基于公差原則的裝配體公差建模*

程彬彬

(桂林電子科技大學信息科技學院，廣西 桂林 541004)

0 引言

公差分配是根據產品的功能要求、加工能力等，對尺寸公差、形位公差進行合理的確定與標注的過程。要進行產品的公差分配，必須先明確裝配功能要求與各零件公差之間的關系，即裝配體公差數學模型，裝配體的公差數學模型是機械產品進行公差分配的基礎，是CAD/CAE/CAM集成的關鍵。

目前對公差模型已進行了廣泛的研究。1983年Requicha A A G[1]提出了漂移模型，用于描述公差域的邊界信息；Hillyard R C等[2]提出了參數矢量化模型，這種模型對尺寸公差能夠較好地處理；Bourdet P等[3]提出了小位移旋量模型(Small Displacement Torsor, SDT)，將幾何特征要素在公差帶內可能發生的變動用平動和轉動兩組旋量參數來表示；Walid Ghiea等[4]基于剛體運動學提出了雅可比旋量模型，可以同時表達尺寸公差和形位公差的工程語義，應用廣泛；徐旭松等[5]研究了加工誤差的累積模型；吳兆強[6]以SDT理論建立了公差變動累積模型，并進行了裝配公差分析；王移風等[7]基于SDT理論研究了零件的公差建模方法，沒有涉及裝配體公差建模；唐哲敏等[8]利用齊次坐標變換，結合裝配定位連接，建立了統計公差建模；許本勝等[9]基于特征的自由度變動進行公差的綜合建模；程彬彬等[10-11]研究了零部件在實際工作載荷下的變形，對裝配體公差模型進行了修正，進行了裝配體公差優化分配。但目前的研究沒有考慮公差原則(包括獨立原則和相關要求)的影響，忽視了尺寸公差、形位公差之間的相互關系。而尺寸公差、形位公差在零件中是共同存在的，兩者可以相對獨立(獨立原則)，也可以互相影響、互相補償(相關要求，包括包容要求、最大實體要求、最小實體要求和可逆要求)，對產品的裝配過程有著綜合的影響。

針對上述問題，在現有裝配體公差建模理論中引入公差原則，提出了一種基于公差原則的裝配體公差建模方法，給出了工程實例應用，為后續進行公差優化設計奠定基礎。

1 獨立原則下裝配體公差建模

獨立原則是指在設計圖樣上尺寸公差、形位公差相互獨立，互不影響，零部件的幾何特征應分別滿足要求的公差原則。目前的裝配體公差建模大都以獨立原則為前提[12]，研究零件的公差與裝配功能要求之間的關系。其中，雅可比旋量模型算法簡潔，能夠清晰的表達尺寸公差和形位公差的變動和累積效應，在裝配體公差建模領域應用比較廣泛。雅可比旋量模型的表達式為[4]：

[FR]=[J][FE]

(1)

式中，[FR]、[FE]分別是裝配功能要求、功能要素的旋量表示(SDT)，功能要素既包括零件本身的幾何特征也包括零件之間的配合；[J]表示各組成環公差累積的雅可比矩陣。

(2)

式中，n代表裝配尺寸鏈中組成環的個數，[J]FEi為各組成環對應的雅可比矩陣，其計算方法詳見文獻[4]，不再贅述。

2 相關要求下裝配體公差建模

公差原則除了包含獨立原則外，還包含相關要求。相關要求又分為包容要求、最大實體要求、最小實體要求和可逆要求[13]。

2.1 相關要求對功能要素旋量表示的影響

當設計圖樣采用相關要求時，圖樣上給定的尺寸公差Ta和形位公差ta就可以相互影響和補償，從而對功能要素的SDT表示產生影響，所以必須對原來的雅可比旋量模型進行修正，才能正確表達功能要素的變動。下面以最大實體要求為例進行說明。

最大實體要求用最大實體實效邊界對零件實際要素進行控制，當最大實體要求應用于被測要素時，應在形位公差框格中的公差值后面標注M，對實際輪廓的具體要求如下：

內表面(孔)Dfe≥Dmv=Dmin-ta且Dmin≤Da≤Dmax

(3)

外表面(軸)dfe≤dmv=dmin+ta且dmin≤da≤dmax

(4)

式中，Dfe、Dmv、Da、Dmax、Dmin分別是孔的體外作用尺寸、最大實體實效尺寸、局部實際尺寸、最大極限尺寸和最小極限尺寸，dfe、dmv、da、dmax、dmin分別是軸的體外作用尺寸、最大實體實效尺寸、局部實際尺寸、最大極限尺寸和最小極限尺寸。

根據式(3)、式(4)可知，當孔或軸的局部實際尺寸處處為最大實體尺寸時，功能要素的形位誤差的最大允許值為圖樣上給定的公差值；當孔或軸的實際尺寸不再是最大實體尺寸時，功能要素的形位誤差的最大允許值可以大于規定的公差值，且當孔或軸的局部實際尺寸處處為最小實體尺寸時，功能要素的形位誤差可以達到最大值(尺寸公差與形位公差值之和)，即形位公差不是固定的，可以由圖樣上標注的尺寸公差進行補償，局部實際尺寸Da或da與補償后的形位公差t之間的關系(動態公差圖)如圖1所示。

圖1 動態公差圖

根據前面的論述，作用于功能要素的形位公差發生變化，必然導致其SDT的改變，需要將補償后的形位公差t代替圖樣上標注的形位公差ta，根據圖1補償后的公差t呈線性變化，最大值為tmax=ta+Ta，當補償后的形位公差取得最大值時對裝配尺寸鏈的累積效應貢獻最大。所以，在考慮最大實體要求對裝配公差建模的影響時，取補償后的形位公差的最大值tmax，以確保裝配功能要求在所有情況下的滿足。

2.2 相關要求下裝配體公差建模的修正

由公式(2)可知，利用雅可比旋量進行裝配體公差建模需要計算出反映公差累積效應的雅可比矩陣[J]以及幾何要素的旋量表示[FE]。根據文獻[4]，雅可比矩陣的計算僅與零件的基本尺寸相關，不涉及公差的相關計算，所以修正后的雅可比旋量模型只有[FE]發生改變。綜上所述，相關要求下的裝配體公差模型如式(5)所示。

(5)

式中，[FEi′]為相關要求下的旋量表示；u′、v′、w′、α′、β′、γ′為其對應的6個旋量參數。

3 工程實例

圖2 機床尾座裝配簡圖及組成零件圖

3.1 雅可比矩陣的計算

圖3是機床尾座裝配過程的示意圖。其中，頂尖與立柱的配合類型為過盈配合，底座與立柱的配合類型為平面配合，上述兩處屬于外部約束且都不存在間隙，根據SDT的理論可知對應的小位移旋量為零，即[FEi′|i′=2,4]為零，根據式(5)可知，上述兩處的配合情況對裝配體的功能要求[FR]是沒有影響的，故對應的雅可比矩陣[Ji|i=2,4]也不需要計算。

圖3 機床尾座裝配過程

根據文獻[4]計算雅可比矩陣的方法，機床尾座裝配體各雅可比矩陣為：

(6)

3.2 功能要素[FE]的計算

由圖2可知，底座的平面上包含尺寸公差t1和平行度t2的公差要求，根據公差標注的要求，同一要素尺寸公差值要大于平行度的公差值，尺寸公差和平行度的公差帶均為兩平行平面組成，且尺寸公差的公差帶方向和位置均是固定的，平行度的公差帶僅方向是固定的，其位置浮動于位置度的公差帶內。綜上，在尺寸公差和平行度的綜合作用下，底座上平面的平動不能超越尺寸公差t1的約束，且僅在Z方向上有限制，轉動不能超越平行度t2的約束，在X、Y方向都有限制。根據平面的幾何尺寸并結合式(5)[FEi′|i′=1]的表達式為：

(7)

(8)

頂尖前端圓錐的軸線有同軸度的公差要求，同軸度的公差帶是直徑為公差值φt5的圓柱面內的區域，該圓柱面的軸線與基準軸線同軸。所以，同軸度公差對軸線在Y、Z軸即有平動的約束，也有轉動的約束，根據圖2中標注的尺寸，可以計算出頂尖前端圓錐的高度為25.98 mm。綜上，[FEi′|i′=5]的表達式為：

(9)

將式(6)～式(9)代入式(5)就可得到機床尾座在公差原則(最大實體要求)下的裝配公差模型，如式(10)所示：

(10)

4 結論

將公差原則引入裝配體公差建模的研究中，提出了一種基于公差原則的裝配體公差建模方法。結合機床尾座實例，利用上述方法介紹了裝配體公差建模方法和步驟，驗證了上述方法的有效性，擴大了裝配體公差建模理論的應用場合，為下一步進行公差優化分配奠定了基礎。