線性二次型及模型預測控制編隊控制研究*

武梅麗文，王曉東，宋勛，陳燕飛

(1.北京電子工程總體研究所，北京 100854;2.空軍裝備部駐北京地區(qū)第一軍事代表室,北京 100854)

0 引言

隨著時代的推進，戰(zhàn)爭的形式在逐漸轉變，作戰(zhàn)理念從“空海地一體戰(zhàn)”、“拒止戰(zhàn)”發(fā)展到“分布式作戰(zhàn)”、“馬賽克戰(zhàn)”等，對抗的矛頭逐步從裝備較量、技能較量轉向智能較量，未來戰(zhàn)場變得愈發(fā)復雜。面對高度對抗、高度不確定的戰(zhàn)場環(huán)境，集群作戰(zhàn)理念應運而生。集群作戰(zhàn)旨在弱化高水平單平臺的裝備實力，強調(diào)小型大量單一功能平臺的力量匯聚，注重發(fā)展體系戰(zhàn)作戰(zhàn)概念。無人集群系統(tǒng)可包含無人機集群、無人車集群及他們的異構重組，若考慮更大空間尺度上的應用，還涉及協(xié)同導彈彈群等等。除應對集群作戰(zhàn)場景，無人集群編隊還可應用于森林防火救援、城市物流、環(huán)境監(jiān)測、攝影攝像等諸多民用領域，具有廣闊的應用前景。編隊控制作為無人集群應用技術的核心，有以下主要研究內(nèi)容，如編隊控制律設計、隊形設計、隊形保持、隊形切換、編隊避障等，構建出較為復雜的綜合研究網(wǎng)。

為了實現(xiàn)無人集群的編隊控制，考慮以下主要控制策略：一是跟隨領航者法，即在隊形中選取某一個智能體為領航者，而其他智能體跟隨領航者運動。將編隊轉化成領航/跟航策略，即可利用標準控制理論進行穩(wěn)定跟蹤誤差設計[1]；二是虛擬結構法，相比領航者法，虛擬結構法不需要設置真實的領航者，只需要設定虛擬參考編隊點來實現(xiàn)控制[2]。這種方法可以擺脫因領航者故障而帶來的編隊癱瘓問題。為了實現(xiàn)虛擬結構，除了利用點對點軌跡跟蹤方法以外，還可以引入相似一致性方法，保持隊形的穩(wěn)定，增強隊形抗干擾性。如文獻[3]，Ren等人利用相鄰節(jié)點信息構建相似一致編隊框架，在非時變的編隊問題中達到隊形快速收斂的效果。后Dong等人將相似一致性方法應用到多無人機時變編隊問題中，并在試驗中驗證了控制算法的高效性[4]；三是基于行為法，這種方法將控制邏輯提取為一系列行為的組合，其核心在于設計并選擇合適有效的基本行為序列，實現(xiàn)控制的最終目的。近些年借著交叉學科發(fā)展的契機，從生物界汲取靈感，探究例如“狼群”“蜂群”“魚群”的行為機制，發(fā)展基于群體智能的集群控制方法，已有很多理論積累[5-6]。

除了上層的編隊控制架構以外，為實現(xiàn)理想的運動軌跡，底層的編隊控制律設計也尤為重要。在工程應用中，常用的控制方法有PID、最優(yōu)控制線性二次型調(diào)節(jié)器(LQR)[7]及見長于軌跡跟蹤、障礙規(guī)避的模型預測控制(MPC)[8-10]等。編隊個體數(shù)量龐大，編隊控制優(yōu)化問題復雜，需要借助優(yōu)化控制的方法來減輕實現(xiàn)編隊隊形及軌跡的難度。因此本文聚焦于2種優(yōu)化控制方法，LQR和MPC的控制效果。LQR主要通過加權矩陣Q和R的選取來影響控制性能，如控制強度、收斂速度等。MPC則主要借助于未來窗口長度，對軌跡跟蹤的效果在未來幾步做綜合推演，以確定當前時刻控制量的大小。MPC可利用二次規(guī)劃(QP)等方法在線求解線性約束，獲得多約束條件下的優(yōu)化控制量，滿足無人平臺行進的物理限制[11-12]，應用于無人駕駛車輛軌跡跟蹤避障[13-15]、航天器交互對接中都表現(xiàn)出很好的控制效果。

本文基于相似一致性編隊算法，利用圓形編隊場景，對線性二次型控制及模型預測控制進行控制效果研究。智能體的編隊行進軌跡都可以拆解成直線和圓弧線兩種跟蹤模式，且任何曲線軌跡其實都可以近似由這兩種軌跡拼接組合，而智能體在圓形編隊場景中，隨著轉彎半徑的縮小，行駛速度的增大，對于軌跡跟蹤的效果往往不盡人意。因此本文選擇這兩種優(yōu)化算法對其在編隊轉彎中的應用進行對比分析，得出結論。

1 問題闡述

1.1 動力學模型

考慮N個無人機智能體編隊飛行，采用二維運動學模型，則每一智能體模型表示如下：

(1)

式中：x(t)為位置；v(t)為線速度；u(t)為控制量。

定義單智能體的狀態(tài)變量為xi(i∈IN)，控制變量為ui(i∈IN)，則

xi=(xix，vix，xiy,viy)T,

(2)

ui=(uix,uiy)T，

(3)

式中：下標x和y代表二維平面的2個坐標方向。

那么多智能體系統(tǒng)的狀態(tài)變量為

x=(x1,x2,…，xN)T.

(4)

控制變量為

u=(u1,u2,…,uN)T，i∈IN.

1.2 基于相似一致性的時變編隊控制

預先定義時變編隊構型H為

H=(h1，h2，…,hN)T,

(5)

式中：hi=(hiposition，hivelocity),i∈IN。

基于相似一致性編隊控制原理，有：

定義1：對多智能體系統(tǒng)(1)，在任意給定的有限初始狀態(tài)下，當

(6)

則稱(1)實現(xiàn)了時變編隊。

式(6)中c(t)代表編隊中心的狀態(tài)，編隊中心是時變的，若考慮統(tǒng)一編隊中心，則代表虛擬中心方法，若考慮相鄰點狀態(tài)量，則是利用相似一致性原則。基于相似一致性原理，推導定義1可得定義2。

定義2：對多智能體系統(tǒng)(1)，在任意給定的有限初始狀態(tài)下，當有

(7)

則稱(1)實現(xiàn)了時變編隊。

若分析圓形編隊構型，有

(8)

式中:Rc為軌跡半徑；Vc為編隊線速度。

2 編隊控制方法

2.1 LQR控制

首先分析單智能體動力學模型。定義模型為

(9)

(10)

根據(jù)LQR方法，定義代價函數(shù)JLQR為

(11)

式中:Q為反饋狀態(tài)變量的權重；R用于限制控制力強度。

獲取使代價函數(shù)最小的控制量u*為LQR的最優(yōu)控制結果。推導最優(yōu)控制反饋KLQR為

(12)

在最優(yōu)控制反饋KLQR的作用下，最優(yōu)控制量u*的解析表達式為

(13)

式中:P可由黎卡提方程求解：

(14)

LQR算法應用于單智能體系統(tǒng)的控制邏輯圖見圖1。

圖1 LQR算法邏輯圖Fig.1 LQR logic diagram

2.2 MPC控制

為了進行模型預測控制MPC的設計，首先要理解方法的原理。MPC和PID,LQR控制都屬于線性控制方法，運用線性化動力學模型進行計算。對比MPC和PID，兩者區(qū)別：一是MPC引入優(yōu)化方法，通過優(yōu)化算法獲取最優(yōu)控制量，而PID只是單步反饋，控制量是恒定的；二是，MPC考慮多步模型預測進行優(yōu)化控制，視野窗向前推進多步。其中第一方面，MPC運用優(yōu)化方法，就可以方便的引入多變量約束；第二方面多步優(yōu)化，能夠對未來有更好的預測，實現(xiàn)軌跡快速收斂或簡單避障。這些優(yōu)點可以減輕PID方法控制延遲、魯棒性低、易受干擾、單步反饋控制存在穩(wěn)態(tài)誤差等諸多弊端。而LQR方法雖然也是通過代價函數(shù)取優(yōu)的，但是對比MPC和LQR方法可發(fā)現(xiàn)，LQR的代價函數(shù)是由當下時間到時間無窮大的區(qū)間進行推導的，目的是確保控制最終結果的穩(wěn)定性，而不是針對控制過程的優(yōu)劣性進行設計；而MPC的優(yōu)化考慮的是每一個步運算向前推進幾步的窗口范圍內(nèi)的優(yōu)化結果，更加關注視野范圍內(nèi)的控制效果，對于過程的優(yōu)化效果更加顯著。

為了實現(xiàn)模型預測控制MPC，第一步需要定義單智能體的代價函數(shù)JMPC：

(15)

式中：Nu代表控制量的個數(shù)，對于本文單智能體動力學模型來說，Nu為2；p為未來窗口長度；NK為單智能體狀態(tài)變量個數(shù)；wi為加權函數(shù)。

為了在MPC優(yōu)化中加入對于控制力強度的約束，更新式(15)為

(16)

式中：λ為限制控制量變化率的算子。

為了求解JiMPC的最小值，應用二次規(guī)劃QP。QP求解器的形式為

(17)

MPC算法應用于單智能體系統(tǒng)的控制邏輯圖如圖2所示。

圖2 MPC算法邏輯圖Fig.2 MPC logic diagram

3 結果分析

基于上文介紹的2種編隊控制方法，設計圓形編隊軌跡半徑為10 m，編隊線速度為10 m/s，編隊個數(shù)為4，實現(xiàn)編隊仿真。編隊參考點在圓上均布排列，繞圓心旋轉。編隊控制的期望效果是4個無人機個體(或其他智能體)協(xié)同追蹤參考軌跡圓上的4個期望位置，實現(xiàn)最小位置偏差。計算時間間隔為0.01 s，MPC未來窗口長度為25步。

圖3 編隊控制算法側向誤差對比Fig.3 Comparison of lateral errors of formation control algorithms

圖4 LQR方法控制仿真結果Fig.4 LQR simulation results

圖5 MPC方法控制仿真結果Fig.5 MPC simulation results

4 結束語

本文選擇LQR和MPC兩種最優(yōu)控制方法，探究應用于圓形軌跡工況的編隊控制效果。基于相似一致性原則，搭建時變編隊控制模型，利用二階動力學模型，分析二維運動的編隊規(guī)律，得到以下結論：

(1) 相比LQR算法，MPC算法控制編隊更為穩(wěn)定，收斂迅速，側向控制誤差減少60%。

(2) 增加側向加速度補償之后，MPC方法側向控制誤差減少90% 以上，并保持原有編隊穩(wěn)定性。

考慮MPC方法的快速收斂性、穩(wěn)定性及其用于編隊控制中障礙規(guī)避的潛力，MPC有著廣闊的應用前景，值得在編隊試驗中進行更為深入的研究。