基于非線性規劃粒子群算法的高強混凝土配比優化

王云藝 朱濤

河南大學，中國·河南 開封 475000

1 引言

高強混凝土通常是指以通用水泥和砂石為原料，通過摻加礦物質細粉和高效減水劑，在經過常規制造工藝和硬化之后，其強度等級不小于C60 的混凝土。既保證了混凝土結構所要求的各項力學性能，又具有一定的耐久性。當前，許多國家都對高強混凝土提高重視，積極進行開發和研究。隨著現代建筑規模的擴大和結構的復雜化，人們對高強混凝土材料的性能要求進一步提升。在配制高強混凝土的過程中，其配合比的優劣直接影響到混凝土成品的質量以及造價的高低。因此優化高強混凝土的配合比成為人們在混凝土配合比設計中的一個重要課題。

近年來，隨著計算機技術迅速發展，粒子群算法得到廣泛運用。特別是在計算多變量以及非線性問題的最優解方面能力較強，為混凝土配合比優化設計問題開辟了一個新思路。對于傳統的粒子群算法在求解有約束最優化問題方面的不足，論文主要使用一種新型的粒子群算法，通過采用罰函數的方法對約束條件進行轉化，以達到求解目的。

2 非線性規劃粒子群算法

粒子群算法（Particle Swarm Optimization, PSO）屬于群智能算法的一種，該算法通過模擬鳥群的捕食行為，利用鳥群中的信息交流和相互協作的行為作為求解優化問題的啟發。類似于遺傳算法，該算法也是通過群體迭代來尋找最優解，但與遺傳算法不同，粒子群算法中并沒有交叉和變異等過程，而是通過整個粒子群內的信息交流在解空間中進行搜索。PSO 算法容易實現、參數少以及無需梯度信息，其實數編碼的特點對實優化問題的處理非常合適[1]。同時又有深刻的智能背景，既適合科學研究，又特別適合工程應用。

2.1 粒子群算法

粒子群算法中使用一種無質量的粒子來表示鳥群中的鳥。每個粒子都有對應的位置和速度，在解的可行域中搜尋最優解，并將其記為當前個體的最優解。通過將個體最優解與其他粒子共享，就可以找到整個粒子群的當前全局最優解[2]。粒子群中的所有粒子再根據自己當前的速度位置、自己的當前個體最優解以及全局最優解來更新下一時刻的速度和位置。粒子群算法的主要步驟相對簡單，包括初始化粒子群、計算粒子的適應度、尋找個體最優解、尋找全局最優解、迭代粒子的速度和位置。圖1是程序的流程圖。

圖1 粒子群算法流程圖

（1）初始化粒子群

首先，設置初始粒子的種群大小。同時需要設置最大的速度區間以防粒子超出最大的區間。隨后在搜索空間和速度區間上隨機設置粒子的初始位置和速度。

（2）個體最優解與全局最優解

（3）更新速度和位置的公式

根據個體最優解、全局最優解以及粒子自身的速度和位置更新下一次迭代時粒子的速度和位置，更新公式為：

（4）判斷是否滿足終止條件

粒子群算法的終止條件主要有兩種：一是最大迭代數；二是最優值在一定迭代次數后的變化在一個指定的范圍內即停止。論文選擇的是第二種。當滿足該條件時，程序跳出循環[3]。

2.2 約束條件處理機制

傳統的粒子群算法無法對有約束條件的問題進行求解。有文獻[6,7]在傳統粒子群算法上提出了一種方便可行的解決方法：在適應度函數的基礎上構造罰函數，對超出約束條件的解進行懲罰，以達到將有約束的優化問題轉化為無約束的優化問題的目的。一般情況下，非線性約束優化問題（最小值）可以表述為：

參考吳茜等人[5]的做法，論文采取將等式約束通過式轉化為不等式約束：

其中N是一個很大的正數。當粒子處于非可行解區域時，其當前解的值對于粒子下一步速度和位置的迭代沒有參考價值，因為其當前的解并不屬于解的可行域。但是該粒子所處的位置，即粒子到可行解區域F的距離能有效地引導粒子飛向解的可行域F以及在兩個粒子進行比較時帶來更多的決策信息。以上對約束處理的方法本質是使算法更傾向于在解的可行域范圍內搜索。

3 高強混凝土配比優化模型

在工程上，根據實際情況對高強混凝土配合比進行優化設計過程中，根據不同的實際需要來選擇相應的優化目標能從最大的程度上滿足工程的要求。論文主要考慮在滿足混凝土各項性能的情況下，使混凝土的制造成本最低。

3.1 目標函數

混凝土主要由6 種材料組成：水泥、水、砂、石、超細粉摻合料以及外加劑。分別用表示各種組分的用量，用表示各組分對應的價格，因而該混凝土材料費用可以通過下式進行計算：

式即為需要優化的目標函數。保持各組分的單價不變，計算既滿足混凝土強度設計要求，又能使費用最低的材料用量。

3.2 約束條件

高性能混凝土配比設計是一個復雜的過程，并沒有統一的規范。選擇合適的原材料，優化配比參數，或是根據合理的性能——配比參數關系模型，有目的地進行少量的試配，然后由試配結果使關系模型中的參數具體化，便是高性能混凝土配比設計的合理途徑[4]。在實際工程中，混凝土的塌落度、強度以及各項性能等都是混凝土配比設計需要參考的指標。

3.2.1 混凝土材料用量約束

一般情況下，在設計高性能混凝土配合比時應遵循如下基本規定：

①礦物摻和料摻量不宜小于膠凝材料總量的20%，不宜大于40%。

②C30 及以下混凝土的膠凝材料總量不宜高于400kg/m3，C35-C40 混凝土不宜高于450kg/m3，C50 及以上混凝土不宜高于500kg/m3。

③配制高性能混凝土要使用強度等級為42.5 以上的硅酸鹽水泥，細度合適、與所用高效減水劑相容性好[4]。

④使用一級或者二級優質粉煤灰，摻量一般為水泥用量的15%～30%。

⑤膠凝材料用量為300～500kg/m3。

⑥石子的最大粒徑宜≤25mm。

⑦砂子采用中砂，細度模數一般為2.8～3.0，砂率為36%～40%。

⑧坍落度≥180mm 時，應通過高效減水劑來控制，摻量一般為水泥用量的0.8%～1.4%[4]。

⑨水膠比一般為0.25～0.40。

3.2.2 高強混凝土強度約束

工程上，混凝土的試配強度可以用以下兩個式子進行估算：

將方程、聯立可得：

可以看出式將強度用水膠比來表示，則滿足強度要求時：

3.2.3 材料總體積約束

由于是計算1m3混凝土的各組分用量，所有組分的總體積不會發生改變：

3.3 約束條件關系轉化

綜合上述所有約束條件，并將其表示為變量之間的關系列于下表。

表1 約束條件匯總

4 工程實例

以鄭西鐵路客運專線渭南渭河特大橋工程為例，該工程要求混凝土強度等級高于C60，工程用水為潔凈井水。該工程混凝土所需原料水泥為普通硅酸鹽PO42.5 低堿水泥；礦物摻合料采用陜西華西電力科技環保有限公司粉煤灰；粗骨料采用5～31.5mm 連續級配碎石；細骨料采用細度模數為2.3～3.0m m 的中砂，含泥量小于2.0%；外加劑采用山西黃騰化工有限公司聚羧酸高效減水劑。

該工程選用的混凝土基準配合比為：水泥228kg、水152kg、砂804kg、碎石1066kg、粉煤灰152kg、外加劑4.94kg。接下來通過粒子群算法對該工程的高強混凝土配比進行優化。根據以往高強混凝土配比設計的經驗，表2列出高強混凝土組成的用量范圍、密度以及目前市面上每種材料的價格。

表2 混凝土原料配比取值范圍

設置粒子種群數為100，最大的迭代次數10000，最大停滯迭代數60. 將程序運行20 次，其計算得到的混凝土成本最低為194 元，將這20 次計算結果數據進行統計，算得標準差為0.5026，說明該算法的穩定性較高。圖2為優化前后配合比參數和性能。從圖2可以看出，與優化前相比，在經過優化后，混凝土材料成本降低了 6.41%，在滿足混凝土的坍落度和強度要求的同時，其適應度從原先的210.1 降低為196.2，說明優化后的配比與原先相比更加合理。

圖2 優化前后混凝土配合比對比

5 結語

論文主要研究了非線性規劃的粒子群算法在高強混凝土配比優化設計方面的應用。以制造成本為目標函數，以滿足高強混凝土的各項性能指標為約束條件建立高強混凝土配比優化模型。采用一種改進的粒子群算法對非線性規劃的優化問題進行求解，在原適應度函數的基礎上添加罰函數的方法對約束條件進行轉化而達到求解目的。優化后的混凝土制造成本為194 元，與優化前相比降低了6.41%，標準差為0.5026，算法的穩定性較高。優化結果表明，在滿足混凝土的坍落度、強度以及各種性能的條件下，該優化設計可降低混凝土制造成本，具有較好的工程應用前景。說明了粒子群算法在混凝土配合比優化設計中應用的可行性，尤其可以對沒有經驗積累時的混凝土配比設計提供較大參考價值。粒子群算法在混凝土配合比的優化設計中還有很大的發展潛力，在未來的研究中將會有很大的應用前景。