m 相依序列的樣本分位數核估計的中偏差和大偏差

謝 超, 陳 夏, 閆 莉

(陜西師范大學數學與信息科學學院，西安 710119)

1 引言

分位數是統計學中的一個基本概念，它可以用來表示隨機變量的某些性質，并且沒有任何矩條件的要求.分位數也可以估計呈偏態分布的定量資料的正常值范圍，描述呈偏態分布定量數據的離散程度的大小.因此，分位數在統計、金融投資、生物醫學等領域都有廣泛的應用[1-3].假定總體X 的分布函數為F(·)，則總體p 分位數定義為

當總體分布未知時，通常用經驗分布代替總體分布.假設{Xi,1 ≤i ≤n}為來自總體X 的一組樣本，則樣本p 分位數定義為

其中

在總體分位數未知時，通常用樣本分位數估計總體分位數，眾多研究者對樣本分位數估計的大樣本性質進行了詳細討論.例如，Bahadur[4]在樣本獨立同分布的條件下，研究了樣本分位數的漸近正態性和重對數律.Wu[5]和Sun[6]分別在線性、非線性過程和強混合隨機序列下，得到了樣本分位數的Bahadur 表示.Xing 和Yang[7]、Ling[8]和Xu 等[9]基于NA 序列，研究了樣本分位數的Bahadur 表示.Xu 和Miao[10]在總體分布連續和樣本獨立同分布的情形下，研究了樣本分位數的大偏差和中偏差原理.

樣本分位數形式簡單、方便易求，但構造樣本分位數所使用的經驗分布函數沒有考慮總體分布的光滑性.因此，Nadaraya[11]提出了樣本分位數核估計方法，該方法利用核函數來構造光滑分位數估計.基于核函數K(·)，總體分布F 的光滑核估計定義為

其中{hn}為正數序列，且hn→0(n →∞).因此，ξp的光滑樣本分位數核估計定義為

近年來，眾多研究者討論了樣本分位數核估計及其漸近性質.例如，Falk[12]基于均方誤差，研究了樣本分位數核估計和樣本分位數估計的漸近相對效率問題.Yang[13]得到了樣本分位數核估計與樣本分位數估計具有相同的漸近分布，并且給出其均方收斂速度.Sun 和Zheng[14]在左截斷和右刪失數據下，研究了樣本分位數核估計的Bahadur 表示.Cai 和Roussas[15]在樣本正、負相協情形下，研究了樣本分位數核估計的逐點相合性、漸近正態性和弱收斂性.He 等[16]研究了獨立同分布情形下，樣本分位數核估計的中偏差和大偏差原理.

由于相依隨機序列削弱了獨立性的限制，因此得到了眾多學者的關注和研究，尤其是關于m 相依序列的研究.例如，陸傳榮[17]和蘇淳[18]分別研究了m 相依序列的弱收斂和漸近正態性.唐曉靜和秦俠[19]討論了m 相依序列的強大數定律.文獻[20-24]研究了m 相依序列的中偏差原理. 候萱等[25]討論了在m 相依序列樣本下，樣本分位數的中偏差和大偏差原理.基于上述研究，本文討論m 相依情形下，樣本分位數核估計的中偏差及大偏差問題，將獨立同分布樣本的結果進行了推廣.

首先給出本文所用的預備知識.

定義1 設{Xn;n ≥1}為隨機序列，如果存在一非負整數m，使得對每一個k ≥1，集合{X1,X2,··· ,Xk}和{Xk+m+1,Xk+m+2,···}是獨立的，則稱隨機序列{Xn;n ≥1}是m 相依的.

定義2 對于給定的隨機序列{Xi;i ∈N}，對任意的k ∈N，記

其中Fa,b=σ(Xi;a ≤i ≤b).

注1 本文定理1 所需條件(C1)-(C3)，與文獻[16]中研究獨立同分布情形的條件(A1)-(A3)相同.條件(C4)是研究m 相依序列的常見假設，見文獻[22].但本文定理2 所需條件較文獻[16]少了(A4)和(A5)，多了條件(C4).這是因為本文利用文獻[22]的方法得到定理2 的證明，這不同于文獻[16]的證明方法.

2 主要結論及證明

首先，我們給出樣本分位數核估計的中偏差原理.

定理1 在條件(C1)-(C3)下，對任意的r ＞0，有

證明 易知

由文獻[16]的定理1 知

同理，有

其中

由G¨artner-Ellis 定理知[26]，要證定理1 成立，只需證明

下面先證

由Vi的定義知，{Vi-EVi,i ≥1}是m 相依的零均值平穩序列.為了得到中偏差結果，計算其Cramer 函數

對任意的p1＞1, p2＞1，取相應的q1, q2，使得

由引理1 得

對W1，有

取

則δ →0.由文獻[16,21]，易知

因此

對W2，有

由文獻[16]定理1 和文獻[27]的引理2.2，可得

對W3，有

令N →∞，有

結合式(4)-(6)，易知

下面只需證明

由于

與式(4)-(6)類似，有

結合式(7)-(10)，可知

從而

同理，可得

因此，定理1 證明完畢.

其次，下述結果給出了樣本分位數核估計的大偏差原理.

定理2 在條件(C1)-(C4)下，對任意的開集G ?R，有

對任意的閉集F ?R，有

其中

下面證明

滿足Cramer 條件.由文獻[16]知，對任意的t ＞0，有

根據文獻[22]中的定理3.1，知定理2 成立.