融通算理與算法，構建運算模型

劉必雄

[摘? 要] 培養運算能力有助于學生理解運算的算理，尋求合理簡潔的運算途徑解決問題。以“兩位數乘兩位數”的教學為例，提出了在計算教學中融通算理與算法，建構運算模型的基本策略，提升學生運算能力，發展學生的數學素養。

[關鍵詞] 算理;算法;運算;模型;小學數學

借助實物原型、直觀模型等，引導學生在探究中明確算理，并在此基礎上提煉出算法，最后將這種算法推而廣之，建構起數學運算模型，是運算教學行之有效的方法。筆者以“兩位數乘兩位數”的教學為例，論述了在計算教學中融通算理與算法，建構運算模型的基本策略，期望對廣大教育同仁有所借鑒和思考。

一、創設情境，引出新問題

“教學的藝術并不只在于傳授本領，更在于激勵、喚醒和鼓舞學生。”在運算教學中，教師可結合學生的實際生活創設生動情境，把學生置于一定的情境之中，引發學生的思維沖突，激發學生參與課堂的興趣。

師：學校舉行隊列表演，一共有12行，每行有14人，有多少人參加隊列表演呢？

生1：應該用乘法計算。列式為14×12。

師：同學們能試著計算它的結果嗎？

（學生討論。）

生2：我先算10行，每行14人，這樣一共是10×14=140（人）;再算剩下的2行，一共是2×14=28（人），因此一共有140+28=168（人）。

生3：我把每行14人看成是（10+4）人，12行就是有12個10和12個4，所以有12×10=120（人），12×4=48（人），這樣一共就有120+48=168（人）。

師：同學們真聰明。但是，在計算兩位數乘兩位數的時候，總是這樣列三個式子，顯得太麻煩了。

生4：是呀，我們還需要探索一種豎式計算方法，這樣就能快速計算得數了。

教學中，教師結合學生的生活創設教學情境，把枯燥的數學計算融入解決現實生活問題的情境，這樣既為學生提供了探索數學知識的現實資源，又使學生切身體驗到了計算與現實生活的密切聯系，使學生在解決問題中產生認知沖突，為下一步的探究學習奠定基調。

二、數形結合，充分理解算理

算理是算法的內在依據，理解算理可以讓學生在增長知識的同時獲得智慧。數學家華羅庚曾言：“數缺形時少直觀，形缺數時難入微。”數形結合既是一種重要的數學思想方法，還是一種常用的教學方法。在教學中，教師可不失時機地為學生提供生動的圖形材料，使抽象的數量關系變得具體起來，促進學生的數學理解，以起到事半功倍的教學效果。

師：我們在學習“兩位數乘一位數”時，采用了點子圖幫助我們理解筆算的原理。現在，我們還用點子圖幫助我們理清數量關系。（教師出示點子圖，如圖1所示）

師：請同學們以小組為單位，利用點子圖，圈一圈，畫一畫，列式算一算。

（學生探究，教師巡回指導。）

生5：我把前6行圈起來，再把后6行圈起來，這樣就把點子圖分成了相等的2份，列式為14×6=84，84×2=168。（如圖2）

生6：我把點子圖的前10行圈起來，再把剩下的2行圈起來，列式為14×10=140，14×2=28，140+28=168。（如圖3）

生7：我是這樣圈的，把點子圖分成4個部分，分別列式為10×10=100，10×4=40，10×2=20，2×4=8;然后把它們加起來，即100+40+20+8=168。（如圖4）

師：你們都是借用點子圖來理解和分析問題，并用自己的方法求出了14×12的積。那么，請同學們觀察一下，這些方法有什么共同點呢？

生8：都是把其中的一個兩位數拆成了兩部分進行計算。

師：為什么要拆分？

生9：我們沒有學過兩位數乘兩位數的筆算方法，把其中的一個兩位數拆分成整十數或一位數，這樣就轉化為我們已經學過的知識了。

師：對。轉化是一種重要的數學思想。通過把未知知識轉化為已知知識，就能夠促進問題的解決。請同學們再想一想，你認為哪種轉化的方法比較好呢？

生10：我認為把12分成10和2這種方法比較好，因為無論是14×10=140還是14×2=28，計算起來都比較方便一些。

教學中，教師引導學生充分借用點子圖的直觀形象性用各種方法計算出了14×12的積，在圈一圈、算一算的過程中，學生不但理解了數形結合的精妙，而且還初步體驗了把未知知識轉化為已知知識的重要性;教師逐步引導學生“取好擇優”，從多種解決問題的策略中找到最優化的方案，從而在下一步把算理與算法溝通，為突出豎式算法模型打下基礎;教師采取數形結合的策略引導學生理解兩位數乘兩位數的算理依據，為學生的思維搭建一座聯系算理與算法的橋梁，使學生從本質上找到算理的“根”。

三、提煉算法，建構運算模型

算理與算法是計算教學中相互融合的整體。學生在理解算理后，并不能馬上形成算法，這就要求教師要抓住時機，順勢而教，在算理和算法之間鋪路搭橋，讓學生在體驗交流的過程中充分理解算理，溝通直觀與抽象、具體與概括之間的關系，從而促進學生提煉算法，建構運算模型，形成運算技能。

師：現在，同學們能夠嘗試用豎式計算14×12嗎？請同學們以小組為單位進行合作交流。

（學生探索，教師指導。）

師（整理好學生豎式計算的過程，并歸類）：同學們，這是大家列出的4種豎式，你能說一說哪種對，哪種錯嗎？（如圖5）

生11：第①種不對，把12看作10，乘積是140，怎么會只有42呢？

生12：第①種算法中，14×2=28，14×10=140，所以“4”應該寫在十位上，與上面的“2”對齊，“1”應該寫在百位上。

生13：第②種豎式的結果是對的，但是從中看不出計算步驟。

生14：第③種筆算方法的結果也是對的。但是，我覺得用十位上的“1”乘14，在百位上寫“1”，在十位上寫“4”，就能夠表示140了，末尾的“0”可以刪去，這樣就更加簡便了。

生15：第④種筆算方法是正確的，而且還非常簡潔。

師：你能具體說一說第④種筆算方法的過程嗎？

生15：第一步，用個位上的“2”乘14，即2×4=8，把“8”寫在個位上;再有2×1=2，把“2”寫在十位上。第二步，用十位上的“1”乘14，即1×4=4，把“4”寫在十位上;1×1=1，把“1”寫在百位上。最后，把兩次得到的積加起來，一共是168。

生16：在第二步中，為什么要把1×4=4的“4”寫在“2”的下面？

生15：“2”的下面是十位，因為1×4中的“1”在十位上，表示1個“十”，它乘4就表示4個“十”，所以“4”要寫在“2”的下面，也就是要寫在十位上。如果像第①種算法那樣把這個“4”和“8”對齊，那就表示4個“一”了。

師：現在同學們再想一想，我們所列的豎式和剛才的點子圖有什么關聯？

生17：我發現豎式計算和點子圖是對應的（如圖6）。第一步，我們用2乘14，實際上就是求出點子圖中圈出來的最后2行;第二步，我們再用十位上的“1”乘14，實際上就是10×14，這樣就求出了點子圖中圈出來的前10行。

生18：豎式和點子圖的思路是相同的，都是先分成兩部分再分別去算積，然后把算出來的積加起來。

師：是啊，豎式計算的每個步驟都能夠在點子圖中找到它的依據，盡管從表面上來看，豎式和點子圖“長得”一點兒都不像，可是它們的計算思路卻是完全一樣的。

生19：數學真是太有趣了！

師：同學們掌握了14×12的計算方法，那么我們能不能把這種方法推而廣之呢？請同學們用豎式計算下面的題目：11×11;12×13;13×13。

（學生計算。）

師：現在，同學們能夠總結兩位數乘兩位數（不進位）的基本算法了嗎？請同學們在小組內交流。

生20：先把一個乘數分成兩部分，然后分別跟另一個乘數相乘，最后把它們的積加起來。

生21：先用一個乘數的個位數去乘另一個乘數，再用這個乘數的十位數去乘另一個乘數，把它們的積加起來。

……

教學中，教師引導學生將豎式計算和點子圖關聯起來，即把算理和算法無縫隙對接起來，使學生深刻感知豎式計算的每個步驟都能在點子圖中找到直接依據;然后，教師引導學生把14×12的豎式計算方法推廣到兩位數乘兩位數（不進位）的運算中去，建構了運算模型，形成了運算技能。

總之，在計算教學中，教師既要采取適當策略使學生理解抽象的算理，也要引導學生從算理中歸納提煉出具體算法，同時還要讓學生經歷將基本算法抽象成運算模型并進行解釋和應用的過程。唯有如此，才能真正提升學生的運算能力，發展學生的數學素養。

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