如何正確運(yùn)用χ2檢驗(yàn)——χ2分布及相關(guān)內(nèi)容

胡純嚴(yán) ，胡良平 ，2*

（1.軍事科學(xué)院研究生院，北京 100850；2.世界中醫(yī)藥學(xué)會(huì)聯(lián)合會(huì)臨床科研統(tǒng)計(jì)學(xué)專(zhuān)業(yè)委員會(huì)，北京 100029*通信作者：胡良平，E-mail：lphu927@163.com）

在臨床資料中，定性資料（特指結(jié)果變量及其取值）［1-6］出現(xiàn)的頻率高。分析定性資料的統(tǒng)計(jì)分析方法主要有“差異性分析（通常適用于原因變量的個(gè)數(shù)≤2）［1-3］”和“l(fā)ogistic回歸分析（通常被用于原因變量的個(gè)數(shù)＞2）［4-6］”兩大類(lèi)。在前述提及的兩類(lèi)統(tǒng)計(jì)分析方法中，“χ2檢驗(yàn)”都是不可或缺的。

在經(jīng)典統(tǒng)計(jì)學(xué)和貝葉斯統(tǒng)計(jì)學(xué)中，“概率分布”是統(tǒng)計(jì)分析的重要基礎(chǔ)［7-11］，若離開(kāi)了它，假設(shè)檢驗(yàn)、區(qū)間估計(jì)、回歸分析、判別分析和多元分析幾乎無(wú)法進(jìn)行。由數(shù)理統(tǒng)計(jì)知識(shí)可知，一旦掌握了某個(gè)隨機(jī)變量的概率分布，就等于掌握了其變化規(guī)律。概率分布的種類(lèi)很多，通常可以分為兩大類(lèi)，即“離散型隨機(jī)變量的概率分布”和“連續(xù)型隨機(jī)變量的概率分布”。本文介紹的χ2分布是在統(tǒng)計(jì)分析中被廣泛使用的一個(gè)連續(xù)型隨機(jī)變量的概率分布，它具有兩種表現(xiàn)形式，即“χ2分布”和“非中心χ2分布”［10-11］。本文對(duì)χ2檢驗(yàn)的基礎(chǔ)知識(shí)，即“χ2分布及相關(guān)內(nèi)容”進(jìn)行介紹。

1 χ2分布

1.1 χ2分布的歷史

χ2分布是從正態(tài)分布派生出來(lái)的一個(gè)連續(xù)型概率分布。盡管如此，由于許多分布可以用χ2分布來(lái)近似，甚至在多元統(tǒng)計(jì)分析中也常用到它，故χ2分布在數(shù)理統(tǒng)計(jì)中一直占有重要地位［11］。

χ2分布分別由 I.J.Bienayme（1858）、F.R.Helmert（1876）和K.Pearson（1900）發(fā)現(xiàn)，開(kāi)始主要用于列聯(lián)表資料的“獨(dú)立性”分析和“評(píng)價(jià)回歸模型對(duì)資料擬合效果好壞”的擬合優(yōu)度檢驗(yàn)［12］；在定性資料回歸模型的構(gòu)建過(guò)程中，χ2分布常用于篩選自變量［13］；在廣義線性回歸模型和混合效應(yīng)回歸模型的構(gòu)建中，χ2分布常用于兩個(gè)回歸模型對(duì)同一個(gè)資料擬合效果的比較［13］。

1.1.1χ2分布的定義

設(shè)隨機(jī)變量Y1，Y2，…，Yn獨(dú)立同分布，且Yi～N（0，1），則隨機(jī)變量的分布稱(chēng)為具有n個(gè)自由度的χ2分布，并記為。見(jiàn)式（1）：

1.1.2χ2分布的概率密度函數(shù)及其圖形

χ2分布概率密度函數(shù)的圖形見(jiàn)下圖：

1.1.3χ2分布的性質(zhì)

1.1.3.1χ2分布的極限分布為正態(tài)分布

由圖1可看出如下特點(diǎn)：①自由度n越大，曲線越趨于對(duì)稱(chēng)；②當(dāng)自由度n→∞時(shí)，χ2分布趨向于正態(tài)分布。

圖1 具有幾種不同自由度的χ2分布概率密度函數(shù)的圖形

1.1.3.2χ2分布的期望和方差

式（4）的“E”代表“期望（通俗的表述為‘均值’）”；“Vɑr”代表“方差”。

1.1.3.3χ2分布具有可加性

1.2 非中心χ2分布

1.2.1 非中心χ2分布的定義

設(shè)隨機(jī)變量Y1，Y2，…，Yn相互獨(dú)立，且Yi～N（μi，1），則隨機(jī)變量的分布稱(chēng)為具有n個(gè)自由度且非中心參數(shù)為的χ2分布，并記為見(jiàn)式（6）：

在上式中，當(dāng)δ=0時(shí)，非中心χ2分布就退化成為前面定義的χ2分布χ2n。

【說(shuō)明】因篇幅所限，該分布的性質(zhì)從略。

2 χ2分布與正態(tài)分布之間的關(guān)系

χ2分布是從正態(tài)分布派生出來(lái)的一個(gè)分布；χ2分布的極限分布為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布［7，11］。用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表述如下：

若Xn～，n=1，2，…，則當(dāng)n→∞時(shí)，有下面的關(guān)系式成立：

另一方面，由來(lái)自正態(tài)分布的均值與離均差平方和或方差可構(gòu)造出服從χ2分布的隨機(jī)變量。事實(shí)上，若X1，X2，…，Xn（n≥2）是從總體N(μ，σ2)中抽出的樣本，令：

3 χ2檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量與Z檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量之間的關(guān)系

由本文式（1）定義的χ2分布可知，它是由n個(gè)互相獨(dú)立且都服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的隨機(jī)變量的平方之和構(gòu)成的，故當(dāng)其自由度為1時(shí)，χ2檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的平方根就是Z檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量（說(shuō)明：在SAS軟件和部分統(tǒng)計(jì)學(xué)教科書(shū)中，通常用Z表示服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的隨機(jī)變量或檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量）。

4 χ2分布的計(jì)算

4.1 χ2分布曲線下累計(jì)概率的計(jì)算

在SAS軟件中，χ2分布的分布函數(shù)為：

probchi（x，df，nc）

該函數(shù)計(jì)算服從自由度為df，非中心參數(shù)為nc的χ2分布的隨機(jī)變量小于給定x的事件的概率。如果nc沒(méi)有規(guī)定或取為0，那么被計(jì)算的就是中心χ2分布曲線下累計(jì)概率。

【例1】試計(jì)算自由度為5，中心χ2分布曲線下χ2值小于20的概率值。

【分析與解答】所需要的SAS程序如下：

以上結(jié)果表明，當(dāng)χ2=20、自由度df=5、非中心參數(shù)nc=0的條件下，χ2分布曲線下且位于橫坐標(biāo)軸上“0～20”區(qū)間內(nèi)的累計(jì)概率為0.99875。

4.2 χ2分布曲線下橫坐標(biāo)軸上P分位數(shù)的計(jì)算

在SAS軟件中，χ2分布的分位數(shù)函數(shù)為：

cinv（P，df，nc）（0≤P≤1，df＞0，nc≥0）

該函數(shù)計(jì)算自由度為df，非中心參數(shù)為nc的χ2分布的P分位數(shù)。取nc=0或不規(guī)定此項(xiàng)參數(shù)時(shí)，表明是中心χ2分布。

【例2】試計(jì)算自由度為3，非中心參數(shù)為4.5的χ2分布的P=0.95的分位數(shù)。

【分析與解答】所需要的SAS程序如下：

以上結(jié)果表明，當(dāng)累計(jì)概率P=0.95、自由度df=3、非中心參數(shù)nc=4.5的條件下，χ2分布曲線下橫坐標(biāo)軸上的分位數(shù)x=16.8463（注意：這里的“x”是一個(gè)服從自由度df=3、非中心參數(shù)nc=4.5的χ2分布的隨機(jī)變量）。

【例3】試基于SAS函數(shù)“cinv（P，df，nc）”產(chǎn)生χ2分布臨界值表。

【分析與解答】在很多統(tǒng)計(jì)學(xué)教科書(shū)的附錄中，一般都會(huì)給出常用統(tǒng)計(jì)用表，其中，χ2分布臨界值表可以利用SAS函數(shù)“cinv（P，df，nc）”且令nc=0計(jì)算出來(lái)?，F(xiàn)給出所需要的SAS程序如下：

【程序說(shuō)明】“D O d=1 T O 4 0，5 0，6 0，7 0，8 0，9 0，100”語(yǔ)句表明，自由度df的取值為1、2、…、39、40、50、60、70、80、90、100，共46種取值，即產(chǎn)生的χ2分布臨界值表有 46 行；“alpha=0.995，0.990，0.975，0.950，0.900，0.750，0.500，0.250，0.100，0.050，0.025，0.010，0.005；p=1-alpha；”兩個(gè)語(yǔ)句表明，χ2分布曲線下右側(cè)尾端概率分別為0.995、0.990、…、0.005，共13種取值。也就是說(shuō)，以上SAS程序共計(jì)算出46×13=498個(gè)χ2分布臨界值（本質(zhì)上就是χ2分布曲線下橫坐標(biāo)上的“分位數(shù)”的數(shù)值）。

【說(shuō)明】因輸出的數(shù)據(jù)較多，此處從略。

5 討論與小結(jié)

5.1 討論

χ2分布是一種連續(xù)型隨機(jī)變量的概率分布，然而，它不同于其他連續(xù)型隨機(jī)變量的概率分布（如“正態(tài)分布”等）。因研究者應(yīng)用統(tǒng)計(jì)學(xué)的過(guò)程中，諸如“正態(tài)分布”“t分布”和“F分布”的連續(xù)型概率分布常作為“Z檢驗(yàn)”“t檢驗(yàn)”和“方差分析（或稱(chēng)F檢驗(yàn)）”的理論依據(jù)，直接應(yīng)用于定量資料的差異性分析；而χ2分布作為“χ2檢驗(yàn)”的理論依據(jù)，一般只應(yīng)用于定性資料的差異性分析（如各種列聯(lián)表資料的差異性分析）、不同統(tǒng)計(jì)模型對(duì)同一個(gè)統(tǒng)計(jì)資料擬合優(yōu)度的比較等場(chǎng)合。但也有例外，即χ2檢驗(yàn)可應(yīng)用于單因素多水平設(shè)計(jì)一元定量資料多個(gè)方差的齊性檢驗(yàn)之中。χ2分布和χ2檢驗(yàn)之所以可以應(yīng)用于前述提及的各種場(chǎng)合，因?yàn)樵谀切﹫?chǎng)合下所構(gòu)造出的“檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量”服從χ2分布。

5.2 小結(jié)

本文針對(duì)處理定性資料所需要的χ2檢驗(yàn)，介紹了與其有關(guān)的理論基礎(chǔ)，即χ2分布和非中心χ2分布。重點(diǎn)展示了χ2分布的定義、概率密度函數(shù)的圖形和主要性質(zhì)；基于SAS軟件中的兩個(gè)SAS函數(shù)呈現(xiàn)了χ2分布的計(jì)算方法（包括累計(jì)概率的計(jì)算和分位數(shù)的計(jì)算）和結(jié)果解釋。

科研方法專(zhuān)題策劃人——胡良平教授簡(jiǎn)介

胡良平，男，1955年8月出生，教授，博士生導(dǎo)師，曾任軍事醫(yī)學(xué)科學(xué)院研究生部醫(yī)學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)教研室主任和生物醫(yī)學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)咨詢(xún)中心主任、國(guó)際一般系統(tǒng)論研究會(huì)中國(guó)分會(huì)概率統(tǒng)計(jì)系統(tǒng)專(zhuān)業(yè)理事會(huì)常務(wù)理事、中國(guó)生物醫(yī)學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)會(huì)副會(huì)長(zhǎng)、北京大學(xué)口腔醫(yī)學(xué)院客座教授和《中華醫(yī)學(xué)雜志》等10余種雜志編委；現(xiàn)任世界中醫(yī)藥學(xué)會(huì)聯(lián)合會(huì)臨床科研統(tǒng)計(jì)學(xué)專(zhuān)業(yè)委員會(huì)會(huì)長(zhǎng)、國(guó)家食品藥品監(jiān)督管理局評(píng)審專(zhuān)家和3種醫(yī)學(xué)雜志編委；主編統(tǒng)計(jì)學(xué)專(zhuān)著48部、參編統(tǒng)計(jì)學(xué)專(zhuān)著10部；發(fā)表第一作者和通信作者學(xué)術(shù)論文300余篇、發(fā)表合作論文130余篇；獲軍隊(duì)科技成果和省部級(jí)科技成果多項(xiàng)；參加并完成三項(xiàng)國(guó)家標(biāo)準(zhǔn)的撰寫(xiě)工作、參加三項(xiàng)國(guó)家科技重大專(zhuān)項(xiàng)課題研究工作。在從事統(tǒng)計(jì)學(xué)工作的30年中，為幾千名研究生、醫(yī)學(xué)科研人員、臨床醫(yī)生和雜志編輯講授生物醫(yī)學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)，在全國(guó)各地作統(tǒng)計(jì)學(xué)學(xué)術(shù)報(bào)告100余場(chǎng)，舉辦數(shù)十期全國(guó)統(tǒng)計(jì)學(xué)培訓(xùn)班，培養(yǎng)20多名統(tǒng)計(jì)學(xué)專(zhuān)業(yè)碩士和博士研究生。近幾年來(lái)，參加國(guó)家級(jí)新藥和醫(yī)療器械項(xiàng)目評(píng)審數(shù)十項(xiàng)、參加100多項(xiàng)全軍重大重點(diǎn)課題的統(tǒng)計(jì)學(xué)檢查工作。歸納并提煉出有利于透過(guò)現(xiàn)象看本質(zhì)的“八性”和“八思維”的統(tǒng)計(jì)學(xué)思想，獨(dú)創(chuàng)了逆向統(tǒng)計(jì)學(xué)教學(xué)法和三型理論。擅長(zhǎng)于科研課題的研究設(shè)計(jì)、復(fù)雜科研資料的統(tǒng)計(jì)分析和SAS與R軟件實(shí)現(xiàn)、各種層次的統(tǒng)計(jì)學(xué)教學(xué)培訓(xùn)和咨詢(xún)工作。