基于改進VMD-SVD降噪的齒輪箱故障特征提取*

蔣麗英，潘宗博，劉佳鑫

(沈陽航空航天大學自動化學院，沈陽 110136)

0 引言

齒輪傳動在機械設備運行中是重要的環節之一，當齒輪發生故障時會使機械設備運行不正常，甚至造成重大的財產損失和人員傷亡。因此，對齒輪故障特征提取及診斷進行研究有著重要的意義。齒輪箱的振動信號常常表現出很強的非平穩非線性，故障特征頻譜通常以調頻調幅的形式存在于嚙合頻率及其倍頻兩邊[1]，由于信號傳播路徑等因素的影響使得這個故障特征被噪聲干擾，造成提取故障特征以及辨識故障類型困難的問題。

信號降噪處理的方法有很多，每種方法都有各自的優勢和不足。經驗模態分解(EMD)[2]能將待處理信號分解為一系列固有模態函數(IMF)，能對待處理信號進行不同尺度的描述；然而，EMD存在邊界效應及模態混疊現象。固有時間尺度分解(ITD)[3]能將待處理信號自適應地分解為一系列頻率由高到低的旋轉分量(PR)和一個單調趨勢的殘余量，克服了EMD的模態混疊現象；但由于ITD的基線信號是基于相鄰極值點間每一段信號的線性變換，PR分量有可能出現明顯的波形失真，且仍存在端點效應[4]。小波分解(WT)[5]通過將原始信號分解成一系列高頻與低頻分量，在以一定的準則選取單個或多個分量重構信號實現降噪過程；若故障特征頻率為低頻，小波降噪可以去除大量噪聲成分；若故障特征頻率為高頻，小波降噪在保留故障特征的同時也會保留較寬頻率段的噪聲。

本文基于變分模態分解(VMD)[6]和奇異值分解(SVD)[7]對齒輪箱振動信號的降噪問題進行研究。VMD將模態的估計轉變為變分問題的求解，能夠準確的將信號中各頻率成分分解為不同中心頻率和帶寬的分量，具有很強的自適應性，較好地克服了EMD和ITD在信號分解中的不足。SVD是線性代數中最重要的工具之一, 在統計分析、信號處理和故障檢測等方面都有重要應用[8]；在信號處理方面，SVD主要用于周期成分提取和信號降噪，具有極好的不變性和穩定性[9]；分解后選取合適的奇異值閾值重構信號，可以有效地保留有用信息、消除原始信號中的噪聲干擾；相比于小波降噪，SVD沒有頻率限制，適用于全頻率段的降噪處理。

周洋等[10]和馬增強等[11]使用了傳統的VMD-SVD降噪方法應用于滾動軸承振動信號，并成功提取出故障特征；但是該方法在強噪聲背景下難以判定VMD處理后的各IMF分量是否保留，且由于齒輪箱嚙合頻率處的幅值遠高于其他頻率的特點難以找到合適的奇異值閾值用于SVD降噪處理，因此該方法并不適用于強背景噪聲下齒輪箱振動信號的降噪處理。為有效提取出強背景噪聲干擾下的齒輪箱振動信號的故障特征，本文提出了改進VMD-SVD的降噪方法。以齒輪箱斷齒故障數據為試驗樣本，對降噪后的信號進一步做希爾伯特解調處理[12]，準確的提取出故障特征。

1 變分模態分解基本原理

變分模態分解是一種信號分解方法，通過迭代可以將原始信號分解為擁有不同中心頻率和帶寬的模態分量(IMF分量)。其以各模態分量的估計帶寬之和最小、各模態分量之和等于輸入信號為約束。受約束的變分模型如式(1)所示[13]：

(1)

式中，?t為t的偏導數，δ(t)為脈沖函數，μk為第k個模態函數，ωk每個模態的中心頻率，f為原始信號。

在此基礎上，引入二次懲罰因子α和Lagrange乘法算子λ(t)，將上述變分模型轉化為非約束變分模型，擴展的Lagrange表達式如式(2)所示：

(2)

式中，α參數用于保證重構信號的精度，λ(t)使約束條件更加嚴格。

(3)

過程如下：

②設置循環條件n=n+1；

(4)

④更新ωk：

(5)

⑤更新λ：

(6)

式中，τ為噪聲容限參數，設τ=0時可以達到良好的降噪效果。

⑥循環步驟②～⑤，滿足判定表達式時終止迭代。判定表達式如式(7)所示。

(7)

式中，e為判別精度。

最終，變分模態分解將原始信號f分解為K個窄帶模態分量μk，其中，k∈1,2,…,K。

2 奇異值分解原理

2.1 奇異值分解基本原理

奇異值分解是一種分解矩陣的方法，可以將維數為m×n的矩陣X分解得到如下形式：

X=U×Σ×VT

(8)

式中，U為m×m階酉矩陣，Σ為半正定m×n階對角矩陣，V為n×n階酉矩陣。Σ的對角線元素σ1,σ2,σ3,…,σi，(i=min(m,n))即為矩陣X的奇異值，且滿足σ1≥σ2≥σ3≥…≥σi。

2.2 奇異值降噪原理

奇異值包含了分解前矩陣的全部信息，通過對奇異值的處理對原始數據進行分析，可以實現預期的需求。針對一維時域數據，奇異值降噪原理如下：

(1)由式(8)可以看出，奇異值分解是對矩陣進行處理，首先要將一維時域數據轉化為矩陣形式。可以通過構造Hankel矩陣實現上述要求，將時域數據構造成Hankel矩陣的過程如下：

①假設時域信號數據中有L個采樣點數據，對其編號為x(1),x(2),x(3),…,x(L)。

②按Hankel矩陣形式排列L個采樣點數據，如式(9)所示。

(9)

式中，矩陣的行數滿足1

(2)對構造的Hankel矩陣進行奇異值分解處理，得到U矩陣，Σ矩陣和V矩陣。

(3)選取Σ矩陣中的某一個奇異值σi為閾值，將矩陣Σ中大于等于閾值的奇異值保留，其余的奇異值置零，如式(10)所示：

Σ′=diag(σ1,σ2,…,σi,0,0,…,0)

(10)

(4)使用新構造的奇異值矩陣Σ′和奇異值分解生成的酉矩陣U和酉矩陣V做奇異值分解反運算，如式(11)所示：

H′=U×Σ′×VT

(11)

(5)新生成的H′矩陣負對角元素并不相同，對H′矩陣的負對角元素求均值得到降噪后的信號x′(1),x′(2),x′(3),…,x′(L)，如式(12)所示[14]：

(12)

式中，α=max(1,i-m+1)，β=min(n,i)。

2.3 奇異值降噪閾值選取原理

常用的降噪閾值選取方法有基于奇異值差分譜的方法、基于奇異值均值的方法和基于奇異值中值的方法。基于奇異值差分譜的方法有兩種閾值確定方式：采用差分譜最大值對應的奇異值為降噪閾值，該閾值確定方式可以自適應的確定閾值，但不適用于頻率調制信號，且噪聲比較強時使用該閾值進行奇異值降噪處理時無法保留全部有用信息；從右向左觀察奇異值差分譜，選取第一個較大的峰值對應的奇異值為降噪閾值，該閾值確定方式主觀性強，選取的閾值可能不是最佳閾值，影響降噪效果。基于奇異值均值的方法將閾值定為所有奇異值的均值，基于奇異值中值的方法將閾值定為所有奇異值的中值，使用這兩種方法選取的閾值做降噪處理時，信號的降噪效果不理想。

基于以上不足，本文提出了一種新的奇異值降噪閾值選取方法，可以自適應的確定適合的奇異值閾值，方法原理如下：

(1)根據信號特點確定信號保留比例γ。

(2)計算所有奇異值的和，如式(13)所示：

(13)

(3)選取第a階奇異值為降噪閾值，其中a滿足式(14)：

(14)

3 改進VMD-SVD降噪方法

本文針對強噪聲背景下齒輪箱故障振動信號的特征提取問題，提出了改進VMD-SVD的降噪方法。首先使用VMD將原始信號分解為多個IMF分量，然后使用SVD對每個IMF分量單獨進行降噪處理，最后將處理后的IMF分量線性疊加。具體實現步驟如下：

(1)獲取試驗樣本數據。

在故障振動信號數據中隨機截取長度為L的時間序列XL=[x(1),x(2),…x(L)]作為試驗樣本。

(2)對樣本數據XL進行VMD分析。

首先利用中心頻率觀察法確定參數K；然后使用VMD分解XL，得到K個IMF分量，記作IMFi(i=1,2,…,K)。

(3)構造Hankel矩陣。

按式(9)方式分別構造各IMF的Hankel矩陣Hi(i=1,2,…,K)。

(4)使用SVD分解Hi(i=1,2,…,K)。

對Hi(i=1,2,…,K)進行奇異值分解，分別得到Hi(i=1,2,…,K)對應的奇異值對角矩陣和兩個酉矩陣：Σi、Ui和Vi(i=1,2,…,K)。

(5)選取奇異值降噪閾值。

首先確定信號保留比例γ；然后按式(13)方式求取所有的奇異值之和sum；最后從小到大迭代a，滿足式(14)的a對應的奇異值σa即為選取的奇異值降噪閾值。

(6)重構奇異值對角矩陣。

(7)反奇異值分解

(8)重構信號

通過線性疊加降噪后的各IMF分量重構信號，即為改進VMD-SVD降噪方法處理后的故障信號。

改進VMD-SVD降噪方法的示意圖如圖1所示。

圖1 基于VMD和SVD的降噪方法示意圖

4 仿真信號分析

為了驗證改進VMD-SVD降噪方法的降噪性能，本文構造了一個擁有較強噪聲的仿真信號，通過仿真驗證了該方法的有效性。

構造的仿真信號為：

x(t)=x1(t)+x2(t)+δ(t)
x1(t)=0.2sin(1200πt)
x2(t)=0.3sin(3000πt)

(15)

式中，x1(t)為頻率為600 Hz的正弦信號，x2(t)為頻率為1500 Hz的正弦信號，δ(t)為高斯白噪聲信號。

得到的仿真信號x(t)的時域波形和頻率譜密度如圖2所示，結合頻率譜密度可以看出信號噪聲很大，幾乎要掩蓋600 Hz的正弦信號。

圖2 仿真信號的時域波形和頻率譜密度

使用變分模態分解對x(t)進行分解，通過中心頻率觀察法確定最佳分解參數K=2，分解得到模態分量IMF1和IMF2。分別對IMF1和IMF2分量構造Hankel矩陣并進行奇異值分解。選擇信號保留比例λ=10%，確定IMF1分量的奇異值降噪閾值階數為12，IMF2分量的奇異值降噪閾值階數為13。將反奇異值分解生成矩陣轉化為時域信號即完成了奇異值分解對各模態分量的降噪處理。將降噪后的IMF1分量和IMF2分量線性疊加在一起，得到降噪處理后的故障信號，信號的時域波形和頻率譜密度如圖3所示。與圖2相比，有用信號的幅值被最大程度地保留了下來，而噪聲信號被濾掉大部分，驗證了本文方法有效性。

圖3 降噪后故障信號的時域波形和頻率譜密度

5 實測信號分析

為驗證本文所提方法的實用性，使用轉頻為1450 r/min、采樣頻率5120 Hz、主動輪齒數為55、從動輪齒數為75的齒輪箱斷齒數據進行改進VMD-SVD降噪處理。經理論計算，斷齒齒輪轉頻為17.5 Hz，嚙合頻率為1328 Hz。原始故障數據的時域波形、頻率譜密度和解調頻率譜密度如圖4所示。

圖4 原始故障數據的時域波形、頻率譜密度和解調頻率譜密度

可以看出，原始故障數據的噪聲成分很少，嚙合頻率、故障齒輪轉頻及其2倍頻和3倍頻的幅值都很突出。為了突出本文所提方法的效果，在原始故障數據中加入了加性高斯白噪聲，加入噪聲的故障信號的時域波形、頻率譜密度和解調頻率譜密度如圖5所示，信號的頻率譜密度中除了嚙合頻率其他信號成分幾乎淹沒在噪聲中，解調頻率譜密度中故障轉頻也沒有顯現出來。

圖5 加噪數據的時域波形、頻率譜密度和解調頻率譜密度

使用變分模態分解對加噪數據進行分解，通過中心頻率觀察法確定最佳分解參數K=3，分解得到模態分量IMF1、IMF2和IMF3。分別對IMF1、IMF2和IMF3分量構造Hankel矩陣并進行奇異值分解。選擇信號保留比例λ=55%，確定IMF1分量的奇異值降噪閾值階數為122，IMF2分量的奇異值降噪閾值階數為111，IMF3分量的奇異值降噪閾值階數為129。將反奇異值分解生成矩陣轉化為時域信號即完成了奇異值分解對各模態分量的降噪處理。線性疊加降噪后的各模態分量得到降噪后的故障信號，時域波形、頻率譜密度和解調頻率譜密度如圖6所示。與圖5相比較，嚙合頻率、故障齒輪轉頻及其2倍頻的幅值重新凸顯出來，故障齒輪轉頻的3倍頻有些許偏差。

圖6 降噪后故障信號的時域波形、頻率譜密度和解調頻率譜密度

為突出本文方法在強背景噪聲下的優越性，與傳統的VMD-SVD降噪方法作對比。傳統VMD-SVD降噪后時域信號的時域波形、頻率譜密度和解調頻率譜密度如圖7所示。

圖7 傳統VMD-SVD降噪后信號的時域波形、頻率譜密度和解調頻率譜密度

與圖6所示結果相比較，故障振動信號的有用信息被濾掉一部分，且故障齒輪轉頻及其2倍頻并不突出，本文方法更為直觀。

6 結論

針對強背景噪聲下的齒輪箱故障特征提取，本文提出了改進VMD-SVD的降噪方法。與傳統VMD-SVD降噪方法相比較，本文方法在強噪聲背景下更具有優勢，通過試驗準確地提取出齒輪箱故障特征，驗證了本文方法的準確性和優越性。