問題驅動 促進初中生函數圖像理解
——以《二次函數的圖像與性質》第三課時為例

黃和悅

（三明教育學院，福建 三明 365000）

數學課程標準指出，要讓學生在現實中和已有知識的基礎上體驗和理解數學知識.由此創設問題情境，引發學生自我意識的產生，讓學生獲得自我探索、自我思考、自我表現的實踐機會，這種方式已成為數學有效教學活動中的一種策略，越來越得到教師的關注.數學教學中教師所創設問題，要激發學生學習的主動性和創造性，除了點撥學生的思路中，更是開啟學生的思維.教學實際中為了突出“新、奇、趣”的效果，有的數學教師往往挖空心思地創設出花樣繁多的情境，而實質是以“書本為中心”“教師為中心”，或是讓學生在學習中變為被動和依賴，由于把握不當教學中的“度”，反而干擾了學生對知識真正理解，影響學生思維的發展.本文以北師大版九年級下冊《二次函數的圖像與性質（第三課時）》為例，談談如何創設有價值的數學問題來驅動和幫助學生對函數圖像學習的真正理解.

一、基于遷移運用教學情境的問題驅動——在喚醒中理解

學生在解決問題時感到最困難的是如何調動原有知識結構中已有的哪些知識，對已有的經驗與方法該如何選擇.那么，課堂教學應從學生學習起點出發創設問題情境，讓學生以一種積極的心態，喚醒已有知識和經驗嘗試解決新問題，同化新知識.關于知識的學習不宜強迫學生被動地接受，不能滿足教條式、機械地模仿與記憶，而應在原有經驗基礎上，經過新舊經驗相互作用而建構知識含義.

［教學片段1］

提出問題：對于二次函數y=3x2，y=3x2+1，y=3x2-1，并回答：

（1）從式子上看它們有什么相同點和不同點？

（2）從圖像上看它們有什么聯系？

師生活動：學生可畫出三個二次函數的大致圖像，在學生完成的同時，教師適時歸納總結.

設計意圖：通過此問題進行研究框架的搭建，幫助學生理解、體會函數研究的思想方法都是從特殊到一般，為后續學習其他二次函數的圖像和性質進行鋪墊.

教學思考：通過具體實例來復習，喚醒學生對二次函數y=ax2和y=ax2+k 的圖像及其性質的回憶，知道當a 相同時它們的圖像都是拋物線，并且形狀相同，只是位置不同，可以通過上下平移得到.引導學生既要從式子上又要從圖像上認識二次函數，為接下來學習其他二次函數圖像及其性質打下基礎，學生數形結合的意識和能力得以培養和促進.而實際教學中許多教師更多是采用問答式或直接進入新課，這種機械式、順理成章只體現在書本知識結構的編排和教師的想當然上，體現在學生身上，可能僅停留在結論的記憶上，對于方法、知識的遷移和運用，遠沒有達到靈活的程度.有典型意義的具體實例，可讓學生在直觀感知中，經歷分析、綜合、抽象、概括等過程，使學生既豐富了感性認識，又激起對觀察的強烈興趣，從而在學生認真觀察、思考的過程中，獲得生動表象，鞏固新知.

二、基于類比推理教學引入的問題驅動——在猜想中理解

教學中應探索數學的價值，培養數學的應用意識，其最基本的前提和條件就是教師如何引導學生尋找或發現數學問題.教師通過設置問題活動，讓學生在積極思考的過程中發現問題，類比地提出猜想，這既豐富數學活動經驗，又能培養解決問題能力和思維能力.使學生在后續學習和應用中，可以準確把握事物的本質、規律和相互關系，對知識既能記得準確而牢固，又能用得迅速而合理.

［教學片段2］

提出問題：那對于二次函數y=2x2與y=2（x-1）2，并回答：

（1）從式子上看它們有什么相同點和不同點？

（2）你能猜想一下從圖像上看它們會有什么聯系嗎？

師生活動：教師引導學生從式子觀察兩個二次函數的相同與不同，再類比、猜想出圖像之間的關系.

設計意圖：通過類比前面的知識，讓學生先從二次函數解析式上看出區別與聯系，由此大膽猜想出它們圖像之間的聯系，并自然會想通過畫圖來進一步驗證.

教學思考：上述過程留足學生學習的時間，在類比、交流、猜想等數學活動中，逐步形成自己對二次函數相關知識的理解和有效的學習策略.可能在這個過程中，由于學生之間存在個體差異，致使猜想的結論是錯誤的，但這并不影響后續的學習，反而通過驗證后，更能培養學生思維的深刻性.長期以來，我們的數學教學在定義、法則、公式、性質的形成過程是盡量少花時間，而把大量的時間用來做題，教學過程中有很強的應試色彩.殊不知這樣，學生對數學知識的本質特征很難理解，很難感受到知識形成的過程中的茫然與困惑，探索問題過程的艱辛與成敗，無法真正理解學習數學的意義.學生獲得數學結論通過合情推理經歷數學知識的發生發現的過程，也就是說進行數學知識的“再創造”過程，引導學生進行“火熱的思考”來化解數學“冰冷的美麗”，不僅可以開拓學生的視野和學到數學的方法，更加準確理解數學知識，加以融會貫通而獲得有關信息的學習.同時由于合情推理的結果具有似真性，所以需要學生再通過操作驗證或演繹推理等方式證明合情推理所得結果.這樣既讓學生感受到數學學科的嚴謹，形成科學的數學觀念，也能培養學生思維的發散性，解決問題的創造性.

三、基于動手操作教學實踐的問題驅動——在探究中理解

教學中有效的數學學習活動一定不是單純地把現成的知識給學生，或是讓學生簡單地進行模仿與記憶，數學學習過程應該是一個不斷探索和思考的過程.教師應創設問題情境，使學生有更多的機會去動手實踐、自主探索與合作交流，讓學生在生動活潑的、主動的和富有個性的學習過程，找出答案或得出結論，更好思考和理解數學，除了獲取信息和經驗外，掌握其背后的策略性東西.

［教學片段3］

提出問題：請同學們畫出二次函數y=2（x-1）2的圖像，并回答：

（1）通過觀察圖像，驗證一下你的猜想到底對不對呢？

圖1

師生活動：讓學生按畫圖像的步驟（列表、描點、連線）在自己的筆記本上畫圖，并根據所畫的圖像回答問題.教師則運用幾何畫板進行動態演示.

設計意圖：在學生已知二次函數y=2x2的圖像基礎上，再獨立畫出二次函數y=2（x-1）2的圖像，既可鞏固函數圖像的畫法，又能讓學生進一步驗證自己的猜想，直觀感受到兩個函數的差異，培養學生檢驗猜想或結論是否正確的途徑與方法.

教學思考：要充分認識到學生自身積極作用，是學習的主體、認識的主體、發展的主體，教師只有意識到“教”都是為了學生的“學”，深入思考“教什么和應該怎樣教”.但筆者在聽許多關于二次函數的圖像及性質的課時，發現許多教師都因學生在課堂上不好畫二次函數的圖像，要么忽略直接用幾何畫板來代替，要么直接看課本，或是課前準備好.其實，學生幾何直觀能力哪里來，畫圖能力和水平是很重要的，很難想象一個學生連圖形都不會畫，他的幾何直觀和空間想象能力會很好.學生針對所得的函數圖像，加上教師的幾何畫板演示，進行觀察、對比，理性的思考，驗證了自己的猜想，明確了兩個函數圖像之間的聯系，進而使學生在獲得數學理解的同時，在思維能力、情感態度與價值觀等方面也得到進步和發展.

四、基于拓展應用教學提升的問題驅動——在思維中理解

教學中應關注學生的最近發展區，提供給學生富有難度和挑戰性的活動和問題.為學生學習通過智慧地設計教學，重構教學，這不僅僅可以調動學生的積極性，也會生發出較“知識”更具生成性的因素，這或許是比任何預設的所謂知識的目標更為可貴的資源.這樣學生在知識應用中，是經過系統化的學習，形成自己的知識框架基礎上，去歸納和對比，迅速找到相應的內容，更好地解決問題.

［教學片段4］

提出問題：請同學們梳理前面所學的內容，并回答：（見圖2）

印度梨形孢對黑松幼苗生長量及其根系形態的動態影響 周曉瑩，梁玉，董智，李紅麗，張夢璇，韓秀峰，范小莉，房用(7-7)

（1）如果是二次函數y=2（x+1）2呢？那它的圖像可以由y=2x2的圖像得到嗎？

（2）結合二次函數y=2x2，y=2x2+1，y=2x2-1 圖像之間的關系，如圖2 你能得到二次函數y=2（x-1）2+1 的圖像與二次函數y=2（x-1）2的圖像的關系嗎？

（3）由此你能說出二次函數y=-3x2，y=-3（x+2）2，y=-3（x+2）2-3圖像之間關系嗎？

（4）請你歸納出二次函數y=a（x-h）2+k 與y=ax2圖像之間關系.

（5）請你類比二次函數y=ax2的特點，結合圖像探究出二次函數y=a（x-h）2+k 的性質特點.

圖2

師生活動：學生通過類比探究得出二次函數y=a（x-h）2+k 與y=ax2圖像之間關系及其性質特點.教師結合幾何畫板的演示和分析，幫助學生更好地理解.

設計意圖：通過以上幾個問題讓學生明白：只要a值相同，二次函數y=a（x-h）2+k 與y=ax2圖像就可通過平移得到，自然就可由二次函數y=ax2的性質特點探究出二次函數y=a（x-h）2+k 的性質特點.

教學思考：教師在引導學生得到二次函數y=a（xh）2+k 的圖像和性質特點時，一定要運用類比的思想，從數表上看——從圖上看——從解析式上看，最后落實到從解析上看就能得出.教師通過設置循序漸進的問題，讓學生形成新舊知識的對比和方法的遷移，只要學生是通過理性思維得到相應的結論，就能領悟到數學基礎知識、基本方法在解決問題時所起到的“支撐”作用，更能領悟到解決問題絕不能僅僅靠所謂的“靈感”，更要注重基礎知識、經驗、方法的運用.理解是一個思維漸進的過程，學習是不斷努力的結果，明白這點非常重要.教師應該避免讓學生對知識形成過程做“早期廢棄”，如果放棄了，就不存在思維，就不會付出更多的努力來達到理解.

五、結語

理解需要很多經歷，經常做或者處理某些事情，試圖尋找其來源，重視其過程，并積極參與，就會形成對事物的深層次理解.因此，教師要建立為理解而教學的理念，要設計出學生可參與的數學問題活動，讓他們能夠在已有知識基礎上去思考，分析知識、概念、法則，找出其中的內在規律，而不是簡單地做數學課本的數學題.在設計數學問題時，一般要注意下面幾點：

一是問題要有現實性.問題合理的設置，引發學生積極探索，既保證問題的思維含量，又能夠使學生在原有認知的基礎上，得出結論，形成能力.

二是問題要有探究性.設計具有探究性的數學問題，注重引導學生對知識的主動去經歷觀察、猜想、計算、推理、驗證等各種活動過程，不是簡單地得到結論，學生的抽象概括能力和合情推理能力得到充分發展.

三是問題要有創造性.學生通過探究具有創造性的數學問題，進行深度思考和學習，自主建構和完善知識結構，真正落實學生思維能力的培養.