重力輔助導航前沿與進展

王彤

（中國空間技術研究院，北京 100094）

潛艇等水下自主航行器在水下航行一般依靠慣性導航系統進行導航，慣性導航系統的重要組成元件是陀螺儀和加速度計，這些敏感元件測得的加速度通過對時間進行積分后可以得到速度、偏航角、位置等信息。積分過程中，誤差隨時間累積增大，潛艇長期在水下運行時導航精度降低。針對慣性導航系統的這一缺點，許多學者提出將重力匹配、地磁匹配、地形匹配等無源導航方法與慣性導航系統組合起來，對慣性導航進行修正。水下重力匹配技術實現的核心問題是構建全球高精度和高空間分辨率的海洋重力異常圖。

測高/重力衛星、船測、航空是獲得全球海洋重力場的主要技術途徑，全球高精度和高空間分辨率的海洋重力異常圖能有效提高水下重力匹配導航精度，但目前我國的全球海洋重力異常圖空間分辨率較低，因此，需要在一定程度上對其進行插值加密，重構為高精度高空間分辨率的海洋重力異常圖。由于海洋重力異常圖經過插值后，空間分辨率會提升，但是，精度會降低，因此，空間分辨率和精度成反比關系（隨著空間分辨率提高，精度將降低）。為了使空間分辨率與精度均滿足高精度水下重力匹配導航，對重力場的插值方法的研究成為此領域的研究熱點。

1 海洋重力異常圖插值方法

目前，常見的海洋重力場異常圖插值方法可具體分為兩類，第一類為基于函數插值方法，第二類為基于統計學插值方法。函數插值方法有徑向基函數插值法、曲線曲面插值法、樣條函數插值法。統計學方法有克里金插值法、距離加權反比插值法、改進的Shepard插值法。距離加權反比插值是最簡單的插值方法。該方法根據未知點到已知點距離加權平均值計算未知點的值。距離加權反比插值法的具體計算公式如下：

式中，Z0表示預測點的重力值，Zi表示第i個已知點的重力值，di表示第i個已知點到預測點的距離。由于插值精度較差，實際重力異常值插值過程中使用并不多。

1.1 徑向基函數插值法

徑向基函數插值法（Radial Basis Function， RBF）是根據已知點和基函數構建插值函數的過程。徑向基函數法插值過程主要是根據已知點為位置中心求解得出插值函數的系數，從而獲得預測點的值。Alessandra和Emma構造了基于徑向基函數法PU內插分區方法并模擬驗證該算法在重構加密海洋重力基準圖方面的有效性。

1.2 樣條函數函數插值法

樣條插值方法是由工程制圖中的樣條繪圖工具發展而來的。具體原理是將連續函數拼接成光滑的曲面或者曲線。其中著名的樣條插值方法有格林樣條函數插值法，格林樣條函數插值基于最小曲率原則，以已知點為位置中心將格林函數進行線性疊加，形成插值曲面。Mardla等提出將重力值降低為重力異常值然后通過曲率連續樣條函數、光滑粒子法、最小二乘配置法、克里金方法四種方法對重力異常值進行插值后能夠獲得高質量的海洋重力異常圖。樣條函數法插值后獲得的格網重力場較為精確，克里金插值方法在使用適合當前區域的參數時，生成的格網重力場精度也很高。克里金法可以根據某些準則調整系數，從而能更好地自動擬合具體區域重力場的特征。

1.3 克里金插值法

克里金插值法（Kriging）是一種地質學統計方法，是最優內插法，包括簡單克里金(Simple Kriging)、普通克里金(Ordinary Kriging)、協同克里金(Cokriging)和非線性克里金(Nonlinear Kriging)，其中最常用的是普通克里金插值方法。根據數據的空間相關性來加權求得未知點處的值。克里金插值法基于如下數學模型。半方差函數描述了各個點的空間關系，公式表示為：

求解克里金方程組：

估計值可以看作估計域n個已知值的線性組合

2 插值法新進展

目前，許多學者嘗試用人工智能領域的方法對重力場插值方法進行完善。Sarzeaud等提出了一種基于改進的Kohonen人工神經網絡的插值方法，用于將海洋重力數據插值為格網化的重力數據，最終驗證改進的Kohonen人工神經網絡的插值方法與克里金精度相當，并且計算時間比克里金短得多，尤其適用于當網格的大小和可用數據的數量都很大時。神經網絡內插可能是將局部模型合并為全局模型的一種好方法。它不能產生異常結果，并且可以確保數據與全局模型之間的連續性。

Xu等提出壓縮感知理論提供了一種信號重構方法，可以從更少的樣本中恢復稀疏信號。在壓縮感知理論的框架下，提出了一種基于非等寬傅里葉變換的重力數據重構方法，該方法是一種基于迭代冷卻閾值法的稀疏性分析和重構算法。通過對不同采樣率的二維重構試驗以及與最小曲率法和克里金法的比較，表明基于非等寬傅里葉變換的二維重構方法在采樣數據較少的情況下，仍能取得良好的重構效果。

3 結語

本文對目前常見的重力場插值方法擬合過程進行研究，通過分析得出結論，當使用的參數合適時，徑向基函數插值方法、克里金插值方法、樣條函數插值方法以及Kohonen人工神經網絡等，都能獲得較高精度的高分辨率重力場，這些插值方法在一定程度上會受到地形的復雜程度的影響。將神經網絡支持向量機等方法和傳統插值方法結合在一起，可能會提高整體的插值效率，例如，用主動學習訓練克里金模型，能夠提高計算效率并且保持精度。