可實現以期望角度過頂迂回打擊的制導律設計*

吳錕，陳東生，金岳

(北京航天飛騰裝備技術有限責任公司，北京 100094)

0 引言

在現代戰爭中，對于武器裝備的要求越來越高，針對戰場的主要作戰武器導彈而言，僅有脫靶量的要求已經不能夠滿足戰爭的要求，對于坦克等具有較強防御能力的地面目標，對其實施攻頂能夠提高毀傷效率，對于地面指揮控制中心等，采用落角大于70°的侵徹戰斗部才能發揮更好的侵徹效果[1]。針對某些特殊位置的目標，比如地面反斜面固定目標，甚至需要繞到斜面后方對其進行打擊。帶有角度約束的制導律最早由Kim和Grider[2]提出，此后，國內外學者針對帶有角度約束的制導律進行了許多研究。

基于幾何的方法是通過導彈和目標的運動軌跡的幾何特性來進行制導律設計，包括圓弧制導律(circular navigation guidance law,CNGL)[11-12]和內角制導律[13]等。文獻[14]指出，圓弧制導律在初始方位角和最終速度方向角相差較大時，導致軌跡較長，所需能量較大，并且在初始方向角誤差較大時會造成制導指令飽和的問題。當采用2段圓弧進行制導律設計時，圓弧制導律的性能得到較為明顯的改善。文獻[15]指出，基于雙圓弧原理的制導律相對偏置比例導引律的法向過載較小。與最優制導律相比，雙圓弧制導律無需實時估計彈目距離。基于雙圓弧原理的制導律結構簡單，在工程上更容易實現。

盡管在之前的文獻中存在許多終端角度約束的制導律，但是大多依賴于剩余飛行時間估計或者角度約束的范圍較小。本文基于雙圓弧曲線擬合的平行弦線法，采用“C”型2段圓弧模擬導彈的運動軌跡，針對地面目標進行特定角度的打擊。在之前的關于雙圓弧制導律的設計中，大多是假設2段圓弧半徑相等或者導引到方向線上。本文所設計導引律的軌跡通過雙圓弧擬合的平行弦線法進行確定，將導彈直接引導至目標點而非方向線上，在飛行過程中不需要估計剩余飛行時間，擴大了傳統角度約束的范圍，能夠實現過頂迂回打擊。相對于偏置比例導引律，末端過載峰值較小，控制能量較小。

1 運動模型和問題描述

考慮導彈在縱向平面內的運動，假設導彈速度大小不變，目標為固定地面目標。導彈和目標的相對運動如圖1所示。

圖1 彈-目相對運動示意圖Fig.1 Sketch map of the missile and target relative motion

圖中vm為導彈速度，am為導彈加速度，θm為彈道傾角，規定逆時針為正。則導彈和目標的相對運動方程為

(1)

帶有角度約束的制導問題，指的是導彈在末制導的最后時刻，不僅脫靶量為0，并且導彈打擊目標的角度滿足期望角度，其數學形式的表達為

(2)

式中：tf為導彈的命中時刻;θd為期望命中角度。當采用偏置比例導引法解決此類問題時，在彈道末端過載會較大，并且變化不均勻。圓周運動的軌跡簡單，并且在運動過程中，加速度大小穩定，在理想的條件下加速度不會出現大幅變化。此外，由于圓弧軌跡的切線能夠滿足任意角度，將其作為導彈運動的彈道，很容易就能夠滿足末端的角度約束，相對傳統的角度約束制導律，能夠滿足的角度范圍更大。

2 雙圓弧擬合原理

雙圓弧原理最早在20世紀70年代被應用在工程設計中，近些年在機器人和航空航天等領域得到了廣泛的應用，不失一般性，選取2段圓弧曲線都在起點和終點連線的同一側，其示意圖如圖2所示。采用雙圓弧方法來擬合導彈的彈道，需要對雙圓弧的相關參數進行求解，在雙圓弧軌跡中，需要確定6個參數，分別是雙圓弧的起點和終點，起點處和終點處的切線方向以及2段圓弧連接點的位置和公切線的斜率。

圖2 平行弦線法雙圓弧曲線擬合示意圖Fig.2 Sketch map of the double arcs curve fitting in parallel subtense method

導彈在初始時刻的速度方向和命中時刻的速度方向都是已知的，因此在雙圓弧的起點和終點位置及其切線方向都已知的情況下，只需要求解的2段圓弧連接點(公切點)位置和公切線的斜率。通常確定公切線的方法包括垂直平分線法、平行弦線法和平均轉角法。由于導彈和目標的位置已知，因此本文采取平行弦線法來對雙圓弧曲線進行求解。

(3)

為了保證曲線的正確擬合，圓弧軌跡需要滿足以下2個條件：

(1) 2段圓弧應該滿足保凸要求，即在起點P1和終點P2處的切線要求實交點，在此約束下，要求αβ<0。

(2) 2段圓弧都是劣弧，即由起點P1、終點P2和實交點M構成的三角形中|α|+|β|<π。

至此，雙圓弧曲線被唯一確定。

3 制導律設計

基于雙圓弧的制導律設計的基礎是導彈的圓周運動，在縱向平面內，導彈的加速度指令方向始終和速度方向垂直，并且在同一段圓弧內，加速度大小恒定，也即：

(4)

根據式(3)可以求得

(5)

式中：r0為初始時刻彈目相對距離。

將式(5)代入式(4)得到基于雙圓弧原理的加速度指令為

(6)

式(6)表示的加速度指令只與導彈和目標初始位置確定的參數有關，不需要實時解算導彈飛行過程中的彈目距離等參數。圖3是以圖2為基礎，以目標為中心逆時針旋轉了初始彈目視線角得到的。采用平行弦線法確定雙圓弧軌跡時，雙圓弧曲線的確定是以彈目連線為基準的，因此導彈實際在命中目標時的攻擊角度 |θf|=|β|+|ε|。 根據雙圓弧軌跡需要滿足的第2個條件可以看到，此時的攻擊角度約束的范圍相對于傳統的角度約束范圍更大，采用這種雙圓弧曲線軌跡設計的制導律，理論上可以擴大末端角度約束的范圍，實現對目標的過頂迂回打擊。

圖3 導彈運動軌跡示意圖Fig.3 Sketch map of missile track

4 仿真校驗與分析

4.1 制導方案可行性驗證

為了滿足不同的戰斗場景和需求，假設期望的攻擊角度分別為60°，90°和120°，3種場景下初始時刻導彈和目標的參數相同。仿真的基本參數如表1所示。

表1 仿真基本參數Table 1 Basic parameters of simulation

仿真結果如圖4所示，從仿真曲線可以看出，導彈在以60°，90°，120°對目標進行打擊時，均能命中目標。對應的脫靶量分別為0.264 5 m，0.289 1 m和0.096 9 m，落角誤差分別為0.001 3°,0.001 1°和0.005 2°，脫靶量較小，能夠滿足精度要求，同時角度控制精度也較高。因此，從角度約束的打擊要求來看，所設計的制導律能夠滿足精度要求，所設計方案可行。

圖4 雙圓弧制導方案的仿真曲線Fig.4 Simulation curves of the double arcs guidance law

考慮到在實際戰場上，很難準確獲取目標的位置，因此在仿真中，在目標的位置信息中分別加入高斯白噪聲和有色噪聲，采用蒙特卡羅仿真方法，進行100次打擊，得到的脫靶量和落角誤差的仿真結果分別如圖5a)和圖5b)所示。從圖中結果可以看到，導彈在末端的脫靶量較小，仿真結果的均值小于1 m，考慮導彈的體積，可以認為導彈直接命中了目標；角度精度非常高，落角誤差仿真結果均值為10-3量級，可以按照期望的角度精確打擊。因此該制導律在實際戰場上具有一定的工程價值，具備以期望角度打擊地面固定目標的能力。

圖5 100次蒙特卡羅仿真結果Fig.5 Results of 100 Mento Carlo simulation

4.2 性能對比仿真

從圖6a)的軌跡對比曲線可以看到，在約束角度為90°時，偏置比例導引律和本文設計的制導方案都能夠滿足一定的精度要求和角度約束。偏置比例導引律命中時間為24.094 s，雙圓弧制導律飛行時間更短，只需要22.403 s，并且本文設計的雙圓弧制導律的軌跡更加平滑。從過載曲線可以看到，本文設計的制導律的過載相對偏置比例導引律峰值更小，只在2段圓弧的連接點發生了變化。從控制能量來說，本文方案的控制能量相對偏置比例導引律有較為明顯的減小。這對于工程中的低成本要求具有重要價值。

從圖6b)可以看到，在末端約束角度為120°時，本文設計的制導方案仍能滿足角度約束并精確命中目標，而偏置比例導引律無法以期望的角度命中目標，并且在末端過載變得很大且抖動。在這種情況下，偏置比例導引律失效。

圖6 BPNG和本文制導律性能對比Fig.6 Performance comparison of BPNG and the double arcs guidance law

為了進一步對比所設計方案和BPNG的性能，將目標設置為緩慢移動，速度為30 m/s，對比仿真結果如圖7所示。從結果來看，當目標移動時，偏置比例導引律仍能以期望的角度來命中目標，而本文設計的雙圓弧制導方案無法以期望角度命中目標，并且在彈道末端出現了發散現象。這也是本文設計方案的不足之處，在后續研究中可以繼續進行改進。

圖7 目標緩慢移動BPNG和BCNG性能對比Fig.7 Performance comparison of BPNG and BCNG when target with small velocity

5 結束語

本文通過雙圓弧曲線擬合的原理，基于圓弧曲線的幾何特性設置了一種雙圓弧制導律。并將其性能和傳統的偏置比例導引律進行了對比。針對固定的地面目標進行打擊時，從彈道來看，雙圓弧制導方案曲線軌跡更加平滑，飛行時間也相對偏置比例導引律有所改善；從角度約束范圍來說，該制導律的可用角度約束范圍更大，最大約束范圍超過了90°，這表明通過該制導方案可以滿足大角度的侵徹任務和過頂迂回打擊的任務，針對地下目標以及反斜面固定目標具有良好打擊效果，在執行某些特殊任務時有較大價值；從過載來看，該制導方案的整個彈道過載都比較小，尤其是在接近目標的末段，這也使得整個控制過程消耗的能量小于偏置比例導引律，除了圓弧連接點處，過載都是恒定值，這也能在一定程度提高控制精度。但是，在針對地面慢移動目標進行打擊時，本文的制導方案則失去了角度約束的能力，并且在彈道末端出現了過載發散的現象，因此，本方案并不具備打擊移動目標的能力。

本文的制導方案能夠實現對固定目標的全方位打擊，滿足的角度約束范圍大，但是不足在于，該方案屬于離線制導方案，會存在誤差累積的問題，不具備打擊移動目標的能力，應用的場景相對較為局限。這些存在的問題和值得繼續研究的內容為后續的研究提供了方向和指導。