高中數學解題教學的外顯與內化
——以幾何題為例

劉錦發

（上杭縣第一中學，福建 龍巖 364200）

數學解題教學是以數學問題為載體、學情為起點，通過深入分析問題的內在本質，總結解決的一般方法，讓學生理解數學、學會“數學的思維”的教學活動.它關注的不單是解題的“結果”，更在乎解題的“過程”，引領學生體驗“探路”的經歷是解題教學的關鍵.沒有人懷疑過解題教學對數學學習的重要作用，但不同的人對解題教學的理解和操作卻有很大差別.不少教師有重一招一式的歸類，輕思想方法的提煉；多講“怎樣解”、少問“為什么這樣解”等教學弊端，當引以為戒.

一、教學理念應從“教解法”轉向“教想法”

學生解題受阻多數源于所學知識與需要解決的問題無法鏈接，思考過程中出現知識斷層，或者所用知識與解題缺乏一定的邏輯關系.因此，解題教學要善于幫助學生消除思維定式的負遷移，在問題的疑難處設置問題串，誘導學生深入分析，讓其知道解法的由來，盡量避免直接拋出解法的做法.

（1）將C 和L 化為直角坐標方程；（2）求C 上的點到L 距離的最小值.

本題條件中所給的橢圓參數方程和課本所學的離心角為變量的形式有明顯不同，這是學生解題障礙之處.教學中，教師可通過問題的分解來引導學生“探路”：

二、課堂立意應從“解題技能”轉向“思想方法”

數學是思維的體操.解題教學不只是教學生會解這一個題目，不可只強調解題的技能技巧，而應全方位、多角度地引導學生深入挖掘其蘊含的思想和方法，要通過問題的解決把知識與知識之間的關系緊密聯系起來，并在此過程中獲得數學活動的基本經驗.只有讓學生充分感悟其中的數學思想，才能使學生獲得更多的積累和提升.

例2：直線L過點P(-4,0)，與圓C:(x-1)2+y2=5交于A、B兩點，A是線段PB的中點，求直線L方程.

這是某老師在一次解題教學公開課的案例，大致過程如下：

上述教學過程更多的是教師展示解題技能，學生除了“贊嘆”之外可能就是“茫然”，是一題多解教學的常見誤區（如法4 圓冪定理幾乎沒有學生知道，法5 也很少學生可以想到）.解題教學要幫助學生理清各種解法的思考視角，還要對不同方法進行比對，使之產生頓悟（本題中的頓悟就是“方程思想”），從而讓學生明白：“方程思想”是解決解析幾何題的基本思想方法.如法3 就是“方程思想”下的簡解，不會給學生留下“總是用韋達定理”的錯覺.而“方程思想”恰恰是本題教學需要達到的高度，而該教師缺乏這樣的意識，沒有把教學中核心和本質的東西點出來，是明顯的教學不足.

三、問題解決應從“教師展示”轉向“學生探究”

教學是教師與學生之間的雙向活動，在教師主導的前提下，更需要增強學生的主體地位，讓學生深度學習才能有效提升思考能力.解題教學不是讓教師展示解題結果，而要引導學生積極參與解題全過程，經歷如何決定解題的方向、如何選擇解題的方法、如何完成解題的方案等過程，誘導學生主動深入地學習.將知識的傳遞過程轉變為引領學生共同探究的過程，讓教師思維“可視化”，從中學會“找路”的方法.

例3：平面單位向量a、b滿足a⊥b，且(a-c)·(b-c)=0，求向量c的模的取值范圍.

此題很多學生覺得無從下手，教師在教學時，可先引導學生思考：

（1）題目知道的條件有哪些？

（2）需要探求的問題是什么？

（3）題目與什么數學概念相關？

（4）此題轉化的關鍵是什么？

（5）方程(a-c)·（b-c)=0 有哪些處理策略？

經過一番探究之后，再讓有思路的同學說“思維過程”：

施教之功，貴在引路，妙在開竅.該教師的教學沒有自己拋出題目答案，而是通過剖析題目要素，促進學生探尋各信息間的連接點，在學生說“思維過程”的基礎上，逐步深入對問題本質的認識，慢慢形成解題方案.在互動的過程中，讓不同學生之間的思維不斷碰撞，并從中發現“數化”和“形化”是平面向量問題的常用處理策略.

四、能力發展應從“解決問題”轉向“審題和反思”

解題教學的關鍵不是“解題”，而是“教學”.教師要善于讓學生知曉：條件怎樣發散？結論怎樣集中？怎樣從條件中獲取怎樣解這道題的邏輯起點、推理目標及溝通起點與目標之間聯系的更多信息；并在解后能將自己的解題活動作為思考的對象.在總結提升中實現從“一題”到“一類”的轉變，才能真正學會分析問題和解決問題的方法，學會審題和解后反思是學生能力發展的關鍵.

反思3：思維障礙是什么?解決途徑有哪些？用到了哪些方法？這些方法是如何想到的?它們體現了什么數學思想？

經歷上述反思過程，能幫助學生理順解題的邏輯關系，形成規范化思考問題的品質；領會運算對象的多樣性和數學運算應用的廣泛性，從中提煉對以后的解題有指導意義的信息，涵育數學建模素養.

五、解后反思應從“流于形式”轉向“真正落實”

解題教學是一個遞進的過程，沒有讓學生經歷“感”“悟”，教師講得再透徹，學生在作業或考試中未必能快速正確解題.有些教師淺嘗輒止，講完一題馬上就講下一題.其實，只有真正落實解后反思，通過問題將學生引向反思解題過程的思維偏差處、易混易錯點、關鍵點是如何突破的，方法可否進行完善和優化，題目的背景是什么，能否進行變式、推廣和延伸等，特別要重視對問題本身和學生解題過程的剖析，才能提高辨別能力和解題應對能力，將學生的思維引向更深處.

例5：點P(1,2)在拋物線C：y2=2px上，直線l經過點Q(0,1)，且與拋物線交于A,B兩點，直線PA、PB 分別交y 軸于點M,N.

本題是解析幾何中經典的定值問題，教師可從以下途徑引導學生解后反思：

反思1：直線PQ與拋物線的位置關系是什么？（容易驗證直線PQ是拋物線的切線，同時y軸也是該拋物線的切線）.

反思2：處理定點、定值問題的通性通法是什么？（通過設參數或取特殊值來確定，或將問題涉及的幾何式轉化為代數式、三角問題，再證明該式是恒定的）.

反思3：若將拋物線改為橢圓、雙曲線，結論是否成立？（結論仍然成立：設Q點是圓錐曲線K“外部”任意一點，過點Q分別引圓錐曲線K的兩條切線QP,QR，切點分別為P,R，過點Q 分別引圓錐曲線K的“割線”，與其交于A,B兩點，直線PA、PB與另一條切線QR交于M,N，若

反思4：如果圓錐曲線的兩條切線改為兩條割線，結論是否成立？（結論仍然成立：設ANCD是圓錐曲線K的內接四邊形，直線AB,CD相交于點O，過O任作一直線l與K交于R,S兩點，且與直線AC,BD分別相交于P,Q，則

設計這樣的問題讓學生去反思，能有效調動學生主動深入思考，驅動學生尋找試題在高等數學中仿射幾何的背景，在問題的拓展與變式過程中探究不變的本質，在不變的本質中尋找變的規律性，才能有效防止學生套題型、機械模仿現象的發生，也才能促進學生“四基”的形成和“四能”的提升.

數學解題教學策略多種多樣，但必須得法！除了上述策略之外，還必須基于學情，要理解學生，要有站在學生的立場和循序漸進的恒心，讓學生有“說”的機會、“思”的途徑、“問”的時間、“悟”的時間，才能將外顯的解題教學活動內化為學生的思維活動.