一堂“實驗思維”課教學引發深度思考

[摘? 要] 學生求解一個新問題的過程，充滿著未知、探索和反復性，需要像做物理實驗或化學實驗一樣不斷嘗試，我們把這種思維稱為“實驗思維”.通過課堂實踐發現，當學生遇到問題的信息與自身的知識、經驗相距甚遠時，許多學生就不愿實驗了，從而使解題半途而廢.利用“實驗思維”可促進學生的認知能力和元認知能力的提升，同時通過關注思維的發生和調整來促進“實驗思維”能力的提升.

[關鍵詞] 實驗思維;思維的發生;思維的調整;作圖思路

寫在前面

當學生獨立面對數學問題時，對解題策略、解題思路、解題方法大多是不確定的、未知的、盲目的，需要去檢索、聯想、調用、篩選大腦中儲備的相關的知識和經驗，甚至有時很難將問題與相關的知識和經驗直接聯系起來，這時解題就像做物理實驗或化學實驗一樣不斷地嘗試各種材料或操作方法，只不過數學中解題的材料或操作方法是知識和經驗. “實驗思維”就是建立在這個“嘗試驗證”基礎上的，即根據題目的信息，逐一嘗試自身所有的知識和經驗. 利用“實驗思維”探究某個數學問題時，有時并不是從一般性的原則或公理、定理入手，而是通過類比借鑒特殊的具體的例子、工具進行實驗嘗試，獲得結果. “實驗思維”能充分調動學生的思維，培養學生的直覺能力及創造性思維[1]. 下面以“尺規作已知角的平分線和過一點作已知直線的垂線”為例，談談“實驗思維”在課堂教學中的應用，希望能引發大家更多的關注和思考.

教學流程

1. 回顧與激發

環節1：回顧“作一個角等于已知角”的過程和方法.

（1）分別展示用量角器畫一個角等于已知角的過程及用尺規作一個角等于已知角的過程，并強調直尺和圓規只能做什么.

（2）將“畫法”與“作法”進行對比，將“借鑒過程”復原，明確“作法”如何從“畫法”中獲得相應的思路.

①將“已知角”部分進行對比. 如圖1所示，量角器是一個半圓，圓心與角的頂點重合，一邊與零度線重合，形成一個扇形OCD;如圖2所示，用圓規以頂點O為圓心，以任意長為半徑畫弧，就可以做出量角器，得到對應的扇形OCD（標出扇形的三個點）.

②將“所求角”部分進行對比. 如圖3所示，用量角器畫角就是將對應的扇形（圖3中對應的扇形是OCD）“搬”過來，怎樣“搬”？只需把量角器“搬”過來，然后根據對應的度數確定點E的位置即可. 如何用尺規將扇形OCD“搬”過來呢？如圖4所示，先畫出與圖2的半徑相等的量角器，再把弧CD所對的弦“搬”過來得到弧EF（因為圓規能作一條線段等于已知線段，實際上是由兩段弧相交得到的點E）.

（3）總結：畫角時，首先角的一邊已由直尺畫出，另一邊也就知道了其中一個端點，再找到另外一個端點即可. 這個端點就在量角器的外輪廓上，用圓規找到這個端點需要用圓規畫兩次，因為找到這個端點需要滿足兩個條件——“EF=CD”“OE=OC”，即用圓規畫輪廓使得OE=OC，EF=CD.

（4）明確每一步操作能得到什么條件，探究作法的理論依據. 實際上就是利用“SSS”構造兩個全等三角形.

反思? “作一個角等于已知角”是七年級上學期學習的內容，尺規作圖是從用量角器畫一個角等于已知角的方法抽象、歸納出來的，其中隱含著十分重要的思維策略——類比借鑒. 這也正是這節課將要用到的方法. 利用“復習與回顧”這個抽象的過程，為這節課的探究做前期鋪墊，同時明確一下尺規作圖的要求和功能. 直尺能畫線，圓規可保證弧上每個點到圓心的距離不變，以及作一條線段等于已知線段，即用圓規的兩只“腳”，分別放在已知線段的兩個端點上，再移動已知線段——利用圓規作弧兩次可得到滿足兩個條件的交點.

環節2：思考一個可借鑒的問題.

問題1：工人師傅常常利用角尺平分一個角. 如圖5所示，在∠AOB的兩邊OA，OB上分別任取OC=OD，移動角尺，使角尺兩邊相同的刻度分別與點C，D重合，這時過角尺頂點M的射線OM就是∠AOB的平分線. 請同學們說明這樣畫角平分線的道理.

（1）教師先讓學生思考，思考后選擇了兩位沒有完成任務的學生，讓他們說一說問題的條件是什么、要證明的結論是什么. 其中一位學生說到條件是OC=OD，要證明射線OM是∠AOB的平分線，結果證明兩個三角形全等時又把角平分線作為了條件;另一位學生說到條件是OC=OD和射線OM是∠AOB的平分線，據此證明兩個三角形全等.

（2）讓其他學生指出這兩位學生存在的問題，并完整地說出題目的條件和結論，以及證明的過程，由教師追問每個條件是怎么得到的、每個步驟是怎樣想到的.

（3）教師強調一定要仔細研讀每一步操作，挖掘其中隱含的條件，必須要分清題目的條件和結論. 解答本題的關鍵是從條件“使角尺兩邊相同的刻度分別與點C，D重合”中挖掘出“CM=DM”，以及分清本題的條件和結論.

反思? 對于一個實際的操作性問題，找到問題中的條件和結論對一般學生來說是一個難點. 教師沒有一開始就帶領學生讀句找條件，而是讓學生經歷自主體驗的過程. 畢竟教師不能時刻帶領著學生，讓他們自己經歷犯錯、改錯的過程，才能真正獲得經驗，這就是“實驗思維”. 同時，教師不能滿足于學生正確解答，在學生展示解法之時，教師要以學困生的困惑、認知差異為契機進行追問，直擊學生的思路及解法，進一步引發學生進行深層思考. 在傾聽、分享學生的見解時，發現各自的困惑，展開互補討論. 在師生、生生互動對話中突破學生思維的盲點，領悟數學思想. 當然，如果平時教學中教師能有意識地培養學生自主提問的習慣，一些問題能由學生互問互答，那么課堂會更加精彩. 教師要為學生提供充分思考和表達的時空，通過適時追問和質疑，為學生搭建思考的“跳板”，暴露思維方法，從而引導學生突破表象、深入思考，提高學生數學思維的深度及理解的寬度. 以上兩個環節作為鋪墊，針對的不僅是知識的傳授，還有思維的激發.

2. 類比與遷移

問題2：根據前面的經驗，你能用直尺和圓規作出一個角的平分線嗎？

（1）巡視、觀察學生自主探究的情況. 全班所有學生自主探索的第一步都是以點O為圓心，任意長為半徑畫弧，與角的兩邊交于點C，D（借鑒“作一個角等于已知角”的方法）. 接下來有兩種情形：一是有一部分學生只做到了第一步，不知道再在角的內部確定一點;二是完成的學生有三種結果，如圖6、圖7、圖8所示.

（2）交流展示.

①教師向沒有完成任務的學生提問：“第一步為什么這樣做？”學生回答的是“套用‘作一個角等于已知角的方法，但后面不知道怎么做了”;教師再向學生提問：“角平分線應該在什么位置？”讓學生在黑板上畫出來;然后又提問：“要畫出這條角平分線，還需要確定幾個點？”學生回答的是“一個點”，教師要求學生把這個點畫出來;接著繼續引導學生回答：“你是怎樣畫的兩段弧？”“使它們交于這個點”;在學生畫出這個點后教師再總結. 這是逆向思考，即假設已經畫出了圖，然后去探索畫圖條件.

②關于圖6、圖7、圖8作圖的交流，主要是學生自己敘說.

作出圖6的學生有一半以上，但是思路有三種：第一種，有幾個學生是直接借鑒和操作問題1的方法，這些都是學習優秀的學生;第二種，先把角平分線畫出來，然后對照課本上的圖像用圓規湊出來;第三種，借鑒“作一個角等于已知角”的方法，拿圓規嘗試而成.

作出圖7的學生認為，角平分線一定經過CD的中點，所以就湊出了這個中點.

作出圖8的學生直接以C，D為圓心，任意長為半徑畫出了兩個圓（注：圖中顯示的是兩個圓各自的兩段弧），得到了兩個交點，發現過這兩個交點的線與角平分線是重合的. 這幾個學生平時都是畫圓不畫弧，這次反而完成了一種作法.

③接著教師組織討論操作的正確性. 大家一致認為圖6沒有問題，因為第二次、第三次作弧，半徑都沒有改變. 對于圖7，大家發現第二次、第三次作弧時，半徑必須是CD的一半，這個“一半”不好把握. 教師這時借助于圖7進行了演示——如果半徑小于CD的一半，根本沒有交點——由此把作法中為什么要大于CD的一半解釋了. 圖8在證明時有點困難，教師直接進行了講解，在這里讓學生體驗了如何證明三個點在一條直線上和“同一法”思想. 最后一致認為，最簡潔的作法只需在角的內部再確定一個點即可，并在作圖過程中要明確每一步的要點. 這時教師指出，不知道怎樣確定點M的學生，一是在頭腦中沒有形成“再確定一個點就可以畫出角平分線”的意識，二是說明缺乏直觀想象能力，這需要在平時多練習.

④教師要求學生思考：我們作圖的方法有哪些？經過討論得到：方法1，先假設圖形已經畫成，然后反復實驗如何能用直尺和圓規得到相應的條件，如圖7所示，認為角平分線一定經過CD的中點，所以就去尋找這個中點;方法2，借鑒做過的題目，然后反復實驗如何能用直尺和圓規得到相應的條件，如圖6、圖8所示;方法3，先尋找能得到圖形的幾何定理，然后構造出對應的圖形，再反復實驗如何能用直尺和圓規得到相應的條件. 即首先想象作出的圖形，然后用工具進行實驗性操作或聯想相關的問題或利用性質定理進行條件探索.

反思? 學生直接借鑒問題1方法的很少，這和教師課前的預想吻合. 本來設計的是借鑒問題1來作角平分線，但教師把此過程去掉了，而是細致復習了“作一個角等于已知角”的過程，特別是對幾個關鍵點的強調——一是圓規的兩個作用及能得到的條件，二是對點E的確定. 因為都是作圖，所以想到借鑒“作一個角等于已知角”方法的學生很多. 雖然在描述方法時學生的語言不夠規范、不夠精致，而且這個環節之后沒有進行相應的練習——如果這樣提示：①如何用圓規作出“OC=OD”;②如何用圓規作出點M，使“CM=DM”;③化歸作圖的步驟，特別指出為何“要以大于CD的長為半徑作弧”，且“選擇兩弧在∠AOB的內部的交點M”，那么學生就能很快獲得結果——但是教師覺得，學生只有真正思考了，只有經歷過挫折、失敗的磨煉，學生才能真正體會作圖的方法，實現對問題本質的認識，實現質的飛躍;才能提升自主探究能力，積累豐富的經驗，從而提升核心素養. 這就是“實驗思維”的精髓所在.

3. 鞏固與內化

問題3：過直線外一點如何作這條直線的垂線？

教師指導學生思考如下：

思考1：直接把角平分線的作法“克隆”一遍. 在學生完成之后，引導學生把“克隆”的過程整理如下：

①角平分線作法的第一步是作弧，在本圖（圖9）上能怎樣操作？對照角平分線的作法，就是把點P看作點O，后面也就水到渠成了.

②角平分線作法的第二步是確定交點，這需要兩段弧，在本圖（圖9）上能怎樣操作？

③作出的圖形符合要求嗎？

思考2：嘗試“湊”出圖形.

因為過點P作垂線，所以只需要在點P的正上方或正下方再找一個點即可. 如何用圓規把這個點找出來呢？根據經驗，要找到這個點一般需要兩段弧，那么就需要兩個圓心和兩條半徑，你覺得這兩個圓心應該在哪里找，這兩條半徑怎么確定？

出示提示后，教師引導學生把圓規的“腳”放在直線AB上，然后確定圓規的位置. 這時有學生說到，應該放在思考1中的第一步（作弧）得到的兩個交點上，接著發現這種作法就是思路1的作法.

這時教師接著提示：現在把圓規的“腳”放在直線AB上的任意一點，你覺得可以以什么為半徑作弧？你覺得作出的弧應該在什么位置？這時有學生說到，可以試試以到點P的距離為半徑作弧. 學生嘗試完成后，教師在黑板上作出圖形，并討論交點取在不同的位置對圖形的影響，以及在直線AB上取不同位置的點對應的各種情形. 通過操作發現，在直線AB上任意取兩點，既可以在垂線的同側，也可以在垂線的兩側.

思考3：你能找到類似的證明垂直的題目嗎？假設垂線已經畫成，你能構造出全等三角形，并以此獲得作圖的思路嗎？經過討論，將作圖的方法完善、整理后再次展示，讓學生自主體驗.

反思? “作一個角等于已知角”是開放的，學生進行了反復的嘗試，獲得的經驗是及時性的. 為了加深印象，利用“過直線外一點作這條直線的垂線”進行思維梳理，促使經驗進行內化，使思維變得有序，在頭腦中形成結構，所以在本環節中教師要有意識地進行引導、梳理、歸納. 幾何的思維起點是形象思維，用形象思維洞察問題的結構，然后讓結構與知識經驗進行對接. 在幾何中視覺思維占主導地位，而代數中有序思維占主導地位，所以教師要多引導學生觀察圖形的位置與形狀，先“湊”條件，再進行證明，這是“實驗思維”的一個基本套路.

4. 作業

（1）整理這三個作圖的基本方法，牢記作法和證明的過程.

（2）再次探尋兩個尺規作圖的方法，并說明理由.

教學反思

“學習任何東西的最好途徑是自己發現”. “實驗思維”的本質就是檢索、聯想、調用、篩選的不斷嘗試，這是促進學生自主發現，逐步形成認知結構的過程. “實驗思維”由于其探索性和反復性，導致它極其的不確定性，所以運用“實驗思維”時，一定要強調自我反省，這樣才能不斷總結經驗，形成能力.

1. 恰當展示思維的發生過程

遇到問題也不能盲目探索，要學會尋找“蛛絲馬跡”. 要多向學生展示思維的發生過程，要讓學生深刻體會思維如何才能發生. 一是讓學生思考解決問題的一般方法，并能形成提示語，如“復雜的問題可能包含哪些基本問題？”“這個模型可以看作是幾個模型的組合？”“有哪些可能的思考路徑？”“怎樣將復雜的問題分解為簡單的問題或模型？”二是讓學生對問題情境中的各種線索產生敏感性，這種敏感性決定著情境中有關信息的覺察與認知程度;如果不敏感就可能遺漏、忽略某些重要信息，或產生誤解、偏差. 三是形成激活和提取不同問題情境下相應的策略、知識和經驗的敏感性，這種敏感性影響著調控對策和方法的選取;如果缺乏這方面的敏感性就可能在問題情境和方法的匹配上發生困難，難以激活和提取適當的方法或策略，難以將某種具體問題情境下解決問題的策略或方法遷移到其他問題情境. 要形成這三種敏感性，需要深刻理解知識的深層結構，比如完全平方公式，為什么背得滾瓜爛熟，但是一用就錯？主要原因就是對公式的結構、對各項指數的關系理解得不夠深刻.

2. 充分展示思維的調整過程

學生思考問題是一個錯綜復雜、循序漸進的過程，需要從宏觀到微觀、由表及里反復進行嘗試、探索，既要注意具體細節方面的有效處理，也要有條理、有邏輯、簡潔地進行表達. 課堂教學中，由于教師需要考慮時間效應，在有效的時間和空間內引導學生完成分析、思考、解答，可能會用“精準導航”減少思維岔路，用“過度引導”減少思維坡度. 這樣學生不會經歷反復嘗試的過程，沒有失敗后的自省過程，在遇到思路斷點時，不知如何選擇——是回頭還是想法修復？不知如何評估自己的思路. 有時一條道走到黑——浪費時間，有時缺乏毅力——半途而廢.

要讓學生主動展示思路斷點的情形，并反思思路斷點的原因. 比如可以引導學生思考：根據條件能得到幾種結果？你想要這兩個三角形全等，但是假設你把缺少的條件找到了，是否發現就不再需要全等了？為了得到你想要的結果，還有什么知識能用到？你想證明它是等腰三角形，你有沒有發現它不一定始終是等腰三角形？讓學生將其所經歷的思路逐一闡述，找出思路斷點、尋找思維盲點并組織分析，從而學會調整思維的方法. “你想到用什么方法、用什么知識？為什么沒想到？是圖形不像還是條件不夠？”——要多用這樣的提示語;也可以在學生講解正確思路時，讓其展示所走的彎路，以及如何回頭、為什么回頭. 這能避免教師的單線思維，有時同齡人的思考方式更容易互相接受. 要創造適當的時機，充分揭示學生真實的思維過程，不能只讓學生展示正確的過程就完成問題解決了.

所以，要用一些常見的激發思維的提示語，要精心將一些常見的思維方式歸納為一些自然的、簡單的、顯而易見的，具備普遍性和常識性的提示語. 如思路受阻時，能問道“是否還有什么條件沒有看到？是否還有其他的方法？”“一般在什么條件下可以構造全等？向什么方向構造？”通過反復地提出這些提示語，總會獲得一次誘導出正確念頭的成果. 所以，教學中要經常反復地提出這些提示語，促使學生能自己想出一個好念頭. 這樣的指導，可以使學生找到各種使用提示語的正確方法，并能內化為自覺的提示語.

對圖形相關內容的研究是讓學生真正成為發現者的重要途徑，學生經歷圖形的抽象、分類、性質探討、運動、位置確定等過程，探索、發現、提出圖形元素之間的關系，然后嘗試去證明，這才能使學生真正體會合情推理和演繹推理的精髓[2]. 嘗試與探索會經歷挫折、失敗，再聯想、再篩選的過程，這個過程可能會多次反復，是一個不斷實驗的過程，對學生的意志和心理是一種考驗. 許多學生經常因為失敗而放棄進一步思考，所以教師也要多鼓勵學生，提升他們的信心.

參考文獻：

[1]中華人民共和國教育部. 義務教育數學課程標準（2011年版）[S]. 北京：北京師范大學出版社，2012.

[2]喬太華. 過程與結果并重? 直觀與推理相融[J]. 中學數學教學參考，2019（26）.