修正的Cahn-Hilliard 方程的大時間步長方法

胡歡歡, 李 楊, 賈宏恩

(太原理工大學數學學院，太原 030024)

1 引言

在二元合金中，為了模擬現象學中的失穩分解[1,2]，Cahn 和Hilliard 于1950 年提出Cahn-Hilliard 方程.為了抑制粗化現象，Aristotelous 等人[3]提出了修正的Chan-Hilliard 方程.修正的Cahn-Hilliard 方程具有如下形式

并且Ω ∈Rd, d=2,3.u 是指混合物中兩種物質之一的濃度，稱為相變量.

當θ =0 時，方程(1)是經典的Cahn-Hilliard 方程[4].許多學者對經典Cahn-Hilliard方程的數值解進行了研究，例如，Zhang 和Wang[5]提出結合凸分裂方法的全離散格式，此格式滿足質量守恒及原始問題的能量耗散；Guill′en-Gonz′alez 和Tierra[6]用不同方法去逼近雙勢阱項，并分析了關于時間分別是一階和二階的線性格式；Elliott 等人[7,8]利用非協調有限元Morely 元，得到了最佳L2誤差估計；Liu 等人[9]用傳統有限元和混合有限元兩重網格方法來解Cahn-Hilliard 方程；Du 和Nicolaides[10]提出一種有限元格式來解帶有Dirichlet 邊界條件的Cahn-Hilliard 方程，并且證明了這種格式是穩定的.當θ = 1 時，方程(1)為特殊的修正的Cahn-Hilliard 方程[11].此時方程(1)與經典的Cahn-Hilliard 方程有很大的不同，修正的Cahn-Hilliard 方程仍用來描述相分離和粗化現象的模型[12-16].Lee 等人[17]利用隱式方法由二維截面圖像重構三維實體模型；Gillette[18]應用凸分裂和譜方法對修正的Cahn-Hilliard 方程進行了研究；Choi 等人[19]利用譜方法研究了修正的Cahn-Hilliard 方程.

本文的主要工作如下：首先給出修正的Cahn-Hilliard 方程的半離散數值格式，并證明此格式的穩定性；其次，給出全離散格式及其誤差估計；最后，通過數值算例來驗證理論部分的正確性與有效性.

2 半離散格式及穩定性

2.1 基本理論及符號

設L2(Ω)表示平方可積函數，其內積和范數分別為

空間L∞(Ω)和Hm(Ω)的范數分別為

記

接下來定義H-1(Ω)，用〈·,·〉表示H-1(Ω)和H1(Ω)上的對偶內積，記

(ζ,ξ)H-1:=(?T(ζ),?T(ξ))=(ζ,T(ξ))=(T(ζ),ξ),

引理1(離散的Gronwall 引理)[20]設C0, Δt 是正數，并ak, bk, ck, dk是滿足下面條件的非負序列

則

方程(1)保持能量耗散，若定義能量泛函

2.2 半離散格式

對于劃分[0,T] : 0 = t0＜t1＜··· ＜tM= T, tn+1- tn= Δt = T/M，這里M ＞0 為整數，則

其中

首先考慮修正的Cahn-Hilliard 方程的一階半隱格式

其中Δt 是時間步長，tn= nΔt，并且un是u(x,tn)的近似值.在數值模擬時，當參數ν 較小時，格式(4)無法在較大的時間步長上計算.為了解決這一問題，加O(Δtut)到格式(4)中

其中A 是正常數，格式(5)的弱形式為

2.3 穩定性分析

在證明(6)的穩定性之前，我們限制Φ′(u)滿足下面的條件[21]：存在常數L 使得

定理1 若A ＞0，則半隱格式(6)是穩定的，即滿足

證明 在方程(6)中，令v =un+1，則

使用等式2a(a-b)=a2-b2+(a-b)2，因此有

化簡上述不等式并兩邊乘以2Δt，對n 從0 到k(0 ≤k ≤M -1)進行求和，得到

利用引理1，有

定理證明完成.

3 全離散格式及誤差估計

3.1 全離散格式

且存在不依賴h 的常數c ＞0，滿足逆不等式

類似地，定義方程(1)的半離散格式：求uh(t):(0,T]→S3h，使得

3.2 誤差分析

從不等式

可以得到

根據雙調和方程的有限元分析[22]，得到

在方程(16)中，令t=tn+1并減去方程(13)，則有

在方程(17)中

故有

定理2 記u(t)和Un+1分別是方程(11)和(13)的解，如果u(0)∈H4(Ω)，滿足‖u(0)-U0‖≤Ch4‖u(0)‖4，網格比Δt/h2≤c，當h 足夠小時，則存在不依賴h, Δt, n 的C =C(u)滿足

證明 在證明之前，先給出一個先驗假設[23]：若0 ＜h ＜h0，則存在h0滿足

在方程(18)中令vh=μn+1，則有

使用Cauchy 不等式和Young 不等式，所以

利用δtμn+1的定義和Cauchy 不等式，可以得到

結合方程(3),(16)和(20)，有下面的估計

其中用到下面的不等式

把上述不等式帶入方程(21)，得到

上式從n=1 加到M，注意到

則有

根據離散的Gronwall 引理，則有‖μn+1‖ ≤C(h4+Δt)，因此，結合(15)和三角不等式，所以有

‖un+1-Un+1‖≤‖μn+1‖+‖ηn+1‖≤C(h4+Δt).

4 數值實驗

本小節，利用數值算例來驗證理論分析的準確性和有效性.

4.1 誤差和收斂性

考慮二維修正的Cahn-Hilliard 方程，計算區域為Ω=[0,2π]2，初值為u0=0.2 sin(x)sin(y).由于方程(1)的精確解未知，我們選取Δt = 0.0001 和N = 128 時，所計算的數值解作為精確解.

表1 給出了當ν = 0.03 時，A, θ, Δt 取不同值時的L2誤差.通過觀察表1 的數據，可以看出當A 取固定值時，全離散格式是穩定的，并且關于時間是一階收斂，和理論分析一致.

表1 L2 誤差：ν =0.03, T =1, h=

表1 L2 誤差：ν =0.03, T =1, h=

A Δt θ =0 θ =2 θ =5 0 0.01 0.00382036 0.0152565 0.167332 0.005 0.00212644 0.00702886 0.0877675 0.0025 0.00108075 0.00339221 0.0441148 0.00125 0.00052603 0.00168505 0.0213931 1 0.01 0.0107831 0.0530077 0.311978 0.005 0.00623478 0.0219408 0.178414 0.0025 0.00340485 0.00992049 0.0943016 0.00125 0.00173112 0.00473141 0.047645

續表1 L2 誤差：ν =0.03, T =1, h=

續表1 L2 誤差：ν =0.03, T =1, h=

A Δt θ =0 θ =2 θ =5 2 0.01 0.0189934 0.102308 0.414267 0.005 0.00985323 0.0402944 0.2551 0.0025 0.00554085 0.0172588 0.140868 0.00125 0.00291495 0.0079702 0.0730369

當ν = 0.03 時，表2、表3、表4 分別呈現了A 取0,1,2 時，θ 分別取0,2,5 的空間收斂階.通過觀察表2、表3、表4，可以發現空間收斂階和理論分析相符.

表2 收斂階：ν =0.03, θ =0

表3 收斂階：ν =0.03, θ =2

表4 收斂階：ν =0.03, θ =5

4.2 能量穩定

圖1 能量曲線

4.3 等值線

圖2 等值線：ν =0.03, θ =2，左：A=0, Δt=0.001，中：A=1, Δt=0.005，右：A=2, Δt=0.01

圖3 等值線：ν =0.03, A=1，左：θ =0, Δt=0.001，中：θ =2, Δt=0.005，右L：θ =5, Δt=0.01

在圖2 中，第1 列，θ = 2, A = 0, Δt = 0.001；第2 列，θ = 2, A = 1, Δt =0.005；第3 列，θ = 2, A = 2, Δt = 0.01.同樣地，在圖3 中，第1 列，θ = 0, A =1, Δt = 0.001；第2 列，θ = 2, A = 1, Δt = 0.005；第3 列，θ = 5, A = 1, Δt =0.01.觀察圖3，不難發現，θ ＞0 會抑制相分離.通過觀察圖2 和圖3，可知：“A-項”確實起到了增加時間步長的作用，但不恰當的A 值會導致數值解的發散，即當計算時間步長比較大時，大時間步長方法得到的解可能不是真實解.

5 結論

本文中，我們對于修正的Cahn-Hilliard 方程的大時間步長方法進行了研究.為解決由于非線性和小參數帶來的影響，提出了穩定的離散格式，從理論上證明了方法的穩定性，并給出了誤差估計.最后，通過數值實驗證明了方法的有效性.