜屬于正常范疇,則在患者的闌尾根部采用血管鉗進行戳孔,在完成帶線結扎處理以后,然后再切斷系膜;把長度為0.5cm的闌尾結扎線留出來,選擇使用碘酒進行消毒處理,之后實行打結操作。最后,將切口進行縫合處理,然后進行消毒包扎,結束手術操作。

f(x,y0,λ)-f(x0,y,λ)+ε≥0,

即(x0,y0)∈S(ε,λ).

定理2 假設下列條件成立：

1) 若C(·)與D(·)在λ0處B-連續并且緊值的；

2) 存在λ0的鄰域N(λ0)，使得f(·,·,λ)在C(N(λ0))×D(N(λ0))×N(λ0)連續且是凹-凸的.

則存在ε0的鄰域V使得，?ε∈V，S(ε,·)在λ0處H-連續.

證明首先，證明S(ε,·)在λ0處H-上半連續.根據引理1(1)，只需證明S(ε,·)在λ0處B-上半連續即可.反設S(ε,·)在λ0處不是B-上半連續的，即存在S(ε,λ0)的鄰域U，λn→λ0，(xn,yn)∈S(ε,λn)，但(xn,yn)?U.根據S(ε,λn)的定義，存在xn∈C(λn)，yn∈D(λn)且λn→λ0，使得：

f(x,yn,λn)-f(xn,y,λn)+ε≥0,?(x,y)∈M(λ).

(10)