從二次函數教學談初升高銜接

廖凱

[摘? 要] 初中數學和高中數學都涉及了二次函數教學，在初高中兩個階段對其圖像和性質的研究都是重點. 只有充分挖掘和分析初高中二次函數的幾何性質和代數性質的銜接點，才能保障學生有效掌握二次函數的相關內容. 不僅如此，文章還以初高中二次函數為起點，談初升高銜接的一些要點.

[關鍵詞] 二次函數;初高中銜接;代數和幾何

在初高中數學教學中，存在的銜接點較多，二次函數知識就是其中之一. 在初中數學教學中，對二次函數的要求相對降低了，這讓學生在高中階段對二次函數的理解容易產生混亂，學習二次函數的內容就受到了很大限制. 為了梳理學生對初高中二次函數的理解，保障學生有效掌握二次函數的相關內容，需要將初高中二次函數的幾何性質和代數性質的銜接點進行充分挖掘和分析，讓學生深入了解數形結合思想，培養其數學思維. 由二次函數在初高中知識體系中的重要性，以及二次函數幾何性質和代數性質的融合，本文以初高中二次函數為起點，談談初升高銜接的一些要點.

初高中二次函數教學的銜接點

在初中數學教學中，二次函數對學生的要求主要是粗放的函數概念、部分二次函數的圖像、二次函數與一元二次方程的部分性質，以及二次函數與一元二次方程的關系和區別. 初中對二次函數的粗放概念是用自變量和因變量來描述的，而高中則是將函數定義在集合上，通過映射來描述. 初中對二次函數圖像的要求主要是了解y關于x的三種形式的二次函數圖像，會使用描點法畫二次函數圖像，了解三種形式的二次函數圖像的頂點和對稱軸;高中講解的則是拋物線. 在性質上，高中以初中的二次函數和一元二次方程的性質為基礎補充了函數的性質以及拋物線的性質，即從特殊性質轉向了一般性質. 二次函數與一元二次方程的關系和區別，初中和高中的要求可以說是同等的，但初中的教學模式大部分是粗放型的，并未講清函數與方程的關系和區別就進入了性質的教學，不僅如此，具體的研究對象、研究方法以及研究內容缺少了一元二次不等式. 從以上分析可以看出，對初高中二次函數教學需要銜接的知識內容主要有三點：一是二次函數與一元二次方程的關系和區別;二是二次函數、一元二次方程、一元二次不等式的一體化;三是初中教學的二次函數圖像與拋物線的子集關系.

對初中生來說，第一個銜接點——二次函數與一元二次方程的關系和區別，是函數與方程的關系和區別的特殊情況，所以需要先讓學生回憶和熟悉函數與方程的概念的本質：一個是變量的關系，一個是等式;一個屬于非確定值代數，一個屬于確定值代數. 接著通過二次函數的圖像（形）和一元二次方程的根（數）突出數形結合思想在建立二次函數和一元二次方程聯系中發揮的紐帶作用.

第二個銜接點——二次函數、一元二次方程、一元二次不等式的一體化，這是第一個銜接點的思維晉級，即補充一元二次不等式條件，將其與二次函數、一元二次方程的關系能用圖形和表格描述出來. 這樣的描述可以二次函數為主體，分一元二次方程和一元二次不等式對應二次函數數值為零和不為零這兩種情況進行研究和講解. 研究和講解的主要知識點是二次函數的零點、一元二次方程的根與一元二次不等式的解集（如圖1）. 另外，通過二次函數的圖像可以將三個“二次”具象化.

第三個銜接點——初中教學的二次函數圖像與拋物線的子集關系，指通過二次函數的形式和圖像與拋物線比較，讓學生明白初中學習的二次函數的形式和圖像只是高中的拋物線知識的一部分，拋物線也同樣只是曲線的一部分，使得學生對高中的“曲線與方程”的理論學習有所預擬.

銜接過程中需要關注的要點

1. 基礎知識的夯實

無論是學習還是考查，都是以基礎知識著手，提升解決能力，銜接過程作為知識過渡過程，它面臨著初中和高中兩個階段知識的共同探究，而且高中階段更加傾向于培養學生的思辨行為，這些都需要初中學生夯實的基礎知識的支撐. 例如，在學生了解二次函數與一元二次方程的關系和區別時，學生對函數和方程的概念本質的回憶與熟悉，出發點就是等式、變量、代數等，這些都是初中需要掌握的基礎知識. 在初中階段學習二次函數時，關于函數、方程、不等式等方面的知識銜接所形成和培養的化歸思想、方程思想、數形結合思想等能促進高中階段學生的學習.

2. 從學生的立場出發

在教學中，教師應從學生的立場出發，在學生的學習興趣、思維層次上實施教學，啟發和引導銜接過程中學生對教材的二次開發，培養學生形成自己的學習思路. 這樣教師需要精心設計每節課，通過不同的教學活動、教學手段、評價方法，將粗糙的知識精細化，將靜態的知識動態化，讓學生歷經數學知識和思維形成的過程. 學生的立場會隨著課程環節的變化而改變，若教師要掌握學生的立場則離不開問題的針對性，即需要針對細化的知識點設置不同的問題. 例如，復習舊知識時用“設問”，提出新問題時用“疑問”，引導學生解決問題時用“追問”，啟發學生深入思考時用“反問”. 這也就說明，在銜接過程中，教師要將知識點和問題融合一起再展現給學生進行學習.

3. 從形象思維到抽象思維

從初中數學教學到高中數學教學，是學生從形象思維轉化到抽象思維的過程. 所以在初中數學教學過程中，若能將學生的形象感知和抽象思維有機地結合起來，則可以降低和減少學生學習高中知識的障礙. 從形象思維轉化到抽象思維的過程是由淺到深、由簡單到復雜的層層遞進的過程，因此教學時需從學生的感官出發，促進學生形象思維的延伸，培養和提升學生的分析能力、邏輯思維能力、判斷能力、概括能力等，最終形成和提升抽象思維能力. 例如，從二次函數的圖像開始，通過圖像分析、邏輯思考三個“二次”，判斷并求解二次函數的零點、一元二次方程的根和一元二次不等式的解集，概括函數、方程、不等式的特質，最終了解三個“二次”，這是為學習和擴展高中的集合、函數、不等式、拋物線等抽象知識累計經驗. 雖然形象思維和抽象思維是兩種截然不同的思維方式，但形象思維是抽象思維的基礎，即學生從具體數學概括到抽象數學;抽象思維是形象思維的紐帶，即學生依據抽象特點在現實中尋找事物而感知.

4. 集中思維和發散思維

集中思維，又稱為求同思維或聚斂思維，即從已知的種種信息中產生一個結論，從現成的眾多材料中尋找一個答案. 發散思維，又稱為輻射思維、擴散思維或求異思維，即思維從多個方向向外延伸、擴展，從多個維度、角度思考解決問題的方法. 在教學過程中，集中思維和發散思維總是會交替出現和動態結合. 比如高中二次函數的教學，從初中階段二次函數的多種具體“形”轉化為高中的“數”概念——拋物線的概念，能體現學生的集中思維;在例題的解析和習題的練習中，從題目的二次多項式條件和所求的最值結論得到初中所學的函數方法和方程方法，能體現學生的發散思維;從多種解題方法中選擇最佳的一種解法，能體現學生的集中思維;若學生能將原題通過條件、結論、背景等的改變而編制一系列的變式題，則能體現他們的集中思維和發散思維. 由此可見，無論是新概念的引入還是習題的解答，集中思維和發散思維都在不自覺中交替使用，將初中階段的知識集中，在高中階段發散，讓初升高的知識無縫銜接.

5. 知識的網絡化、結構化

教育心理學家布魯納強調，“不論我們選教什么學科，務必使學生理解該學科的基本結構. ‘教學’與其說是單純地掌握事實和技巧，不如說是教授和學習結構”;他還指出，“掌握事物的結構，就是以允許許多別的東西與它有意義地聯系起來的方式去理解它. 簡單地說，學習結構就是學習事物是怎樣相互關聯的. ”所以筆者認為，在初升高的知識銜接過程中，知識銜接點作為知識網絡、知識結構形成的節點，對其進行挖掘和分析而建構知識網絡、知識結構更加能夠幫助學生體驗知識的相互關聯，這種體驗過程所積累的經驗對學生將來的學習和發展具有積極的引導作用，也是學生自我導向學習的關鍵環節之一.

總而言之，初升高的知識銜接，需要初中教師和高中教師的相互教學體驗，在實踐教學過程中以夯實學生的基礎知識為出發點，找尋知識銜接點;在分析銜接點時，不能簡單地以知識點為載體進行技巧輸出，而應該以培養和發展學生的數學思維為教學主線.

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