深挖知識方法的聯姻 凸顯學科整體性教學

周建玲 陸傳佩 洪竟雄

[摘? 要] 文章主要以常見的幾何計算題為背景，深挖問題中出現的不同幾何背景及常見的解題方法，引導學生從不同角度去尋找不同的解題突破口，帶領學生享受幾何知識方法之間聯姻的魅力，真正做到“做一題，得一法，會一類，聯一片”.

[關鍵詞] 整體性教學;中考;幾何背景;聯姻

整體性教學是一種關聯的、融通式的教學，其特質為問題設計的整體性、知識建構的立體性以及數學思想方法的系統性. 在整體性教學中，教師要對數學學科知識進行上下貫通、左右關聯、系統融合，從而讓學生展開深度學習，真正做到“做一題，得一法，會一類，聯一片”.

問題設計

例 如圖1，在△ABC中，AC=AB=，BC=4，以AC為斜邊作等腰直角三角形ACD，連接BD，則BD的長為______.

此題雖常規，但其不僅蘊含了平面幾何中的通性通法，還滲透了近期中考數學的一些熱點幾何背景及解法. 對此，教師可引導學生抓本題的核心，聯想通性通法：①處理等腰三角形的常見輔助線——“三線合一”;②初中解三角形的核心方法是將三角形轉化為直角三角形;③三角形中45°角的特殊性.

以此為切入點，筆者引導學生一次次沖破思維與方法的禁錮，打通了初中中考試題中常見的“一線三垂直”“12345模型”“手拉手模型”等幾何背景，帶領學生靈活運用不同的解題方法，享受不同的幾何知識方法間聯姻的魅力以及思題、解題的無窮快樂！具體展開如下解題方法的探究.

問題解決

1. 瞧見“等腰與直角三角形”，聯想“一線三垂直”

過A作AE⊥BC于E，將等腰三角形ABC分成2個直角三角形（如圖2），得BE=EC=2，AE=1，即可破解等腰直角三角形ADC，得CD=AD=.

進一步思考，因△ADC為等腰直角三角形，結合“一線三垂直”，可通過點D構建垂直與全等（如圖3）.

方法1：如圖3，△AMD≌△DNC，設DN=x，便可得到AM=x，DM=CN=1+x，利用EC=2得到x=，再過點D作DH⊥BC于H，可將BD放在Rt△BDH中，即可得到BD=.

方法2：如圖4，△AMD≌△CND，設CN=x，可得AM=x，DM=DN=1+x，利用EC=2得x=，在Rt△BDN中，計算得到BD=.

2. 結合45°，深化“一線三垂直”

方法3：如圖5，倍長CD至N，得△ACN為等腰直角三角形，構建△AMN≌△CEA，便可得到AM=CE=2，MN=AE=1. 再過點D作DH⊥BC于H，由三角線中位線可得DH=，BH=. 在Rt△BDH中，計算得到BD=.

方法4：如圖6，取AC的中點F，得△ADF為等腰直角三角形，構建△AMF≌△FND，便可得到AM=FN=0.5，DN=MF=1. 再過延長DN交BC于H，得到DH=，BH=. 在Rt△BDH中，計算得到BD=.

3. 妙用45°，聯姻三角函數

上述解法主要是借助直角頂點D在圖形中的位置構造了“一線三垂直”模型. 繼續引導學生觀察幾何圖形，發現圖形蘊含了另一種幾何背景——“12345模型”. “12345模型”的實質是：①α+β=45°;②tanα=;③tanβ=，知二求三. 關于驗證方法：①初中階段最好放在正方形網格或等腰直角三角形中去驗證（如圖7）;②可用高中兩角和的正切公式tan（α+β）=去推導驗證. 于是本題還可按如下方法求解.

方法5：如圖8，在Rt△DHC中，∠ACD=45°，可推知α+β=45°，又tanα=，由公式可得tanβ=. 又因DC=，所以DH=，BH=. 在Rt△BDH中，可計算出BD=.

4. 等腰添旋轉，常戀“手拉手”

常見的“手拉手模型”主要有以下幾種情況（如圖9）. 受“手拉手”幾何背景的啟發，可聯想到構建“手拉手”模型解決本問題.

方法6：如圖10，圍繞BC構建等腰直角三角形BCF，連接AF，CF. 因==，則可推知△ACF∽△DCB，于是BD=. 作AE，AG分別垂直于BC，BF，于是得到AG=BE=2，GB=AE=1. 在Rt△AGF中，計算得到AF=，于是BD=.

方法7：如圖11，以BC的中點為原點建立平面直角坐標系. 易得點A（0，1），B（-2，0），C（2，0）. 設D（x0，y0），由DA=DC=，構造方程組求出點D的坐標，從而求得BD的長.

問題反思

以上通過一道平面幾何中常規的計算邊長的問題，引申出4種不同的幾何背景和7種解題策略，讓學生做題、思題、探題，靈活架構起不同幾何背景間解決方法的聯系，有效地“回避”了平面幾何教學中常見的碎片化教學. 通過整體性教學，教師以“滾雪球”的教學方式幫助學生形成了更大的知識團與方法集，這或許才是教師“推動、發展、培育”學生數學核心素養的真諦所在！

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