拓撲優化方法的力學超材料設計研究

王學斌

（中北大學理學院，山西 太原 030051)

眾所周知，人類文明得以進步的關鍵，便是認識和改造世界，從微觀視角來看，微結構固有拓撲形貌滿足設計條件，這也給設計人員帶來了全新的挑戰，即在力學指標特定的前提下，如何完成相關設計工作。在此背景下，強調晶格分布的點陣結構組應運而生，該結構可對裂紋延伸方向進行改變，避免不必要的問題。

1 拓撲優化方法

歷經數十年的發展，現階段，拓撲優化已經成為設計領域常用方法，通過優化結構內部材料分布路徑的方式，在減少材料用量的基礎上，使設計人員擁有可供參考的全新構型。

一般來說，拓撲優化所采用思想與數學優化相似，均以數量確定的材料為基礎，結合特定設計區域，對其進行拓撲分布，確保設計所得結構具備良好物理性能，如流通性、剛度、散熱性等。事實證明，在設計空間的大小上，拓撲優化較形狀優化、尺寸優化更加占優，這是因為設計人員現有經驗給優化效果所帶來影響可以忽略不計，隨著設計空間得到拓展，設計所得拓撲構型描述，自然較之前更加新穎而優質。

下文著重介紹了實證有效的拓撲優化方法，供相關人員參考。

（1）變密度法。從描述設計空間內部材料分布情況的角度出發，以有限元框架為依托，將設計區域分為數個單元，再利用黑白像素對單元是否有材料分布進行描述，通過將材料分布問題向整數規劃問題進行轉化的方式，降低設計難度。設計人員需要明確的是，利用該法進行數值求解時，設計變量帶來的影響往往十分直觀，僅有小規模問題適用。要想扭轉上述局面，關鍵是改變設計變量密度，確保材料分布得到有效控制，這也是本文所采用方法的原型。實踐結果表明，該法較易出現的問題，主要是有棋盤格現象存在，由于連接不同單元材料的載體是節點，對材料進行如此分布時，相關人員并未將節點剛度考慮在內。局部密度過濾可使該現象得到有效消除，另外，具有相同功效的方法，還有靈敏度過濾、雙向漸進優化等，設計人員可酌情對其進行選用。

（2）節點密度法。利用變密度法對單元材料進行優化的過程，通常不具備連續性，這也是優化結果擁有鋸齒狀邊界的主要原因，將優化載體由單元向節點進行過渡是大勢所趨?；谠摲ㄋO計變量，通常在單元節點進行分布，設計人員可借助材料分布插值，對材料分布和屬性加以明確。早期，節點密度法所依托單元為四邊形單元，這樣做雖然使棋盤格效應得到了有效消除，但仍有亟待解決的問題存在，即孤島效應。關于該問題實證有效的解決策略有兩個，分別是利用平均密度對其進行改善，還有非局部密度插值，二者均強調對設計變量點進行科學利用，在對材料分布情況與結構邊界進行捕捉的前提下，通過精簡有限元擴展步驟的方式，提高優化效果。

2 力學超材料設計

2.1 確定材料插值模型

近幾年，力學超材料逐漸為越來越多人所熟知，對其進行橫向單軸拉伸，通常會有縱向膨脹變形的情況出現。由此可見，在力學屬性方面，該材料與常規材料存在明顯差異，這也是運動、生物醫學等領域對其進行運用的主要原因。另外，在剪切變形的抑制、使材料具有理想斷裂韌性、對聲能進行吸收等方面，該材料也有十分優異的表現。

現階段，圍繞超材料設計展開研究的側重點，普遍集中在負泊松比設計上，當然，超材料結構及特征也有所涉及，如果以負泊松比對應微結構為參照物，手性微結構能夠旋轉變形的原因，主要是基帶可以旋轉，受外載荷作用影響，上文提到的旋轉機制可使結構實現連鎖變形，結構吸能性能往往能夠得到充分發揮。但要明確一點，現有結構的設計基礎均為韌帶結構，研究領域尚未向拓撲優化設計延伸，這便是本次實驗的開展背景。本文設計內容以孔洞、強材料和弱材料為主，設計人員選擇利用插值模型，對材料選擇進行描述，而楊氏模量為：

其中，E/EH/ES對應單元插值彈性模量/強材料模量/弱材料模量。對應設計變量實際密度的數值。在懲罰系數≥3的前提下，表明單元存在材料分布，表明單元所選擇材料為強材料，則表明單元所選擇材料為弱材料。由此可見，單元彈性模量需要滿足的關系為：

2.2 優化列示

設計人員考慮到手性拓撲構型對后續環節的重要性，遂決定將初始拓撲缺陷引入設計區域，雖然現有模型已經能夠獲得相對完善的拓撲構型，由于所得微結構所具備特征僅局限于異性材料，要想將拓撲結果向同性材料和正交材料進行延伸，有目的性地引入對稱約條件很有必要。

2.3 實現數值

設計人員結合實踐經驗，將數值實現流程歸納如下：第一步，初始化設計變量；第二步，經由上文提及模型插值，確定材料的楊氏模量，這里提到的材料，其坐標點位于單胞空間；第三步，確定目標函數與靈敏度，在借助移動漸近線，確保設計變量可得到同時更新。通過不斷重復上述迭代過程的方式，確保其無限接近收斂準則。

2.4 進行數值算例

首先，由設計人員對各項異性和超材料進行設計，并比較同性結果與正交結果；其次，對優化結果做周期陣列處理，通過有限元分析的方式，得出相應結論；最后，以三維組裝設計為切入點，借助仿真分析法，確定同性結果的變形特征。

本文所討論超材料的設計，通常要運用到泊松比。在確定弱材料泊松比、強材料泊松比和彈性模量的基礎上，利用平面應力單元，對設計區域進行離散處理。設計人員綜合考慮多方因素后，將材料泊松比設定為0.3，弱材料彈性模量為2GPa，而強材料彈性模量為10GPa。

要想確保優化結果有手性拓撲構型與之對應，在條件允許的前提下，設計人員可選擇對初始拓撲構型進行引入，通過誘導的方式，形成相應材料布局（如圖1），其中，紅色對應材料分布情況，白色則指代孔洞。

2.5 仿真驗證

在驗證手性微結構時，設計人員選擇借助有限元軟件，對多材料微結構模型加以確定，隨后，利用實體單元，對周期結構進行離散處理。

要想對等效泊松比的固有屬性進行確定，一方面，要將位移載荷施加于豎直方向；另一方面，要對豎向自由度、位移自由度加以約束。與此同時，設計人員考慮到結構較易出現整體偏移的特征，遂決定在水平方向對額外約束進行施加。待上述工作告一段落，便可借助現有軟件完成仿真驗證。

2.6 手性超結構

設計人員借助三維組裝方法，對手性超結構、手性單胞進行了設計，具體方法如下：首先，通過旋轉手性拓撲構型的方式，獲得圓筒結構；其次，在豎直方向上，對8層周期列陣進行加設，確保底面節點對應自由度可受到固定約束；最后，通過施加軸向載荷的方式，獲得相應結構。研究表明，該結構兼有以下特性：其一，負泊松比；其二，受軸向載荷影響而旋轉。

3 其他設計方法

圖1 拓撲優化初始構型

以密度拓撲優化為基礎，對梯度點陣進行并發設計，其優勢主要是無須利用微結構對灰度單元進行解釋，設計人員往往更傾向于借助孔隙率約束與材料覆蓋約束，完成微結構及宏觀拓撲形態的設計工作。研究表明，如果以均勻點陣結構為參照物，多層點陣結構的優勢主要表現在以下方面：其一，剛度更加接近理想水平；其二，該結構能夠使自支撐設想成為現實；其三，無論是均勻點陣結構，還是實心結構，在極限承載力方面，均與梯度結構有較為明顯的差距。但要明確一點，本文所討論內容均以線彈性假設為前提，設計對象多為二維結構，無法完全匹配三維構型。由此可見，在未來一段時間內，設計人員的工作重心將逐漸轉向對非線性、三維結構和多物理場進行設計上，以增材制造方案為依據，通過對缺陷加以引入的方式，獲得結構力學性能相關數據。

4 結語

通過上文的敘述能夠看出，微結構固有等效力學屬性較易被諸多因素所影響，例如，材料組分占據百分比、泊松比、剪切模量、體積模量。與此同時，上文所提及力學屬性，除特殊情況外，均可經由同性約束或施加正交的方式，達到調節的目的。另外，設計人員還通過組裝的方式，獲得了拉扭轉耦合突出的超結構，這表明該方法可向設計新型微結構的領域進行延伸，確保設計所得材料具備指定性能。