波動方程在半無窮柱體和外部區域上的空間爆破和衰減性

李遠飛,郭連紅,曾 鵬

(廣東財經大學華商學院 數據科學學院,廣州 511300)

1 引言與預備知識

考慮如下單波動方程：

(1)

(2)

函數h(ut)滿足

h(ut)ut≥0.

(3)

本文將函數ρ分為以下兩種情形討論：

目前,關于偏微分方程解的衰減性研究已得到廣泛關注[4-8]. 通常首先假設在柱體的無限端解趨于零或者趨于一個瞬態層流的先驗假設,再利用能量估計的方法研究解空間的二擇性. 但這種先驗假設在實際應用中并不一定能得到充分滿足. 因此,人們提出了Phragmén-Lindel?f型二擇一研究,其不必假設方程組的解在無限端趨于零或趨于瞬態層流,而是證明調和函數隨與有限端距離的增大或者呈指數(多項式)增長或者呈指數(多項式)衰減. 該方面的研究目前已有許多成果[9-20],包括擬線性和非線性問題[3,9-10]、Stoke方程[11-12]、淺水波方程[13]以及線性方程[14-15]等. 文獻[16]將Phragmén-Lindel?f型二擇一研究推廣到了3種不同的無界區域上; 文獻[1]研究了一類偏微分方程在一個球體外部區域上的空間二擇性,證明了方程的解隨球體的半徑或者無限增長或者無限衰減,并通過設置參數證明了所得衰減率比文獻中已有的其他結果更快.

受上述研究啟發,本文首先在一個半無窮的柱體上考慮方程(1),其中方程的解在柱體的側面上滿足零邊界條件. 與文獻[3,12]不同,本文考慮ρ的兩種不同情形,在每種情形下分別證明解的衰減率更快. 其次,本文將在半無窮柱體上所得結果推廣到球體的外部區域上. 顯然,本文模型比文獻[1]的模型更復雜. 因此,文獻[1]的方法并不能直接應用到本文中. 最后,本文討論一類非線性彈性方程解的漸近性質.

2 柱體上的漸近性質

考慮方程(1)在半無窮柱體R上的漸近性質,這種區域是大多數研究者關注的情形[3,11]. 柱體R的母線平行于x3坐標軸,即

R={(x1,x2,x3)|(x1,x2)∈D,x3>0},

其中D是x1Ox2平面上的有界單連通區域,具有光滑的邊界?D. 令D(z)表示柱體R在x3=z處的截面,即

D(z)={(x1,x2,x3)|(x1,x2)∈D,x3=z>0}.

方程(1)的初邊值條件為

其中T是一個大于零的常數，g是一個大于零的已知函數.

下面討論在情形1)和情形2)下系統(1)-(4)-(5)-(6)的空間二擇性,即證明方程的解隨空間變量或者呈指數式增長或者呈指數式衰減. 解的指數式增長也稱為解的空間blow-up,即解隨空間變量趨近于無窮變得無界. 本文先定義一個能量表達式,然后利用微分不等式推出一個關于該能量表達式的一階微分不等式,從而得到解的二擇一結果. 計算：

(7)

其中0≤z0≤z,ω是一個大于零的任意常數. 若定義

(8)

則在式(7)中利用散度定理可得

其中式(9)利用了式(2)及

(10)

對式(9)求導,可得

(12)

2.1 情形1)下的漸近性質

利用情形1)的條件和算術幾何平均不等式,由式(12)可得

下面對式(13)分兩種情形進行分析.

情形① ?z0≥0,使得E(z0)≥0.

即

(14)

對式(14)從z0到z積分,可得

(15)

再結合式(9)和式(15),可得

情形② 對?z≥0,都有E(z)<0.

此時,由式(12)可得

即

(17)

對式(17)從0到z積分,可得

綜上可得：

定理1設函數ρ滿足情形1)及式(2)和式(3),則:

1) 如果存在z0≥0,使得E(z0,t)非負,則問題(1)-(4)-(5)-(6)不存在解;

2) 設u為問題(1)-(4)-(5)-(6)在一個半無窮柱體R上的解,如果對任意的z≥0,均有E(z,t)<0,則問題(1)-(4)-(5)-(6)的解u隨空間變量呈指數式衰減,且滿足式(18).

2.2 情形2)下的漸近性質

如果ρ滿足情形2)的條件,此時,重新計算可得

將式(19)代入式(12),可得

(20)

顯然,式(20)與式(13)類似. 因此,采取類似分析可得如下結果.

定理2設函數ρ滿足情形2)及式(2)和式(3). 則:

1) 如果存在z0≥0,使得E(z0,t)≥0,則問題(1)-(4)-(5)-(6)不存在解;

2) 設u為問題(1)-(4)-(5)-(6)在一個半無窮柱體R上的解,如果對任意的z≥0,均有E(z,t)<0,則問題(1)-(4)-(5)-(6)的解u隨空間變量呈指數式衰減. 即或者

成立,或者

成立.

3 球體外部區域上的漸近性

受文獻[1]啟發,下面考慮一個球體的外部區域,表示為

令B(r)是以r為半徑的球面,表示為

方程(1)的初邊值條件為

3.1 情形1)下的漸近性質

先建立一個能量表達式

(24)

其中x=(x1,x2,x3). 令r0為一個大于零的常數,滿足r>r0≥R0. 下面對E(r,t)從r0到r積分,利用散度定理、式(2),(3)及問題(1)-(22)-(23),可得

從而

再利用情形1)的條件、H?lder不等式和Young不等式,可得

類似2.1的分析,可得:

定理3設u為問題(1)-(22)-(23)在Ω上的解,其中函數ρ滿足情形1)且式(2)和式(3)成立. 如果?r0≥R0,使得E(r0,t)≥0,則

如果對?r≥R0,均有E(r,t)<0,則問題(1)-(22)-(23)的解u隨半徑呈指數式衰減,即

3.2 情形2)條件下的漸近性質

假設ρ滿足情形2)的條件. 此時,重新計算式(27)可得

對式(28)用類似2.2的分析,可得:

定理4設u為問題(1)-(4)-(5)-(6)在Ω上的解,其中函數ρ滿足情形2)及式(2)和式(3). 如果?r0≥R0,使得E(r0,t)≥0,則

如果對?r≥R0,均有E(r,t)<0,則問題(1)-(4)-(5)-(6)的解u隨半徑呈指數式衰減,即

注1注意到文獻[16]將柱體上的二擇一研究推廣到了二維錐形區域上,文獻[21-22]研究了三維錐形區域的情形,定義的無界區域為

Ωa={(x1,x2,x3)|(x1,x2)∈Dx3,x3>a>0},

其中D(x3)是一個有界的依賴于x3的單連通平面區域,且平行于坐標平面x1Ox2. 例如,

由于Ωa的橫截面與x3=z相關,而Poincaré不等式中的系數與界面D(x3)的面積和周長相關,所以文獻[16,21-22]根據界面柱體舒張的情形考慮了幾種無界區域,得到了解的空間二擇性. 由于本文并未使用Poincaré不等式,所以定理1～定理4對區域Ωa均成立.

4 非線性彈性系統

下面考慮非線性彈性系統:

(29)

其中a,b是非負函數且a∈C1,b∈L∞,f和h分別滿足式(2)和式(3),k0>0.g是可積函數且滿足

(30)

其中a∞=‖a(x)‖L∞.

文獻[23]證明了方程(29)在一個有界區域上解隨時間變量的一致衰減性; 文獻[24-25]研究了方程(29)的幾種特例,主要關注了解的適定性及關于時間變量的衰減性. 本文將上述結果推廣到半無窮柱體區域和球面外部區域上.

4.1 半無窮柱體上的漸近性

在區域R×[0,T]上考慮方程(29),方程(29)滿足初邊值條件(4)-(5)-(6). 首先定義輔助函數

利用散度定理和方程(29)-(4)-(5)-(6),可得

由式(32)可得

利用Young不等式和H?lder不等式,可得

將式(34)和式(35)代入式(33),再利用式(30)可得

或

利用式(36)、H?lder不等式和Young不等式,可得

(38)

將式(38)和式(39)代入式(31),可得

(40)

對式(40)進行分析,可得下列Phragmén-Lindel?f型二擇一定理:

定理5設u為問題(29)-(4)-(5)-(6)在R上的解,其中式(30)成立. 如果?z0≥0,使得E(z0,t)≥0,則

如果對?z≥0,均有E(z,t)<0,則問題(29)-(4)-(5)-(6)的解u隨空間變量呈指數式衰減,即成立

4.2 球體外部區域上的漸近性

假設方程(29)滿足初邊值條件(22)-(23). 首先,定義函數

類似4.1的計算,可得:

定理6設u為問題(29)-(22)-(23)在Ω上的解,其中式(30)成立. 如果?r0≥R0,使得E(r0,t)≥0,則

如果對?r≥R0,均有E(r,t)<0,則問題(29)-(22)-(23)的解u隨空間變量呈指數式衰減,即成立

注2由于定理1～定理6中的解增長或衰減率都包含參數ω,而ω是一個大于零的任意常數. 因此,只要取ω足夠大,則本文所得的衰減率比文獻[2,5-6,20]中的衰減率更快.

注3本文所研究的模型更一般,因此本文的結果可向更簡單的模型推廣. 例如,波動方程[25]

utt-Δu+b(x)h(ut)=0

和彈性波動方程[26]

注4在衰減的情形下,要使衰減估計有意義,還需推導-E(0,t),-G(0,t),-E(R0,t)和-G(R0,t)的上界. 參照文獻[7,14-15,18,20]中的全能量估計方法即可完成-E(0,t),-G(0,t)的上界估計.

5 -E(R0,t)和-G(R0,t)的上界估計

下面在衰減的情形下推導-E(R0,t)的上界. 由式(24)可得

(41)

對式(26)從R0到∞積分,可得

設輔助函數

其中σ是一個大于零的常數. 顯然S和u在x=R0上具有相同的邊界條件. 在式(41)中利用散度定理、方程(1)和初邊值條件(4)-(5)-(6),可得

利用H?lder不等式和Young不等式,可得

(44)

(45)

為控制式(43)的最后兩項,需對h(ut)和f(u)做進一步假設. 設

于是

(46)

(47)

將式(44)～(47)代入式(43),再利用式(42)可得

由式(48)可得

于是證明了-E(R0,t)可由已知數據項控制.

注5同理可完成-G(R0,t)的上界估計. 能量表達式的導數由式(36)和式(37)定義,所以對-G(R0,t)的上界估計稍繁瑣.

綜上所述,本文用能量估計的方法研究了單波動方程在一個半無窮柱體和球體外部區域上的二擇性. 通過設置一個大于零的參數,證明了本文取得的衰減或增長率比已有文獻中的結果更快.