古今中外話記數 親觸演變過程

竺君斐 周潔

【摘? ?要】HPM視角下的教學設計強調恢復被教材剝離的“人文元素”，讓學生站在歷史的角度來看待數學知識產生和發展的過程。將知識的歷史順序、邏輯順序與兒童的心理發生順序相融合，能促進學生對數學知識的深層次理解。

【關鍵詞】HPM;算籌;記數

一、教材編排

“認識萬以內的數”，是數認識序列中一個重要的知識點。小學數學現行教材中，比較通用的人教版、北師大版、蘇教版教材雖然在例題呈現時都沒有結合歷史，而是省略了其產生時復雜和反復的歷程，只保留了嚴謹的、間接性的邏輯結構，但教材在編排這塊內容時卻有一個共同點，即在該章節后面設置了“你知道嗎”“讀一讀，講一講”等小欄目，補充介紹中國古代記數的方法——算籌記數法。具體見表1所示。

二、問題聚焦與課前思考

學生學習“認識萬以內的數”時，已經臨近認識自然數的“收官”階段。在這一階段的教學中，教師有必要幫助學生梳理自然數產生發展的歷史，尤其是結合教材提供的史料，梳理“算籌記數”的發展過程。梳理中要清晰以下三個問題。

其一：為什么要讓學生了解算籌記數

站在歷史的角度看待數學知識產生和發展的過程，引導學生發現隱藏在數學知識背后的數學思想和方法，讓學生體會“數學有著悠久的歷史”“數學是人類的文化活動”的道理。

其二：中國古人為什么要創造橫向、縱向兩種算籌表示方法

從表1可以看出，算籌用1根小棒表示1，用2根小棒表示2，若要表示12，就得把十位的1根小棒和個位的2根小棒放在一起。看上去像3根小棒， 12與3容易造成混淆。中國古人為了區別12與3，發明并規定用橫向與縱向兩種不同形式表示不同數值的數。

其三：中國古人的算籌記數方法有何優點

中國古人的算籌記數采用“十進位值制”的方法來表示數（如圖1），而作為文明古國之一的古埃及，在同一時期采用的是計數單位累加的方法（如圖2）。

對比以上兩個記數法可發現，我國的算籌記數法更簡潔方便。我國算籌記數采用的是“十進位值制”，這是我國古人的一大創舉。英國著名科學史家李約瑟先生曾對這種記數法予以很高評價。他說：“總的來說，商代的數字系統比古巴比倫和古埃及同一時代的字體更為先進、更為科學。”他還指出：“在中國，只用九個數字同位值名稱相結合的記數法，早在公元前14世紀就已經出現了。在印度，則直到公元6世紀，才放棄了對十的倍數所采用的專門符號。”

三、HPM視角下的教學設計

【教學目標】

1.借助數學史料，了解數的發展歷史，認識“十進位值制”。

2.經歷HPM視角下動態化的知識演變過程，感受數學史料的文化魅力。通過探究活動，體會數學符號的簡潔美。

【教學設計】

1.借助方塊直觀模型，理解數位意義。

（1）課件有序出示小方塊（1個、10個、100個、1000個），復習計數單位個十、百、千。

（2）課件出示235個小方塊，明確235由2個百3個十5個一組成。

（3）追問：為什么2、3、5三個數字可以表示那么多的小方塊呢？為什么2可以表示2個百？

（4）歸納：數在不同的數位上，表示不同的數量。個位、十位、百位、千位就是數位。

2.了解中國古代的算籌記數法，探究發現規律。

（1）了解中國古代的算籌記數法。

①課件出示算籌1～9的圖片。介紹2000多年前，我國古人用算籌來記數。

②介紹算籌記數有橫式與縱式兩種表示方法。

③觀察思考6為什么改變擺法，明確“以一當五”更簡約美觀。

④練習。出示算籌記數的圖片，請學生說說各圖分別表示幾，它們各是什么擺法。（略）

（2）嘗試用算籌記數法表示235。

①學生獨立嘗試。

②呈現學生作品。

③交流評價。請學生說說喜歡哪幅作品并說明理由。

④課件演示正確書寫方法，在作品3后面打鉤。同時表揚4號作品，雖然反了，但是他這種縱橫交替的思想特別寶貴。

（3）嘗試用算籌記數法表示5555。

①學生獨立嘗試。

②作品反饋。

3.介紹古埃及的記數方法。

（1）介紹古埃及的記數方法。

①課件出示圖3，介紹1～9，10，100，1000，10000的表示方法。

②出示用古埃及的記數方法表示的235。

（2）學生嘗試用古埃及的記數方法表示5555。

（3）交流用古埃及的記數方法表示的5555各部分的含義。

4.對比古埃及的記數方法和中國古代的算籌記數法，感受十進位值制的價值。

師：對比2000多年前古埃及的5555與古代中國的5555表示的方法，你想說些什么？

生：古埃及記數法中的千百十一有專門的符號，而我國古代的算籌記數法是用位置來加以區分的。

生：古埃及的太麻煩，我國古代的算籌記數法更方便。

生：作為中國人，我很驕傲，我們的祖先太聰明了！

5.對比中國古代的算籌記數法和現代記數法。

6.小結。

師：數學追求簡潔美，我們學習的數學知識凝聚了一代又一代數學家的努力和智慧。用不同的數位表示個十、百、千，叫作“十進位值制”，它是古代中國人民貢獻的智慧。

四、HPM視角下教學設計的價值探尋

華東師范大學的汪曉勤教授將HPM研究價值歸納為“知識之諧”“方法之美”“探究之樂”“能力之助”“文化之魅”“德育之效”。HPM視角下“認識萬以內的數”一課的教學設計對以上六大價值均有所體現。

了解算籌的記數方法，體會“以一當五”，這是感受“知識之諧”;讓學生嘗試探究“中國古人表示235的方法”，體悟的是數學的“探究之樂”;經歷“再創造”的過程，明白縱橫交替擺法的優勢，發揮學生的能動性，是“能力之助”;在古埃及、古代中國算籌和阿拉伯數的記數方法對比中，感受古埃及記數方法的繁雜，體會中國算籌十進位值制的價值，感受古代中國人民的偉大，是“德育之效”;在歷史發展進程中，感受數學是不斷發展、不斷前進的，數學是屬于全世界人類的一項文化成果，體會的是“文化之魅”。

這樣的設計，將數學史、數學文化知識融入數學教學中，充分體現了HPM視角下“趣味性”“科學性”“有效性”“可學性”“新穎性”五大設計原則。學生學得輕松，學得扎實。

參考文獻：

[1]李約瑟.中國科學技術史：第三卷[M].北京：科學出版社，1978.

[2]潘天驥.十進位值制的記數法首創于中國[J].九江師專學報，1995（5）.

[3]劉芹英.中國古代數學成就與機械化數學思想評價[J].新鄉師范高等專科學校學報，2005（3）.

[4]汪曉勤.HPM視角下“角平分線”教學[J].教育研究與評論（中學教育教學），2014（5）.

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