基于雙樹復小波和AR譜的滾動軸承故障診斷*

宋玉琴，周琪瑋，趙 攀

(西安工程大學電子信息學院，西安 710600)

0 引言

滾動軸承是各種生產設備的重要組成部分且長期在高速、高負載情況下工作，對其故障識別能夠大幅降低產品的次品率和減小設備維護造成的經濟損失。因此，自動并有效地對滾動軸承故障進行診斷有著重要的意義[1]。

分析滾動軸承振動信號獲取滾動軸承的狀態信息，為在多種故障信號的情況下準確區分具體故障類型提供幫助。雖然振動信號存在時域非平穩特性和頻域非線性特性，但信號處理技術已經日趨成熟，能夠高效地揭示振動信號的時域特性、頻域特性以及二者之間的聯系[2]。

傳統時域信號處理方法基于信號自身的時域特性，通過數學計算提取各種信號時域特征。文獻[3]分析了滾動軸承故障信號的時域波形和3個時域指標，但時域指標的選擇具有經驗性。文獻[4]使用離散小波變換(DWT)對軸承滾動體故障進行特征提取。特征送入分類器后分類準確率相較于傳統方法有著較高的提升，但遺漏采樣間隔內的特征信息，變換后的子信號存在頻率混疊問題。小波包變換是在小波多分辨分析的基礎上發展完善而來，為解決小波分辨率不足、低頻段信號時間分辨率不佳等問題[5]。文獻[6]利用小波包將信號分解后再求取能量譜，得到穩定性較高的小波包節點能量特征，但依然沒有解決采樣間隔的信息遺漏和頻率混疊。

針對上述問題，本文提出幅頻對比算法優化的DTCWT結合AR功率譜的滾動軸承故障診斷方法。DTCWT優異的低頻分辨率和改善頻率混疊的能力保證了信號特征的完整提取，幅頻對比算法進一步削減虛假、錯誤頻率信息，而AR功率譜能深刻、集中體現信號的頻率功率分布，有效地提取復雜故障的典型特征信息。

1 幅頻對比算法優化的DTCWT

DTCWT是由Kingsbury等人提出，具有近似平移不變性和改善頻率混疊等優良特性[7-8]，改善和解決小波變換存在的頻率混疊、采樣間隔信息丟失等缺陷。

1.1 DTCWT

DTCWT采用二叉樹結構的設計方法，兩個分支樹使用平行但不同的低通和高通濾波器，一路生成實部樹，另一路生成虛部樹[9]。為獲得更好的對稱性，一路分支樹的濾波器長度為奇數，另一路為偶數。兩個分支樹濾波器之間延遲一個采樣間隔，實部樹遺漏的采樣值就能被虛部樹采集，不會丟失原始信號含有的隱藏信息。

(1)

最終由兩樹組成的DTCWT輸出復合序列如下：

(2)

為確定DTCWT的分解層數和驗證改善頻率混疊的能力，構造仿真信號進行試驗，見式(3)：

y=0.5sin(200πt)+sin(400πt)+

1.3sin(600πt)+0.7sin(800πt)

(3)

式中，時間t為1 s，采樣點數為1024，采樣頻率為2048 Hz，時域波形與頻率特性如圖1所示。

(a) 時域圖

DTCWT分解層數與誤差和耗時的關系如圖2所示。在仿真信號相同的條件下，消耗時間在分解層數為6層時達到穩定，并不會持續增加；誤差不會因為分解層數的增加而持續減小。綜合考慮誤差和耗時兩個因素，選擇層數為4層。

圖2 DTCWT分解層數與誤差和耗時的關系

分解層數確定為4層，分別使用DTCWT和DWT對仿真信號y進行子頻帶分解和重構，頻率特性如圖3所示。

(a) DWT (b) DTCWT

圖3a中，仿真信號經antoni9_7濾波器4分解后，在第1層頻帶子信號中除了200 Hz、300 Hz和400 Hz的固有頻率外，還出現112 Hz、212 Hz和312 Hz的虛假頻率，212 Hz的振幅甚至高于固有頻率200 Hz的幅值，在其他層中也出現較多虛假頻率和頻率混疊現象。圖3b中，經長度為9和7的near-symmetric雙正交濾波器和長度為14的正交Q-shift-14希爾伯特小波濾波器4層分解后，4層頻帶子信號頻率與仿真信號固有頻率一致。濾波器的非理想截止特性使第1、4層出現混疊現象和振幅微弱的虛假頻率，但依然驗證了它抑制虛假頻率、改善頻率混疊的能力。

1.2 幅頻對比算法

針對DTCWT得到的頻帶子信號中依然存在的虛假頻率和頻率混疊的問題，采用幅頻對比算法計算幅頻特性進行優化，其思想為：

圖4 幅頻對比算法優化的DTCWT流程圖

(1)頻帶子信號的幅值、頻率與原信號的幅值、頻率對比，保證固有頻率的幅值在子信號中占比最高；

(2)頻率標準差(RVF)可以反映頻率的分散程度，與頻帶子信號的離散程度為正比關系，間接表征頻帶子信號中含有頻率值的數量。

快速傅里葉變換(FFT)能夠準確分析信號幅頻特性[10-11]，是實現此算法基本運算的理想工具。幅頻對比算法優化DTCWT的流程如圖4所示。

圖4中判定條件(a)和(b)如式(4)、式(5)所示：

(4)

(5)

式中，fi和qi分別表示i時刻頻譜對應的頻率值及幅值；Fi和Qi分別為i時刻原信號頻譜對應的頻率值及幅值；N為頻譜的頻率數；fc為平均頻率。

2 AR功率譜

原始信號經過頻域參數優化的DTCWT后，得到K-1層頻帶子信號，如果計算各頻帶子信號的時頻域參數會使特征維數升高，增加計算和診斷成本，需引入其他分析方法。AR功率譜充分結合AR模型的線性外推、頻率定位準確特性[12]和信號功率信息，得到各層頻帶子信號的功率和，將其作為特征表征不同信號隱含的典型信息。

AR譜估計的流程為：

(1)對頻帶子信號建立AR模型，得到AR系數；

(2)利用AR系數建立該頻帶子信號的線性預測重構信號；

(3)計算重構信號功率譜，得到總功率。

AR模型的一般數學結構如式(6)：

(6)

式中，p為模型階數；xr(m)是時間m的預測重構信號，與前p個預測值有線性關系；αk表征AR系數；ε(m)為誤差項，表征真實值和預測值之間的差別。

AR模型的系數和功率譜的計算方法有多種，例如Yule-Walker，Burg，改進協方差和協方差法[13-14]，分析上述方法后，采用Burg法，無需估計自相關函數，從已知序列求得反射系數，用Levinson遞推算法得到AR參數。

3 實驗與評價分析

采用美國凱斯西儲大學軸承數據中心的滾動軸承加速度振動信號對本文所提方法進行驗證。電機驅動端軸承型號為SKF6205，包含9個滾動體。應用電火花技術人為制造不同故障直徑，采集軸承在不同故障直徑和故障位置的振動信號，采樣頻率為12 kHz。本實驗采用的數據描述如表1所示。

表1 實驗數據描述

支持向量機(SVM)是一種廣泛應用于的小樣本數據分類的分類器，主要是建立一個分類超平面作為決策面，最大限度地擴大正、負分離邊的距離，懲罰因子等參數對最終的結果有著很大的影響[15]。參數的選擇實質上屬于組合優化問題，遺傳算法能夠自適應地尋找參數組合最優解，很好地解決此類問題，避免認為選擇參數的盲目性。因此遺傳算法優化的支持向量機(GA-SVM)作為分類器對提取的特征進行分類診斷。

3.1 幅頻對比算法優化的DTCWT+AR譜

使用與1.1小節相同的雙樹復小波濾波器對全部實驗信號進行4層分解，得到6400組數據，經過幅頻對比算法后，數據量下降到4800組。

隨機選取一個正常(Norm)振動信號，其頻域特性如圖5a，振幅最高的3個固有頻率為87.89 Hz、1008 Hz和2000 Hz。圖5b是幅頻對比算法排除的信號的幅頻特性，因為出現4324 Hz和5186 Hz的虛假頻率，且振幅分別為2000 Hz的固有頻率振幅的83.33%和61.11%，導致虛假頻率的功率值在該層子信號中比重很高，若不排除此子信號，會獲得錯誤的特征信息，影響最后的診斷結果。

(a) Norm信號頻域圖

圖6是保留的頻帶子信號幅頻特性，3層子信號將固有頻率全部提取且振幅最大，保證功率占比最大，排除微弱頻率的干擾。

圖6 幅頻對比算法保留的頻帶子信號幅頻特性

得到優化的4800組樣本后，利用AR模型取得信號的預測重構信號，包含當前時刻和前P個時刻信號的特征。AR模型階數為10，采用Burg法得出AR系數和功率，將信號每個時刻的功率相加得到信號總功率，不需要復雜的計算和組合過程。

隨機抽取所有類別各40組樣本，得到的功率特征如圖7所示，其中虛線圈中的局部放大如圖8所示。

圖7 幅頻對比算法優化的DTCWT+AR譜的功率特征三維散點圖

圖8 幅頻對比算法優化的DTCWT+AR譜的功率特征三維散點圖局部放大

從圖7中可以看出第1層子頻帶總功率為50(db/Hz)的平面分離出IF7、IF21、OF21、OF7與其他類型故障，IF7與OF21僅在小部區域有重疊；圖8中，雖然BF21和IF14有個別特征點分散，但不同種類信號的特征類內分布集中，重疊區域僅存在于BF7與BF14之間，上述結果說明AR功率譜準確地提取隱藏在各個信號內部的功率信息，獲得能直接、簡潔地反映不同信號的總功率特征信息。準確得到總功率特征的前提是DTCWT提取各自信號的正確的頻率信息。通過頻帶子信號與原信號的對比以及頻率標準差(RVF)，經過幅頻對比算法優化后DTCWT提高了改善信號分解過程中出現的頻帶子信號的頻率混疊和虛假頻率的能力，篩選的頻帶子信號包含了各自信號的正確的頻率信息。其次，提取的10種故障類別特征值分布在(0～100)、(0～40)與(0～3)的大范圍空間內，三層不同頻帶子信號總功率相互間的距離差異相差一個數量級，即使有個別特征值出現偏離和分散，也不會造成故障特征之間的混亂和重疊，這一結果表征AR功率譜計算的不同種類故障總功率特征可區分度高，適合作為代表不同故障信號特點的特征值，可以將其應用至滾動軸承故障診斷中。

3.2 DWT+顯著時域特征

DWT+時域特征中小波濾波器與1.1小節一致。時域特征種類與診斷正確率不為正比關系，并不是越多越好[16]，文獻[16]基于經驗模態分解得出顯著特征組合，在此基礎上，結合DWT分解特性并分析頻帶子信號后，選擇提取峭度(KV)、均方根(RMS)和方差(VAR)作為時域特征參數。

上述3種時域特征分別作為坐標軸，得到的時域特征空間相互關系如圖9所示，虛線圈中的局部放大如圖10所示。

從圖9中得到，IF7、IF21、OF21和OF7故障雖然分離，但相互之間的峭度間隔只有1，方差的分布間隔只有0.4，分散點與其他特征混疊，易混淆不同類型特征。

圖9 DWT+顯著時域特征三維散點圖

圖10中6類故障信號的均方根和方差集中在0～0.04，與3.1節方法中分布最窄的第3層子頻帶信號相比，寬度僅為其1.33%，出現上述結果的原因在于DWT的頻率混疊問題嚴重，分解頻率的準確度低于DTCWT方法，使得各級頻帶子信號的主要頻率相互混雜、疊加，振幅相近，沒有達到預期的分解效果，造成提取的不同種類故障的時域特征間隔小，差異性低，無法區分代表性頻率信息；再者，較多的虛假頻率造成同一類故障中部分特征值分散，混淆、掩蓋真實頻率信息，在不同種類特征間隔很小的前提下，分散的特征值對整體故障診斷會造成較大影響，極易發生故障種類的錯誤診斷。

圖10 DWT+顯著時域特征三維散點圖局部放大

3.3 DTCWT+組合時域特征

為與3.2小節使用的顯著時域特征區分，在峭度(KV)和方差(VAR)基礎上增加方根幅值(RA)和歪度(SKEW)。由于時域特征組合方式過于復雜和繁瑣，且具有一定的經驗性，故對上述4種時域特征進行適當組合。

第3.1小節方法與DTCWT+組合時域特征的診斷準確率如圖11所示。

6種組合時域特征包含1種、2種和3種特征組合，從圖11中分析可得：

(1)KV+VAR組合的診斷準確率明顯高于SKEW+KV組合與RA+SKEW組合；

(2)KV+VAR組合診斷準確率高于RA+SKEW+KV組合但低于SKEW+KV+VAR組合；

(3)第3.1小節方法的診斷準確率最高。

圖11 第3.1小節方法與DTCWT+組合時域特征診斷準確率

上述結果表明時域特征種類數量不是越多越好，多種時域特征進行組合缺乏理論指導，窮舉法計算復雜，時間成本過高；若將常見時域參數全部作為特征，則特征向量的維度會增加，部分不能體現故障特點的特征成為冗余，給后續診斷造成負擔。

此外，相較于3.1小節方法明確地計算功率特征，由于暫時沒有統一的選擇并組合時域特征的方法，即使時域特征種類相同，診斷結果也會因前期不同的信號處理方法等情況而出現偏差，增加軸承故障診斷的不確定性。

3.4 評價指標分析

為深入分析3.1小節方法與3.2和3.3小節方法對不同特點的信號的特征提取能力。除總體識別率，即表征正確診斷信號種類的能力，再引入內圈、球體和外圈識別率，最終評價結果如表2所示。

表2 評價結果

第3.1小節方法具有最高的總體識別率，能夠完美提取3種故障直徑的外圈故障特征，具有優秀的提取3種故障直徑的內圈故障特征的能力，提取球體故障特征的能力在4種方法中最高，但依然存在上升空間。

4 結論

本文提出了幅頻對比算法優化的雙樹復小波變換結合自回歸功率譜的滾動軸承故障診斷方法，對復雜滾動軸承故障提取功率特征，并將其作為遺傳算法優化的支持向量機(GA-SVM)的輸入，診斷故障類型。通過總體識別率等評價指標驗證該方法能夠有效區分多種混合故障并得出以下結論：

(1)雙樹復小波變換的二叉樹結構實現對信號無間隔采樣，減小因信息丟失造成的分解錯誤，改善頻率混疊問題。

(2)幅頻對比算法能夠排除帶有部分虛假頻率和頻率混疊嚴重的頻帶子信號，進一步提高DTCWT獲取特征信息的準確性。

(3)自回歸譜的遞推思想包含頻帶子信號前p個時間內的信息，結合頻率和功率信息，消除因為特征選擇和預處理方法造成的不確定性，降低特征維度和計算成本，獲得信號典型特征，具有較高的故障識別率。