數學建模在經濟活動中的應用分析

李璇　劉學智

摘 要：數學建模是近幾年發展起來的新學科，其在經濟活動中應用廣泛。它將數學理論與實際的經濟問題相結合，把現實問題歸結為相應的數學問題，并利用數學的方法建模求解。數學建模為經濟學研究提供了一種很強的分析工具，也從根本上改變了決策者看待問題和解決問題的理念與視角。通過經濟學中幾個典型案例說明數學建模在經濟活動中的應用，闡述數學建模在經濟領域中的重要作用，以期通過應用分析，可以對解決經濟問題過程中數學模型的合理應用，以及數學的應用和創新有所幫助。

關鍵詞：數學建模;經濟問題;應用;案例

中圖分類號：F224? ? ? ? 文獻標志碼：A? ? ? 文章編號：1673-291X（2021）33-0122-03

引言

隨著經濟的發展，數學以空前的廣度和深度向一切領域滲透，作為數學的應用，數學建模越來越受到人們的重視，它在國民經濟和科學技術的各個領域都有著廣泛的應用，特別是在企業經營管理、產品營銷、資源分配、財政金融、優化服務等方面產生了巨大的經濟效益。數學建模的過程中將錯綜復雜的實際問題簡化，通過研究實際對象的固有特征和內在規律，建立反映實際問題的數量關系，然后利用數學的理論和方法來解決問題。

數學作為一門基礎學科有其實用性和實踐性，在經濟活動中問題的研究和決策都離不開數學的支持。數學模型的建立、數學方法的應用、數學軟件的引入都使原本復雜的經濟學問題變得簡單抽象化，但同時數學和經濟學又有所不同，在應用數學方法解決經濟學問題時應考慮到經濟問題的多變性，因此尋找合適的數學方法、構建符合需求的數學模型至關重要。數學方法有許多，針對不同的經濟學問題選擇合適的數學方法，建立行之有效的數學模型才能有效地解決經濟問題。本文通過經濟學中幾個典型案例說明數學建模在經濟活動中的應用，闡述數學建模在經濟領域的重要作用。

一、數學建模應用在經濟活動中的意義

（一）數學建模使經濟領域中的問題變得簡單化和直觀化

許多經濟領域中出現實際問題的描述都十分復雜且抽象難懂，而且有些經濟領域中的實際問題還需要做大量的數據處理。通過數學建模的方法可以將經濟領域中實際問題的數據進行可視化處理，從而將較復雜的經濟問題轉化為數學問題來求解，一定程度上降低了解題的難度。

（二）數學建模使經濟領域中的問題解決變得更有說服力

通過數學建模的方法，首先運用數學邏輯思維對經濟問題進行分析，然后通過給出的相關變量之間的具體關系列出數學表達式，并應用數學軟件進行求解，最終得到可靠的數據分析結果。這種嚴謹的方法可以使決策者更好地分析經濟變化趨勢，為決策者提供更科學的依據，這也正是數學建模在經濟問題中得以應用的最直接體現。

二、數學建模在經濟活動中的應用舉例

（一）公司人員最優安排策略問題

一家保姆服務公司專門向雇主提供保姆服務。根據統計，下一年的需求是：春季6 000人/日，夏季7 500人/日，秋季6 500人/日，冬季9 000人/日。公司新招的保姆必須經過5天的培訓才能上崗，每個保姆每季度工作（新保姆包括培訓）65天，保姆從公司得到報酬，每人每月工資8 000元。春季開始時公司擁有120名保姆，在每個季度結束后15%的保姆自動離職。如果公司不允許解聘保姆，請為公司制訂下一年的招聘計劃，哪些季度的需求增加不會影響招聘的計劃，可增加多少？

問題分析：對公司而言，每季度開始時擁有保姆數之和最少時，本年度的總支出是最小的，盈利最大。

模型建立與求解 設每季度開始時招聘的保姆數分別為x1，x2，x3，x4，每季度開始時擁有的保姆數為y1，y2，y3，y4，根據題意可建立描述問題的線性規劃模型決策目標為miny1+y2+y3+y4，約束條件為65y1≥6 000+5x1，65y2≥7 500+5x2，65y3≥5 500+5x3，65y4≥9 000+5x4，y1=120+x1，y2=0.85y1+x2，y3=0.85y2+x3，y4=0.85y3+x4。

借助數學軟件LINGO求解得到4個季度開始時公司招聘的保姆人數分別為0人、15人、0人、59人，夏季和秋季的需求的增加不會影響招聘的計劃，可以分別增加1 800 936人。線性規劃理論廣泛應用于經濟問題中，借助線性規劃方法可以解決人員安排問題，根據已知條件建立數學模型，寫出目標函數和約束條件，在現有的條件下使得安排的人力最少，達到節約成本的目的，最終獲取企業生產的最優化。同時，數學軟件如Matlab與LINGO等為問題的求解提供了極大的便利。

此外，在實際經濟活動中，很多問題都可以轉化為求問題的最大、最小值問題，這也就是數學建模中常見的優化模型。這種模型的建立一般都是根據實際問題中所蘊含的目標和約束條件列出相對應的不等式進行求解，其中約束條件可以是線性規劃也可以是非線性規劃。

（二）人員流動問題

某工廠生產線每年的年初進行熟練工和非熟練工人數統計，之后由■的熟練工支援其他的生產部門，缺額由招收新的非熟練工來補齊。新熟練工和老熟練工經培訓和實踐到年終考核時有■成為熟練工。假設第一年1月份統計的熟練工和非熟練工各占一半，則以后每一年1月份統計的熟練工與非熟練工的比例是多少？

問題分析：假設第n年一月份統計的熟練工與非熟練工所占比例為xn和yn，由已知條件可知1月份統計的熟練工和非熟練工各占一半，要求以后每一年1月份統計的熟練工與非熟練工的比例，需要先求出第n+1年1月份統計的熟練工與非熟練工所占比與n年1月份統計的熟練工與非熟練工所占比之間的關系。

矩陣是線性代數重要的組成部分，而特征值與特征向量又是矩陣理論的重要組成部分。用矩陣的知識建立線性模型可以解決生產中常見的人員流動的問題，建立符合實際條件的線性方程組，將線性方程組寫成矩陣形式，利用矩陣中特征值與特征向量的內容將需要的矩陣對角化，最終解決問題。

（三）養老保險問題

養老保險是一種重要的保險險種，保險公司會為客戶提供不同的保險方案并分析保險品種實際的投資價值。假設每月交費200元，60歲開始領取養老金。某男子25歲起投保，屆時養老金每月2 282元，若是35歲起投保，屆時養老金每月1 056元，保險公司為了兌現保險責任，每月至少應有多少投資收益率？

問題分析：由于交費是按月的，那么整個投資過程可以按月進行劃分，假設投保人到第n個月交的費用和收益的總額為Fn，每月的收益率為r，假設第N月停交保險費，第M月停領養老金。60歲以前每月的交費數和領取數設為p，60歲以后每月的交費數和領取數設為q。

模型建立與求解：根據題意應建立一個過程分析模型，男子25歲起開始投保，假設男子的平均壽命是75歲，由題意知p=200，q=2 282，F0=0，Fn的變化滿足

上式中令FM=0并借助數學軟件可求得方程的解為r=0.00485，其中M=600，N=420。同樣地，可以求出若35歲投保則月利率為r=0.00461。

事實上，引入Fn，能夠很好地描述整個過程中資金的變化情況。Fn表示從保險人交保險費之后，保險人賬戶上的資金數額。如果第M個月時，FM<0，表明保險公司出現虧損;如果第M個月時，FM=0，表明保險公司最終一無所有;如果第M個月時，FM>0，表明保險公司獲得收益。

（四）投資問題

某公司計劃在今后五年內對以下項目進行投資，已知項目A：第一年至第四年每年的年初需要投資，次年的年末可回收本利115%，并要求第一年投資金額最低4萬元，二、三、四年投資額不限。項目B：第三年的年初需要投資，第五年的年末可回收本利128%，規定投資金額最低3萬元，最高為5萬元。項目 C：第二年的年初需要投資，第五年的年末可回收本利140%，規定投資額為2萬元或4萬元或6萬元或8萬元。項目 D：五年內每年的年初可購買公債，并于當年末歸還，加利息6%，本項投資金額不限。現本部門有資金10萬元，問應如何確定給這些項目的每年投資額，使到第五年的年末本部門所擁有的資金本利總額最大。

1.問題分析。這是一個連續投資問題，根據每年資金的使用情況可建立數學規劃模型，由于在約束條件中有對決策變量是整數的要求，應建立整數線性規劃模型。

2.模型建立與求解。設決策變量xiA，xiB，xiC，xiD（i=1，2，3，4，5）分別表示第i年的年初對項目A，B，C，D的投資金額。設yiA，yiB是0—1變量，規定取1時表示第i年對項目A、B投資，否則取0。設yiC是非負整數變量，規定第2年投資C項目8萬元時，取值為4;第2年投資C項目6萬元時，取值3;第2年投資C項目4萬元時，取值2;第2年投資C項目2萬元時，取值1;第2年不投資C時，取值0。根據題意建立整數規劃的數學模型，目標函數為maxz=1.15x4A+1.4x2C+1.28x3B+1.06x5D，每年分別需要滿足的約束條件為：第一年，x1A+x1D=10 000;第二年，x2A+x2C+x2D=1.06x1D;第三年，x3A+x3B+x3D=1.15x1A+1.06x2D;第四年，x4A+x4D=1.15x2A+1.06x3D;第五年，x5D=1.15x3A+1.06x4D。此外，40 000y1A≤x1A≤200000y1A，30 000y3B≤x3B≤50 000y1A，x2C=20 000y2c。

應用“管理運籌學”軟件，可求得最優值為147 879.234。

整數線性規劃模型是線性規劃模型的一種，其要求建模過程中決策變量取整數，在實際生活中應用廣泛，如生產中固定成本問題、分布系統設計、指派問題等都可建立合適的整數規劃的數學模型。上述投資問題也是整數規劃的重要應用的體現，在建模過程中尤其注意決策變量的設法，其余的約束條件和非整數的線性規劃相同，最后將建立的數學模型整理放到計算機軟件中可得到問題的最終結論。

結語

數學建模是近些年發展起來的新學科，它在經濟領域中也有廣泛的應用，本文通過幾個具體的案例說明數學建模的重要性，通過建立線性規劃的數學模型可以解決人力資源的安排問題，得到最優的安排策略;通過利用線性代數中的矩陣理論建立線性模型可以解決生產中常見的人員流動問題，為決策者提供實際的指導;通過建立過程分析的數學模型可以解決生活中常見的養老保險問題，為保險公司給出能夠盈利的收益率;通過建立整數線性規劃模型可以解決投資問題，為投資者提供合理的建議。為了方便讀者更容易地了解和體會數學建模在經濟領域中的實際意義和作用，本文所給出的數學建模在經濟活動中的應用案例都較為簡單。事實上，在經濟領域中的數學模型還有許多，本文未逐一列出。數學建模方法在經濟領域的應用能更好地揭示微觀變量之間的相互性質，為經濟領域中問題的解決提供了新的思路。總之，數學建模是一個在經濟領域中實用性很強的工具，我們應樹立應用數學建模的觀念和意識，努力培養科學探索的精神。

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[責任編輯 曉 群]