解構教材重設課堂，讓素養落地生根

李忠良

[摘? 要] 靈巧的數學課堂需要教師靈巧的設計，從情景引入到知識生成，從師生互動到課堂總結，無不需要教師精準地解讀教材，嚴謹地把控知識特征以及細致、靈活地引導和銜接學生活動. 文章以“任意角的三角函數”教學為例，探討教學設計應如何進行，才能潛移默化地培養學生的數學素養.

[關鍵詞] 靈動課堂;靈巧設計;靈活互動;合作探險;課堂生成;數學素養

筆者在2014年江蘇省第9屆高中數學高級論壇中開設了這節公開課，并得到了全省專家的好評，2018年筆者在教育部高中數學新教材（蘇教版）審讀試教工作中試教并匯報了這節課. 今天筆者以自身的上課經歷和二次教學設計為依托，結合數學學科素養的培養，再次談一談自己的想法和感悟，力求讓數學素養潛移默化地在課堂中落地生根，懇請讀者和專家斧正.

數學素養雖基于我們常說的知識技能，但又高于知識技能. 數學素養包含廣泛，筆者認為其中有一項重要的指標是學生要具備這樣一種敢于探索和勇于思考的“主動性”，具備一種善于解決問題的“傾向性”. 一節好的課堂不是簡單的復制教材，教師的智慧應體現在對教材的再開發、再創造，讓學生真正有效地經歷認知過程，并在這個過程中獲得愉快的經歷、學習的動力、求知的欲望，從而逐漸養成著數學的素養.

[?] 教學設計前期思考

1. 宏觀上確定“一條主線、兩個邏輯段、三個學生活動環節”的整體設計框架

總體來說筆者對本節課的設計思路是：一條主線、兩個邏輯段、三個學生活動環節.

一條主線便是任意角三角函數的定義推廣的必要性及其價值，也就是開頭的課堂引入要突出 “必要性”，而課堂后面的小節，又要回歸到新定義的作用，升華其價值.

兩個邏輯段是指筆者嘗試性地把本節課分成這樣兩個階段，課堂前半段講的是任意一個已知角的正弦值、余弦值、正切值的定義，而非三角函數的定義，為了區分概念，不妨稱之為三角函數值的定義. 為了證實自己的想法，筆者查閱了資料，發現在很早以前的一些版本的課本里也稱之為“三角比”，是“數值”而非“函數”. 課堂后半段才突出其“函數”性，當α變化時，正弦值也隨之變化，這種對應關系是否符合函數的定義. 從時間的分配上來看，第一階段對于定義的學習和強化應是主體部分，占相對多的時間. 另外一點就是，因為學生活動相對豐富，考慮到時間關系，筆者把三角函數值在四個象限的正負判斷問題安排到了下一節課，本節課暫不做討論. 既然是探索，就允許進行大膽的創新，給大家展示一節不拘一格的教學設計.

三個學生活動環節是指本節課預設的學生活動的發生點. 誠然，廣義的學生活動是時時刻刻都在發生的，只要學生的思維在跟教師發生碰撞，都可以稱之為學生活動，抑或是任意時刻的舉手提問，都會產生即興的課堂活動，但這里筆者說的三次學生活動是教師預設的主動留給學生分組討論并交流展示的活動過程. 其中，第一次活動是情境引入時，預設結果是通過學生活動，引出本節課推廣三角函數定義的必要性. 第二次活動預設是學生閱讀課本討論教師給出的三個小問題，比較高中的定義與初中的定義的區別與聯系，需要指出的是，考慮到三角函數的定義在數學發展史中本就是一個復雜而漫長的過程，不是一蹴而就的，很久以前科學家甚至只能認為行星軌道是圓形，經過長時間摸索，直到歐拉把三角函數定義為一種比值，用比值來刻畫三角函數值，進而出現sinα=的模型，所以在“為什么如此定義三角函數值”的問題上，沒有安排學生活動，而是改為閱讀課本的描述，討論問題，對比初高中所學三角函數定義，欣賞推廣后定義的美感. 第三次活動預設是在課堂的后半段，討論當α變化時，正弦值也隨之變化，這種對應關系是否符合函數的定義.

2. 微觀上逐字逐句研讀課本，解構教材

課本上的表述非常簡潔精煉，正因如此，有些詞語和字母含義的解讀就需要我們在推敲課本內容時做到“咬文嚼字”. 本節課里筆者認為有兩個地方需要教師仔細推敲，一處是，在課堂的前半段里，雖然α是一個任意角，但卻暫時只看做是一個常量，按照定義分別求出的sinα，cosα，tanα的值，稱之為角α的“正弦值、余弦值、正切值”，此時稱其為角α的“三角函數值”而非“三角函數”，學生是容易接受的. 經考證在曾經的老課本里也曾叫做“三角比”. 另一處是，當α變化時，在考慮α與其正弦值的對應關系是否構成函數關系時，α充當“自變量x”的角色，而來充當“因變量y”的角色，兩處的y的含義是不同的， “”中的y只是α終邊上一點的縱坐標，而非函數定義中的因變量y，在實踐中，學生是容易混淆的. 另外，類比函數定義中的“y=f（x）”的形式結構，我們可以把正弦函數寫成“y=sinα”的形式，這樣從結構上，相對于課本上的“sinα是正弦函數”，學生是容易接受的，學生對新概念的接受過程需要教師細致入微的指點.

精彩發生在課堂，前提是教師把工夫花在課外，概括能力和邏輯分析能力都是數學素養的內涵，教師只有把要傳授給學生的東西自己先準備好，課堂教學才能有事半功倍的效果.

[?] 教學設計片段展示

1. 重設情境引入

首先，正弦、余弦、正切這些概念學生并不陌生，因為學生初中就學習過銳角三角函數值的定義，已經可以在直角三角形里通過邊長比值求其中一個銳角的正弦值、余弦值以及正切值，而本節課要學習的是任意角的三角函數，從銳角到任意角，我們不禁思考為什么要推廣呢？是哪些問題促使我們必須學習任意角的三角函數的定義的呢？不解決這個問題，本節課的引入就會顯得生硬，不自然.

【設計一】

剛參加工作時，筆者是這樣引入的，提供大家熟知的摩天輪情境，過程如下：

播放摩天輪圖片.

教師提問：“哪位同學坐過摩天輪？坐摩天輪有什么感覺？”

學生的答案里基本上會體現出“圓周運動”“高度在變化”“高度的變化不是勻速的”“高度的變化和角度有關”等信息.

教師提問：“為什么會有這些感覺呢，既然高度在變化，角度也在變化，那么它們之間有關系嗎？”“假如某一時刻你停在某一個位置，你可以借助相應的角來計算你所處的高度嗎？聯想到剛才課前閱讀中提到的，數學家和物理學家們當年在研究天文學的過程中當需要確定圓周運動上某一點的位置的時候也遇到了這個問題，他們是怎么解決的呢？我們今天就來探討這個問題. ”

以上的引入方式只能說中規中矩，細細琢磨，這不能讓學生感受到因發現而獲得數學的興奮. 本來借助初中的定義也可以計算高度和銳角的關系，為什么一定要推廣呢？不把這個“必要性”引出來，這個情境引入就起不到我們最想要的效果，甚至有“為了引入而引入”之嫌.

【設計二】

在2014年江蘇省第9屆高中數學高級論壇中筆者又再次開設了這節公開課，在反復琢磨和推敲后，做了一個大膽的嘗試，為了引出“必要性”，就要把初中所學的方法的“短板”引出來，于是筆者決定在情境引入這個環節增加3～5分鐘的學生活動.

在把摩天輪問題抽象成平面幾何圖形并建立如圖所示的直角坐標系之后，給出如圖1和圖2的兩種位置情況，已知摩天輪中心O離地面高度為50 m，摩天輪半徑為40 m，即OP=40，讓學生討論并展示如何求P點位置離地面的高度.

學生經過簡單討論基本上可以找到這樣的方法：圖1中，構造出Rt△OMP，則∠MOP=30°，于是MP=OPsin30°=20，P點位置離地面的高度為MP+50=70（m）;圖2中，構造出Rt△OMP，則∠MOP=30°，于是MP=OPsin30°=20，P點位置離地面的高度為50-MP=30（m）.

此時教師應適時地提出這樣一個問題：“如果P位于第一象限或第四象限，是否也可以構造出相應的直角三角形，然后利用初中的銳角三角函數定義求出相應的長度，再用50加上或減去這個長度來解決呢？”“那么四個象限再加上坐標軸，我們只要分類討論，最后總是可以建立高度和角之間的關系的，只不過，這個方法實在太過煩瑣. 能否避開分類討論，用一個關系式來直接描述高度和角之間的關系呢？下面就讓我們打開課本，看看數學家們是怎么做的. ”此時就引出了初中定義的短板，和學習新定義的必要性，這個情境引入便較之前更有效地讓學生從已知問題過渡到了探索新知識的情境中來，實現了情境引入最核心的價值.

把生活中的問題抽象為數學問題，進而分析問題、解決問題，恰恰是數學建模能力的養成過程. 學生在做中學，在做中發現問題，獲得數學體驗，此時學生激發了求知欲，愿意去學，這不就是我們一直要培養的數學素養嗎？

2. 重設“問題串”引導學生活動

第一次學生活動前文中已探討，接下來筆者把課堂內容分成了兩個邏輯段，第一個邏輯段是任意一個已知角的正弦值、余弦值、正切值的定義;第二個邏輯段是當α變化時，正弦值也隨之變化，這種對應關系的“函數”性的確立. 流程大致為“閱讀課本—分組討論教師拋出的問題—交流展示—教師點評和總結”，于是兩次問題串的設計，便是達成本節課堂內容最重要的環節之一.

連續遞進的問題以保持學生們處于連續“忙碌”的動腦狀態，并能很好地點燃他們的好奇心和想象力，可以不停地培養學生的求知欲，燃起對數學的熱情.

第一階段以強化定義為主，問題串設計及教學過程如下.

教師過渡語言：“現在把時間交給你，請大家閱讀課本第11頁（蘇教版必修4），從開頭至本頁倒數第二行，并結合課本上的三個圖形，小組討論下面三個問題. ”

問題1：初中課本上是怎么定義銳角的正弦、余弦、正切的？

問題2：在直角坐標系中，是如何定義銳角的正弦、余弦、正切的？

問題3：在直角坐標系中，是如何定義任意角的正弦、余弦、正切的？

問題4：課本上的定義和初中時定義的相同點和不同點是什么？

學生展示的過程中，不可忽視教師的主導地位，教師要一邊傾聽學生的觀點，隨機應變，一邊結合學生所說，強化定義.

第二階段突出“函數”性，問題串設計及教學過程如下.

教師過渡語言：“有了前面的基礎，我想對大家提出更高的要求，下面，請同學們閱讀課本（蘇教版必修4）從第11頁最后一行至第12頁第5行，并思考下面兩個問題. ”

問題5：函數的定義是什么，你還記得嗎？你能提取出哪些關鍵詞？

問題6：當α確定時，正弦值sinα=的大小與P點的位置有關系嗎？

問題7：當α變化時，正弦值、余弦值、正切值隨之變化，這種對應關系符合函數定義中對“對應”的刻畫嗎？如果是，誰來充當“自變量”的角色，誰來充當“因變量”的角色，“法則”是指的什么？

問題一環扣一環，每一個問題都在為下面的問題“鋪設臺階”，而教師就是“幕后推手”. 這樣的問題解答，學生們有空間和時間去思考，想辦法解決，給了學生發展感知的空間，讓學生在每個問題中找到自己的“驚訝”和“頓悟”，從而更迫切地想解決下一個問題，在一個個問題中培養認知能力.

3. 靈活發揮教師主導和銜接作用

第一階段中，在和學生的交流過程中，教師應有意識地強化定義，筆者的敘述設計如下：“這里面半徑是OP的長度，如果知道橫坐標和縱坐標，可以用勾股定理來計算r=（r>0）（注意這里r>0），P點不能與原點重合，定義中一共有幾個量？四個，隱含著一個r=（r>0），那么，是不是知道一些量，就可以去求另一些量呢？比如在sinα=中，如果知道y=2，r=3，我們就可以求出sinα=;反之，如果知道sinα=，r=10，就可以求出y=8. 而例1不正是在告訴我們這個道理嗎！”接下來便是筆者對例1的板書、一組口答題的互動，以及學生對練習的展示，在這個過程中，進一步強化定義的核心價值和使用規范.

第二階段中，筆者在學生的回答中梳理出函數概念的幾個關鍵詞，比如“非空數集”“每一個x”“唯一確定的y”，函數定義的核心是“對應”.

問題6的解決就是針對“唯一確定”而設計的，用“比值”來定義三角函數值的其中一個好處便是，當α確定時，正弦值sinα=的大小擺脫了P點的選取位置的影響，實現了“對任意一個確定的α，正弦值sinα=是唯一確定的. 問題7仍然圍繞著函數的概念在討論，類比函數y=f（x）和正弦函數y=sinα的形式結構，α充當“自變量x”的角色，而正弦值sinα即來充當“因變量y”的角色，“sin（）”充當符號 “f（）”的角色，其法則便是剛剛所學的“找終邊、選點、求坐標、算比值”的這樣一個過程. 需要給學生強調的是，中的y只是一個縱坐標，而不是函數概念中的因變量y，課本上字母的使用十分簡潔，學生容易產生誤解，教師需要解釋清楚.

在討論完最后一個問題“既然三角函數也是函數，那么它們的定義域分別是什么”后，本節課的新知探索就基本完成了.

學貴有疑，學貴有問，通過問題串逐步引導學生學會利用抽象與概括、歸納與演繹等思想方法，有效地提高學生的理性思維核心素養. 當學生討論問題時出現沖突、概念不清時，教師及時答疑解惑，這是教學的靈魂，這是機器和軟件所不能代替的. 通過教師的解釋和引導，讓學生的困惑得以解除，從而提高學生獲得分析問題能力的素養，讓學生的“尖叫聲”更加真實，盡顯頓悟之藝術.

[?] 對教學設計的反思

1. 大膽解構教材，實現高效的“概念過渡”

我們知道，從常量數學到變量數學，其過渡是不容易的. 無論是本文所用的蘇教版還是人教版，課本里從“正弦”的定義到“正弦函數”的定義，都呈現得比較直接，跨度較大. 雖然上面的教學設計已經在重點解決這個問題，力爭讓知識銜接得更自然，但心中還是略有一點遺憾，也有一點思考，那就是，如果時間允許，在“正弦”的定義和“正弦函數”的定義之間，在課本例題的基礎上再加一道例題“利用正弦定義，求角的正弦值，進而舉一反三求角，，的正弦值”作為知識的過渡，也許會讓知識的生成更自然，讓學生感受到樸素的變化關系，每一次使用定義的過程就是后面正弦函數“法則”的一次呈現. 巧合的是，在最新版的蘇教版數學教材中，已經加入了這樣一個例題.

2. 靈動的課堂有助于激發更多的課堂的生成

有一個小插曲使筆者深感教師不可太“強勢”，學生展示的過程中，教師不能強行引導學生朝著自己設計的方向走，這種強行“扶著走”的場面看似熱鬧，其實卻掩蓋了學生自己主動思考問題的能力和積極性. 在一次開設這節公開課的過程中，筆者遇到過這樣的問題，當問到“那你覺得高中的定義和初中的定義哪個有優勢”的時候，一個學生說“初中的有優勢”，其他學生感到詫異，因為這明顯不是教師“想要”的答案，教師想要的答案應該是“初中只能求銳角，現在能求任意角;初中用的是長度，高中用的是坐標，長度是個正值，坐標是有正負的”等等. 但是筆者抓住機會肯定了他：“那當然了，我也覺得初中的定義好，因為我用著熟練啊，而且，如果它不好，那為什么要先學它呢？高中的定義你覺得麻煩，原因是我們今天第一次學習，尚不熟悉，當有一天你可以熟練使用之后，你也會喜歡上它. 事實上，高中的定義包含著初中的定義，這也是推廣一個概念或結論必須遵循的原則. ”

對于教師來講，這一段師生交流反倒是一個意外的“驚喜”，當學生創造性地表達自己的思想和觀點時，我們要給學生展示自身思維的機會. 這有利于學生思維的迸發，在思維的碰撞中，數學素養已悄然落地.

3. 重設知識拓展，助力數學素養落實

在本節課的教學設計里，如果條件允許，筆者愿意加上一段基于數學發展史角度的總結陳述，對學生的知識體系建構是有益的. 在數學發展史中，三角函數形成的過程是漫長的，先有生活中的需求，然后人們經過思索產生一個靈感，嘗試建立它們之間的等量關系. 在笛卡爾發明坐標系之后，和其他很多學科一樣，三角函數也得以發展和完善. 當然，要實現所建立函數的合理性，也是經過漫長的探索，比如“唯一確定”如何實現等，其出現過好多個版本的定義. 直到1748年，歐拉把三角函數定義為一種比值，用比值來刻畫就完美地擺脫了選取點的距離的影響，后來才出現了sinα=的模型. 在很多科學家眼中，三角函數的出現為函數大家庭提供了一種周期性的數學模型，很好地豐富了函數這個“大家庭”. 這個過程中每一步的前進都耗費了數學家們無數的心血，我們今天可以看得更清楚，是因為我們站在了巨人的肩膀上.

如果學生了解相應的數學文化背景，會對其理解新知提供巨大的幫助，同時，當數學文化真正到達課堂，融入教學之時，學生也必然會進一步理解數學，熱愛數學.

[?] 結束語

在數學課堂上，教師應讓學生真正有效地經歷認知過程，讓他們感受到數學是有活力的，充滿著有趣的問題和新的思考方式，以激發他們學習更多東西的欲望，更好地培養他們的數學學習能力，從而使他們慢慢養成一種積極的學習狀態. 一旦學生具備了這種主動性，他們的數學素養就切實地提高了.

每個學生都有獲得數學素養的需求和能力，開始時的表達效果可能還不是最終的素養體現，但筆者相信，講授數學的主要目的是培養學生的數學思考能力，并幫其轉換成數學核心素養. 從教師靈巧的教學設計開始，讓數學素養落地生根.

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