整合教材彰顯自然 發展思維追求自覺

顏福進

[摘 ?要] 教材是為教學服務的，而不是用來束縛、限制教學的. 教師應當廣泛研讀，比較各種版本的教材，取長補短，合理地加以整合;從教學的實際出發靈活地使用教材，精心設計教學過程，使學生真正地深刻理解數學知識和方法的產生過程，不斷發展思維，提升數學素養.

[關鍵詞] 不同版本教材;整合;探究;優越有效;正切函數

隨著《普通高中數學課程標準（2017年版，2020年修訂）》《中國高考評價體系》和《中國高考評價體系說明》的發布，不同版本的新教材開始使用. 新教材是新課程實施的重要資源，教師作為新課程的實施者，對教材的理解影響著新課程改革的推進. 教師應當廣泛研讀，對不同版本的教材、新舊教材進行比較，取長補短，合理地整合運用，從實際出發靈活地、創造性地使用教材，讓課堂探究教學更加親切自然、更加優越有效. 本文就談談基于教材的比較對“正切函數的圖像與性質”的探究教學與思考.

[?] 教材的比較分析

“正切函數的圖像與性質”是繼學習正弦函數、余弦函數的圖像與性質后研究的又一個三角函數內容. 蘇教版新教材和舊教材相比沒有變化，都是采用遷移類比研究，即先根據已學的知識或經驗作出函數的圖像，再根據函數的圖像直觀地認識函數的性質，最后用代數的方法對觀察得出的性質嚴格證明或表述，意圖是“由圖識性”. 人教A版教材采取利用性質研究函數圖像的方法，先結合已學的正切函數的相關知識（誘導公式等），總結正切函數的部分性質（奇偶性、周期性等），再根據這些性質作出正切函數的圖像，然后根據函數的圖像完善正切函數的其他性質. 北師大版與蘇教版的處理方式一致，都是由圖像得性質，區別在于北師大版不是用正切線幾何描點，而是直接列表描點. 人教B版的處理方式與蘇教版完全不同，它是先由三角函數的定義、誘導公式、單位圓中正切線的變化得到正切函數的全部性質，然后根據性質直接列表描點畫出圖像，主要是“依性作圖”，這種處理方式不利于學生理解正切函數的圖像與正切的定義之間的內在聯系，不利于學生數學思維的發展.

通過比較不同版本的教材，覺得教學設計應考慮如下幾個問題：（1）正切函數的性質不都是由圖像得到的，如定義域、周期性等. 如果沒有定義域、周期性，那就不能畫出正切函數的圖像. 當然，可以借助技術（如媒體軟件的演示）得到圖像，但是動畫的演示無法使學生的思維深度參與，會使探究教學處于低效. （2）為什么想到先畫y=tanx在x∈

，的圖像，而不是先畫在x∈（0，π）或其他區間的圖像呢？不應預設好圈套讓學生鉆進去，而應當讓學生選擇，更加自然. （3）人教A版必修第一冊教材第209頁在本節開始時寫道：“根據研究正弦函數、余弦函數的經驗，你認為應如何研究正切函數的圖像與性質？”但接下來卻筆鋒一轉：“有了前而的知識準備，我們可以換一個的角度，即從正切函數的定義出發研究它的性質，再利用性質研究正切函數的圖像.”此處的過渡顯得莫名其妙而不自然，研究正弦函數、余弦函數的經驗究竟是什么呢？為什么要讓學生舍棄最近發展區而另起爐灶呢？

三角函數的圖像與性質是以必修一教材學習的“指數函數、對數函數、冪函數等”研究經驗為經驗，此前已研究了正弦函數、余弦函數的圖像與性質，這兩種函數的圖像與性質的研究方法對正切函數的圖像與性質的研究有著較強的指導意義. 本節課應通過對正切函數的圖像與性質的研究，進一步滲透數形結合思想，從而發展學生的直觀素養，從知識上完善三種常見的三角函數的圖像與性質，從研究方法上更加系統地領會函數的圖像與性質的研究思路，使學生充分感受數學知識的內在聯系、和諧之美.

[?] 教學設計

通過教材的比較分析，教學可以適當借鑒人教A版的處理方式，但應重新審視“研究了正弦函數、余弦函數的圖像與性質”得到的經驗是什么. 應當是從定義、誘導公式出發先得到部分性質（如定義域、周期性等），再借助這部分性質和三角函數線作出圖像，然后通過圖像進一步獲得其他性質. 基于學生已有上述的經驗和知識，設計“正切函數的圖像與性質”的教學，并擬定了以下的教學目標：

（1）會以定義和誘導公式為出發點研究正切函數的部分性質;了解利用正切線畫出正切函數圖像的方法;能借助觀察圖像，理解和拓展正切函數的性質;能用正切函數的圖像與性質解決有關問題.

（2）經歷正切函數的圖像與性質的研究過程，培養學生發現問題和提出問題、分析問題和解決問題的能力，進一步體會數形結合和類比等數學思想和方法.

（3）經歷“問題提出—性質探究—研究圖像—拓展和再認識性質—性質應用”數學探究活動，體驗數與形的和諧統一，提升欣賞美、發現美的能力，感受數學發現和創造的快樂.

[?] 教學過程

1. 創設情境，提出問題

圖像法是函數的表示方法之一，函數的圖像與性質有著緊密的聯系. 我們知道正弦函數、余弦函數和正切函數是三個基本的三角函數，前面我們已經研究了正弦函數、余弦函數的圖像與性質. （展示正弦函數、余弦函數的圖像與性質）

提出中心問題：我們能根據研究正弦函數、余弦函數的圖像與性質的經驗來研究正切函數的圖像與性質嗎？

2. 重溫經驗，發展思維

問題1：請同學們回顧一下，我們是如何研究正弦函數的圖像與性質的？

學生通過思考討論得出如下結論：（1）利用“五點法”作出正弦函數的圖像，但用“五點法”作圖像是在知道了正弦函數的圖像與性質的前提下，利用五個關鍵點畫出簡圖. （2）在探究正弦函數圖像的時候，是利用單位圓中的三角函數的正弦線先作出了正弦函數y=sinx在x∈[0，2π]內的圖像，再根據正弦函數的定義域和周期性平移這個圖像，從而作出完整的圖像，再由完整的圖像得到性質.

問題2：為了作出正切函數的圖像，我們應該怎樣來類比正弦函數圖像的研究方法呢？

在學生回答的基礎上，引導學生理解：在利用單位圓中正弦線作正弦函數圖像的過程中，其實含有兩個步驟. 第一步，“依性作圖”，即由“正弦函數的定義域和周期性”可以考慮只要y=sinx在x∈[0，2π]內的圖像;第二步，“由圖識性”，作出y=sinx（x∈R）完整的圖像，再由圖像得到性質.

通過重溫“正弦函數的圖像”，類比得出探索正切函數的圖像與性質的可能思路：第一步，思考正切函數的部分性質（定義域和周期性等），利用單位圓結合性質畫出圖像，即“依性作圖”;第二步，由圖像探索新的性質，即“由圖識性”. （筆者將這兩個步驟寫在了黑板上，方便學生進行類比學習）

，k∈Z;（2）正切函數的圖像關于原點對稱，說明正切函數是奇函數;（3）正切函數的圖像每隔一個π有規律地重復出現，說明正切函數是周期函數;根據誘導公式tan（π+x）=tanx可知，π是y=tanx的一個周期.

師：說得很好！其實生4說的這三個性質在畫像之前就已經根據正切函數的定義和誘導公式得到了，現在可以根據正切函數的圖像直觀地再認識，圖像還有什么特征呢？誰來補充？

生5：正切函數的圖像向上、向下都是無限延伸的，說明正切函數的值域是R;另外，正切函數的圖像在每一段都是呈上升趨勢的，說明正切函數是單調增函數.

師：能說明正切函數在整個定義域內是單調增函數嗎？

生5：不能！

師：為什么？

生5：可以舉反例，比如<，但tan>tan，所以只能說在每一段是單調增函數.

師：回答得很好！“每一段”該如何用數學符號語言來表述呢？

生5：可以說區間

-+kπ，+kπ

，k∈Z是正切函數的單調遞增區間.

師：很好！請同學們再思考兩個問題：（1）正切函數的圖像除了關于原點對稱，還有其他對稱性嗎？（2）圖4中的虛線與正切曲線有什么關系呢？

生6：正切函數的圖像還關于（-π，0），（π，0）對稱，還有（2π，0），（3π，0），…，也就是說正切函數的圖像關于點（kπ，0），k∈Z對稱;正切曲線無限地逼近虛線但不相交.

師：回答得很好！可以說正切曲線是中心對稱圖形，對稱中心為（kπ，0），k∈Z;所有的直線x=+kπ，k∈Z可以稱為正切曲線的漸近線.

師：通過圖像，我們再次認識到了正切函數的定義域、奇偶性、周期性，同時得到了正切函數的值域、單調性、對稱性及漸近線. 下面請大家填寫下表（如表1）.

學生填好表格后互評，少數學生所畫的圖像的重要特征不明顯，及時進行糾正，總體完成較好！

4. 嘗試應用，形成經驗

不同學生的認知水平和思維能力總是存在差異的，為了保證不同層次的學生在夯實基礎的前提下都得到相應的發展，筆者編選了兩組課內例習題：例1的設計目的是讓學生理解、內化正切函數的有關性質，同時類比y=sin（ωx+φ）的性質求法嘗試研究y=tan（ωx+φ）的性質，讓學生進一步形成類比學習經驗;例2及其變式讓學生對正切函數的單調性及圖像深入理解，培養數形結合和整體思想.

[?] 教學活動設計的思考

1. 整合教材讓知識自然生成

在新教改的大潮中，作為數學課程的實施者、決策者與創造者的數學教師，迫切需要用新的觀念去認真審視和理解教材，立足課標和課程理念，站在學科核心素養的角度，有針對性地對教材內容充分講解，從新版教材爆發出全新的能量. 《國家基礎教育課程改革指導綱要》明確提出了“用教材教”而不是“教教材”的新觀念. 教材是為教學服務的，而不是用來束縛、限制教學的. 教師應當廣泛研讀，比較各種版本的教材，取長補短，合理地加以整合、總結、歸類、反思、更新、拓展;從教學的實際出發，靈活地、創造性地使用教材，精心設計教學過程，凸顯思維活動的完整流程，使學生真正地深刻理解數學知識和方法的產生過程，由此不斷深化思維，提升數學素養. 本節課教學，基于教材的比較，借鑒人教A版，重新審視已有知識和經驗，遵循由舊到新的發展原則，通過簡要復習正弦函數、余弦函數的內容，提出中心問題：“我們能根據研究正弦函數、余弦函數的圖像與性質的經驗來研究正切函數的圖像與性質嗎？”讓學生重溫正弦函數、余弦函數的圖像與性質的研究經驗，為學生探究正切函數的圖像與性質提供研究思路，即“局部性質—作圖像—完善性質”. 這一研究思路，通過教師的引導，學生的參與探索，讓正切函數的圖像與性質在學生已有知識和研究經驗的基礎上自然而然地生成，遵循了學生的認知規律，實現了螺旋式上升.

2. 問題引領思考，促進學生思維提升

“學起于思，思源于疑”. 問題是課堂教學過程的靈魂，問題是數學的心臟. 讓思維從問題開始，思維活動又形成新的問題，這種遞進式的問題引領著學生思考，為學生的發展搭起了支架，指明著探究的方向. 當然，問題要針對學生思維的最近發展區而提出，才能促進學生的發展. 本節課從已有的正弦函數的圖像與性質的知識和研究經驗出發，通過回顧正弦函數的圖像與性質的研究方法，提出中心問題（既是知識內部發展需要，也是學生心理需求）：“我們怎樣來類比正弦函數圖像的研究方法呢？”讓學生自覺地凝練出總的探究思路;基于學生的最近發展區提出問題：“正切函數有哪些性質是可以通過已有知識得到的？是怎樣得到的？”使學生聯想到正切函數的定義和誘導公式去發現部分性質;進而再提出問題：“有了正切函數y=tanx的這些性質，如何來畫它的圖像呢？”這為畫正切函數的圖像進一步指明了方向;為了完善正切函數的性質又出現了新問題：“現在請大家觀察正切曲線有哪些主要特征，這些特征刻畫了正切函數的哪些性質？”等等. 這些問題環環相扣，不斷促進學生的思維深入，引領學生學會探究，實現思維自覺. 真正意義上的教學活動不是向學生提出已知、現成知識的模式開始，而是把知識設計成適當的學習問題，為學生提供一個合適的探索空間，讓問題引領學習，使知識始終處于問題情境的脈絡中，讓學生在解決問題時領悟知識、發展能力、培育情感、學會學習.

3. 微型探究使課堂教學優越有效

探究式教學注重引導學生由問題的探究來發現和建構新知. 探究式教學不僅能激發學生的求知欲、發揮學習的主體作用，還能從學習中獲得豐富、集體、牢固的知識，掌握和改進研究的方法，形成大膽質疑、小心求證、實事求是的科學精神和良好的道德品質. 然而，探究式教學的要求較高，學生容易形成盲目和膚淺的思維，影響探究的方向、深度和數學的本質. 而微型的數學探究屬于定向探究，就是指學生所進行的各種探究活動是在一系列數學問題的引領下開展的，在問題解決過程中獲得有價值的“副產品”——概念（或定理）的抽象形式，從而把握概念（或定理）的實質內涵. 比如本節課中教師通過一系列數學問題及元認知問題引領學生依據定義和誘導公式探究正切函數的定義域、周期性及奇偶性;引領學生探究如何合理選擇區間畫圖，實現從選擇[0，π]到

-

，再到0

，的優化;引領學生根據正切曲線的主要特征探究并完善了正切函數的性質. 這樣的探究既不失探究的屬性，也避免了學生形成盲目和膚淺的思維，從而影響到學習深度和數學本質的揭示. 高中的數學學習總是要經常性地探索一些數學的一般結論，追尋數學的本質，微型的數學探究無疑正是可以實現這一目標的教學方式，也是優越有效的課堂教學的一種重要方式.

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