培養轉化意識 提升數學素養

張道霞

[摘 ?要] 轉化既是重要的數學思想，也是學生必備的數學技能. 文章以類比、數形等常見轉化策略為例，闡述了轉化在揭示問題本質、優化解題策略、提升解題能力等方面的積極作用. 因此教學中教師要重視培養學生數學轉化意識和轉化能力，以此來提高其數學思維和數學素養.

[關鍵詞] 轉化;數學思維;數學素養

數學教學常強調解題能力的提升，但解題能力實為一種轉化能力，即將陌生難懂轉化為熟悉易懂，將抽象轉化為直觀，將順向思維轉化為逆向思維等，通過對問題的恰當轉化提升解題能力. 數學轉化的方法較多，筆者不一一列舉，本文選取了幾個常見的轉化方法進行剖析，以期引起同行的重視.

[?]類比轉化

類比是數學教學的常用手段，通過對屬性相近問題的類比，不僅可以讓學生發現知識點間的內在聯系，又可以發現其本質的區別，從而讓新知與舊知在碰撞中不斷沉淀和升華.

案例1：探究幾何概型計算公式

如圖1，AB是一條長3米的線段，線段AB上的5個等分點P，P，P，P，P將線段分成6等份，現從5點中任取一點，求其到頂點A和頂點B的距離不少于1米的概率.

為了激發學生探究的熱情，加快探究的速度，教師設計了如下問題情境：

師：請說出基本事件及其總數（問題簡單，很快有了答案）

生1：基本事件為取點，總數是5.

師：若記“選取的點到頂點A和頂點B的距離都不少于1米”為事件A，則滿足事件A的總數有多少個？

生2：有3個，即P，P，P.

師：誰能求出P（A）呢？

生3：P（A）=.

師：通過上面的問題，你能總結一下該概率模型有什么特點嗎？（同學們開始討論并進行總結和歸納）

生4：其基本事件是有限的，且每個事件發生的概率是相同的.

師：總結得很好，我們稱這樣的概率模型為古典概型.

師：如圖2，若是在AB上任取一點，那么會發生什么變化呢？

通過與上面問題相類比，學生發現雖然基本事件都為取點，并且發生的可能性是相等的，但滿足該事件的點卻有無限多個，因此該概率模型不再是古典概型.

師：若記“選取的點到頂點A和頂點B的距離都不少于1米”為事件B，若繼續用古典概型可以得出答案嗎？

生5：P（B）=事件B的個數÷基本事件的總數，但兩者都是無數個，故無法算出.

師：很好！參考圖1，你知道任取的點對應哪部分線段嗎？

生6：應該是線段PP.

師：如圖3，將P和P轉化為C，D，則C，D為線段AB的三等分點. 線段AB上的點為基本事件的總數，線段CD上的點為事件B的總數. 根據這個條件，是否可以將“無限”轉化為“有限”呢？

生7：是否可以將個數轉化為份數呢？

在猜想、嘗試、爭論下，學生將1份線段長度上的無數個點看為一個整體，進而得出P（B）=. 通過類比使學生的思路更清晰，對古典概型的成立條件有了更加深入的了解，同時對非古典概型的轉化也有效地提升了學生思維的變通性，因此，在數學教學中要讓學生多觀察、多聯想、多類比，進而讓學生獲得更好的數學體驗，提升學習信心.

[?]數形轉化

數中有形可以使數更加直觀，形中有數會使形更加具體，兩者相互依存，協同發展. 教師在教學中要引導學生通過觀察、挖掘等手段讓數與形完美融合，即通過數形轉化將未知轉化為符合學生認知的，與已有經驗匹配的數量關系，從而提升解題能力，活化思維.

案例2：已知a>0且a≠1，f（x）=x2-ax，當x∈（-1，1）時，均有f（x）<，求實數a的取值范圍.

題目給出后，大多數學生應用了直接代入法，即將f（x）=x2-ax代入條件f（x）<，得x2-ax<，但代入后，如何解呢？學生感覺無從下手，看來若本題單純從數的角度出發難以解決，因此需要另辟蹊徑. 形往往是數的最直觀表達方式，通過數形轉化往往會收獲到意外的驚喜，故學生嘗試從形的角度去思考問題，但不等式x2-ax<的左邊既有二次式又有指數式，這樣的圖形很難找出，思維再次受阻，需要進行轉化，如何才能將其轉化為熟悉的模型呢？教師留時間給學生進行分組探究，最終找到解決問題的方案.

生1：可以將原不等式x2-ax<進行變形，得x2-

師：非常好. 通過生1的轉化，將問題轉化為我們熟悉的，夠得著的模型了. 那么現在是否可以直接畫出圖形呢？

生2：根據不等式與函數的關系可知，在區間I上，若f（x）

師：很好，請大家畫出函數圖像. （教師引導學生進行分組繪制，接下來展示成果，如圖4）

圖像畫出后，學生根據圖像尋找解題信息，即若當01時，f（-1）

，1∪（1，2）.

數形轉化思想是數學的重要思想之一，本題從數出發，在求解碰壁后，用形的觀點來重新審視題目，通過對數的轉化和重組，將其轉化為學生熟悉的函數模型，進而將抽象、復雜的數量關系轉化為直觀、簡單的幾何圖形，從而找到了解決問題的方法. 在此過程中，充分地讓學生體驗了數形結合的優勢，讓學生在交流和溝通中學會了分析和探索，使學生真正地理解了轉化是為何而轉.

[?]辯證轉化

已知與未知、部分與整體、動與靜、具體與抽象等數學內容往往既對立又統一，其有明顯的界線，但又有密不可分的聯系，只有將其辯證統一才能順利解決問題，因此，當正面思維受阻時不妨換個角度，大膽地嘗試，打破原有思維的束縛，逆向而行，從反面的角度思考和解決問題，也許會出奇制勝.

案例3：已知3條拋物線的解析式如下：

①y=x2+2ax+a2-a+3;

②y=2x2-（4a-2）x+2a2-a;

③y=x2-（2a+1）x+a2+2.

若三條拋物線中至少有1條與x軸相交，求實數a的取值范圍.

若有1條與x軸相交則可以是①與x軸相交，或②，……①②③同時與x軸相交，所以共有7種可能，故若在此基礎上直接分類討論，其分類討論的過程將會特別復雜，很容易將思路帶入死胡同，顯然本題從正面入手很難求解. 教師通過引導，以期學生找到新的解決方案.

師：從“至少有1條”你可以解讀出什么信息呢？（反應快的學生已經有了答案）

生1：3條拋物線都與x軸不相交.

師：很好，轉化后7種方案變為1種，顯然這樣不僅可以提升解題效率，也可以提高解題正確率. 接下來如何求解呢？

生2：3條拋物線都與x軸不相交，則Δ<0，即：

（2a）2-4（a2-a+3）<0，

[-（4a-2）]2-4·2·（2a2-a）<0，

[-（2a+1）]2-4（a2+2）<0，解得

所以當a≤或a≥時至少有1條與x軸相交.

本題的難點就是將“至少有1條與x軸相交”轉化為“3條都與x軸不相交”，通過對立的辯證分析，不僅減少了解題步驟，也降低了求解的難度，使求解過程獲得了柳暗花明的效果.

[?]表征轉化

在解答同一問題時往往出現不同的解決方案，其主要原因就是同一個數學對象往往存在著不同的數學表征，因學生的認知結構不同，數學經驗不同，因此對信息的加工和反饋也往往不同，那么，為了找到最優的解決策略，拓展學生的視野，教師在教學時要善于利用表征轉化引導學生多角度觀察、多角度探究，進而將問題轉化為自己熟悉的、等價的問題，以此既可以提升解題能力，也可以培養思維的靈活性.

案例4：不等式ax2+bx-10<0的解集為{x

-2

題目解析：本題若順勢求解，則需要討論含參數a，b的二次不等式ax2+bx-10<0的解集，顯然此種方法很煩瑣，不易于控制，因此需要變換角度，轉換思路. 若將ax2+bx-10<0轉換為ax2+bx-10=0，則根據解集可知，-2和5就是方程的解，故可以將其從方程的角度重新定位思考，從而尋找最佳解題方案.

解題過程：根據不等式ax2+bx-10<0的解集為{x

-2

4a-2b-10=0，即求得a=1，b=-3. 部分學生也嘗試用根與系數的關系進行求解，兩種方法解題后所得答案相同.

數學知識點間往往存在著一定的邏輯性和關聯性，因此，教師要引導學生關注問題間的內在聯系，引導學生從整體和全局去看待問題，從而實現知識間的合理轉化與遷移，提升解題能力. 如本題就利用了不等式和方程間的內在聯系，由不等式的解集聯想到方程的根，即通過表征對已知進行加工，通過視角的轉化解決難題，優化解題策略.

總之，轉化是數學學習的重要特征，也是數學思想的重要組成部分，教師在教學中要注重引導和滲透，這樣既培養學生良好的思維習慣，又發展學生的數學思維，有利于提升學生的綜合能力.