喚醒思維，讓數學學習走向深度

王惠清

[摘? 要] 數學教學是數學活動的教學，數學活動應體現在數學思維的活動中. 數學學習不是簡單的記憶、簡單的套路，而是要對數學知識有融會貫通的本質理解. 因此，高中數學課堂需要教師精心進行教學設計，探尋更加科學的途徑以喚醒學生的思維，使學生能夠主動“經歷”知識發生、發展的過程. 在這個過程中，知識成為學生能夠觀察、思考、探索、操作的對象，學生成為教學的主體，促使數學學習走向深度，真正達到數學核心素養的落地生根.

[關鍵詞] 高中數學;學生思維;深度學習

《普通高中數學課程標準（2017年版）》（以下簡稱《新課標》）提出：“高中數學教學以發展學生數學學科核心素養為導向，創設合適的教學情境，啟發學生思考，引導學生把握數學內容的本質.”然而在當前的數學課堂中，仍然存在著大量的機械學習，以“狂練”替代理解，知其然而不知其所以然的淺層的學習現象，使得數學核心素養在教學中無法落地生根. 這就要求一線數學教師在進行教學設計時尋求更為合理的途徑，讓學生在教師的引領下，圍繞有挑戰性的學習主題，全身心地積極參與，喚醒思維，體驗成功，獲得發展，促使數學學習走向深度. 文章結合筆者多年的教學經驗，對準《新課標》，試從數學課堂探究的不同環節的設計談一談教學中如何喚醒學生的思維，促進學生走向深度學習.

[?] 創設問題情境，在概念發生發展的過程中喚醒學生的思維

數學概念是數學知識體系中的核心環節，對培養學生的數學抽象素養具有舉足輕重的作用. 喚醒學生的思維走向深度學習的首要環節是建立數學新舊知識之間的有效聯系，通過設計熟悉有趣的問題情境，讓學生體驗數學和理解數學.

案例1 在“任意角”的教學設計中創設教學情境.

問題1：在初中我們是怎樣定義角的？（從如下的靜態和動態兩個角度定義，見表1）

問題2：平面內一條射線繞其端點旋轉一周后回到原來的位置，所形成的角是什么角？如果繼續旋轉下去，所形成的圖形還是角嗎？為什么？

問題3：生活中存在著上述的角嗎？你能試著舉出一些實例嗎？我們又該如何去理解它們呢？

設計意圖：通過問題1回顧舊知，并進一步提出問題2，使角的概念更加一般化，讓學生自我總結初中對角的定義的優劣性——形象、直觀、容易理解，但它是靜態的，具有一定的局限性——從而引發思維沖突，激發學生主動去研究并推廣角的概念，通過問題3聯系生活實際，體會“用數學的眼光觀察世界”.

[?] 把握數學本質，在整體理解新舊知識中喚醒學生的思維

新課標修訂組組長史寧中教授曾說：“要培養學生的核心素養，在數學教育中至少應當遵循兩個原則，一是把握數學知識本質;二是設計并實施合理的教學活動. ”因此，教學中需要基于學生的認知基礎選定一個明確的認知主線，課程整體教學設計能夠引發學生深度思考數學問題的本質.

案例2 在“圓的一般方程”教學設計中把握其本質.

問題1：圓的標準方程是什么？

問題2：從代數的角度看，圓的標準方程是什么方程？（二元二次方程）

問題3：形如x2+y2+Dx+Ey+F=0的方程一定表示圓嗎？

通過“問題串”的形式引發學生走向深度思考. 對于問題3，組織學生小組討論，展示并匯報結論：通過配方，得

x+

+

y+

=（D2+E2-4F），所以方程x2+y2+Dx+Ey+F=0（D2+E2-4F>0）叫作圓的一般方程. 此處揭示課題，并進一步說明兩點：一是為什么要稱其為一般方程（聯系直線方程），二是兩種方程（圓的方程的兩種形式）的比較（從特征與互化的角度）.

設計意圖：圓的一般方程是在學生學習了圓的標準方程后的一節內容，這兩種方程只是圓的方程的兩種不同的表示. 在本節課中采用“問題串”的教學設計，通過新舊知識的對比，理清圓的一般方程是什么;有了圓的標準方程，為什么還要講圓的一般方程;圓的標準方程與一般方程有怎樣的聯系和本質區別. 清晰的邏輯關系、緊扣遞進的“問題鏈”為學生設計了一條明確的認知主線，這種認知主線的確定，使得學生感覺本節課的生成自然和諧，本章的學習思路清楚明晰.

[?] 滲透數學文化，在激發興趣主動學習中喚醒學生的思維

新課標強調，在教學過程中要將數學文化納入數學教育目標之中，因為基于數學文化的數學探究是實現數學知識再發現、再創造的有效途徑，有助于學生激發學習興趣、開闊視野，從而喚醒學生的思維，促使學生理解數學，提高數學核心素養.

案例3 在“二項式系數的性質及應用”教學設計中滲透數學文化.

（1）展示成果說楊輝：（課前開展學習活動）了解“楊輝三角”的數學背景、歷史地位和實際作用，探究并發現“楊輝三角”所蘊含的數學規律.

①引導學生從各種角度談自己對“楊輝三角”的認識和了解;

②各小組結合課前準備展示自己探究和發現的成果（“楊輝三角”所蘊含的數學規律）.

（2）感知規律談性質：通過師生合作、小組討論、探究證明、展示提煉，學生發現了“楊輝三角”的一些數學規律，如“楊輝三角”的第n行數字就是（a+b）n展開式的二項式系數，這些系數具有對稱性、和式關系、增減性及最大值等性質.

設計意圖：《新課標》下的高中數學教學及考查，注重數學文化和數學知識的融合. 本節課中通過學生課外探究活動的開展——了解“楊輝三角”，探究、發現“楊輝三角”所蘊含的數學規律，弘揚中華數學文化，喚醒了學生的學習熱情. 尤為重要的是，在本節課展示探究成果的過程中，為尋求二項式系數的性質，運用師生合作、小組討論、探究證明、展示提煉的教學方法，激起了學生的認知沖突，為培養學生的批判性思維、促進深度思考及深度學習做好鋪墊.

[?] 經歷合情推理，在促進數學知識遷移中喚醒學生的思維

數學教育家G·波利亞曾說：“類比是一個偉大的引路人.”不同的數學知識的形成往往是具有一定相似性的，所以在知識的學習過程中獲得的方法、思想、能力，對后續知識的學習可能形成有效遷移，這種遷移能力也是學生深度學習的集中體現.

案例4 通過類比“等差數列的前n項和”學習“等比數列的前n項和”.

探究：求S=1+2+22+23+…+263.

點撥：求等差數列的前n項和的方法有哪些？在推導過程中涉及的處理策略（去“省略號”），本質是整體觀察、等式構造、方程思想、化繁為簡、化無限為有限，把原本不熟悉的無限求和問題轉化為熟悉易解的有限求和問題.

討論：請同學們思考一下，是否可以類比等差數列的前n項和的推導方法，根據等比數列中各項之間的關系和特點，也可以構造一個式子，以兩式運算達到求和的目的呢？此處安排學生進行小組討論.

結果：構造式子2S=2+22+23+…+263+264，與式子S=1+2+22+23+…+263相減.

一般化：求S=a+aq+aq2+…+aqn-1.

設計意圖：等比數列的前n項和公式的推導實質是把“加”變成了“減”，這樣的轉化在教師看來是“順理成章”“自然貼切”的，但是從學生的角度來看，卻是“突如其來”“不可思議”的，所以這節課的設計就該在這里花費力氣：通過學生已經學習過的等差數列的求和推導方法讓其思考討論，由教師引導學生類比聯想倒序相加法求和，運用數學中重要的轉化思想，通過構造法發現上述解法.

當然，喚醒學生思維的手段不能局限于以上四種. 對于不同的課型，可以借助于數學實驗、語言表達、經驗遷移、研題編題等手段喚醒學生的思維;對于課堂中不同的階段，可以通過教師的限時講授、學生的合作探究、合作小組代表的展示來喚醒學生的思維. 只有喚醒學生的思維，促使學習走向深度，才能真正讓學生感悟數學的科學價值、應用價值、文化價值和審美價值，讓數學知識的構建更加合理，讓認知結構的形成更加穩固，讓核心素養的培育成為現實.

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