核心素養(yǎng)視域下高中幾何與代數(shù)主線的教與學(xué)

林晴嵐 張潔 黃勇 陳柳娟

（福建教育學(xué)院數(shù)學(xué)教育研究所，福建 福州 350025）

普通高中數(shù)學(xué)課程根據(jù)新時(shí)代新時(shí)期社會發(fā)展需求、數(shù)學(xué)發(fā)展的新特點(diǎn)以及學(xué)生成長規(guī)律間的相互聯(lián)系，明確了發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的要求，重新構(gòu)建數(shù)學(xué)學(xué)科基礎(chǔ)教育課程主要內(nèi)容，優(yōu)化了數(shù)學(xué)課程的結(jié)構(gòu)，關(guān)注了數(shù)學(xué)邏輯體系、內(nèi)容主線、主題與核心內(nèi)容之間的關(guān)聯(lián)，每一條主線都精選重要、核心內(nèi)容，以主線的學(xué)習(xí)要求，借助特定的、情境化的、綜合性的數(shù)學(xué)活動(dòng)提出針對性的數(shù)學(xué)問題，幫助學(xué)生系統(tǒng)學(xué)習(xí)主線下的數(shù)學(xué)基本知識、基本數(shù)學(xué)思維方法，掌握數(shù)學(xué)應(yīng)用的相關(guān)技能，學(xué)會從多角度、用聯(lián)系的觀點(diǎn)看待事物，清晰地認(rèn)識數(shù)學(xué)的科學(xué)價(jià)值、應(yīng)用價(jià)值、人文價(jià)值和審美價(jià)值，提升學(xué)生的學(xué)習(xí)能力和綜合素養(yǎng).

高中數(shù)學(xué)課程四條主線主要內(nèi)容設(shè)置都以培育和發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)為主導(dǎo)，在課程結(jié)構(gòu)設(shè)置上，關(guān)注課程內(nèi)容的基礎(chǔ)性與發(fā)展性、多樣性與統(tǒng)一性、整體與局部、必修與選擇性必修等內(nèi)在聯(lián)系，準(zhǔn)確把握數(shù)學(xué)本質(zhì)，突出數(shù)學(xué)思想方法及充分發(fā)揮數(shù)學(xué)的育人功能.下面以幾何與代數(shù)主線為例試加闡釋.

一、幾何與代數(shù)主線的核心內(nèi)容定位

主線的課程內(nèi)容在必修課程中設(shè)置平面向量及其應(yīng)用、復(fù)數(shù)、立體幾何初步三個(gè)單元（如圖1），選擇性必修課程中設(shè)置空間向量與立體幾何、平面解析幾何兩個(gè)單元（圖2），由這五個(gè)單元內(nèi)容系統(tǒng)地將幾何圖形與代數(shù)運(yùn)算之間的有機(jī)融合.借助這五個(gè)單元內(nèi)容的系統(tǒng)學(xué)習(xí)來理解主線的核心知識、主要性質(zhì)、基本原理，學(xué)會運(yùn)用向量、復(fù)數(shù)、空間直角坐標(biāo)系等數(shù)學(xué)工具，解決與幾何、物理、代數(shù)、三角等相關(guān)聯(lián)的現(xiàn)實(shí)問題，掌握運(yùn)用幾何的圖“形”與代數(shù)運(yùn)“算”相結(jié)合的思維方式，從中感悟數(shù)學(xué)知識之間的關(guān)聯(lián)，促進(jìn)學(xué)生更好地認(rèn)識、理解數(shù)學(xué)的本質(zhì)，把握數(shù)學(xué)知識的整體性.

圖1

圖2

（一）平面向量及應(yīng)用

本單元的學(xué)習(xí)內(nèi)容（如圖3-1），通過對現(xiàn)實(shí)生活中船、飛機(jī)行程具體問題分析，借助幾何直觀，理解引入平面向量的必要性，認(rèn)識向量的物理意義、幾何意義、代數(shù)意義、幾何表示和基本要素；掌握平面向量基本定理的幾何表示方法和坐標(biāo)表示法，會從多種角度理解向量概念、運(yùn)算法則（如圖3-2）、運(yùn)算律（如向量的數(shù)乘運(yùn)算律、向量的數(shù)量積運(yùn)算律等），理解向量作為代數(shù)的對象，可以像數(shù)一樣進(jìn)行運(yùn)算，但與數(shù)的運(yùn)算有區(qū)別也有聯(lián)系，同時(shí)，向量又作為幾何的對象，刻畫了幾何圖形的基本要素.認(rèn)識引入向量豐富了研究問題的視角與方法，如從“方向”角度看，有平行向量共線向量相反向量、垂直向量，拓展了研究平行、相交、垂直等問題的視角；從“量化”角度看，有模相等的向量、向量的夾角等，拓展了研究有關(guān)夾角、幾何體的高等問題視角.領(lǐng)會運(yùn)用向量解決簡單的數(shù)學(xué)和物理問題的基本思路和手段，在解決問題過程中體會向量是實(shí)現(xiàn)幾何問題與代數(shù)問題相互轉(zhuǎn)化的強(qiáng)有力工具，逐步提升了直觀想象、邏輯推理和數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng).

圖3-1

圖3-2

（二）復(fù)數(shù)

復(fù)數(shù)單元的學(xué)習(xí)內(nèi)容（如圖4-1），從方程x2+1=0 有解的角度，理解引入復(fù)數(shù)與數(shù)學(xué)符號i的必要性，領(lǐng)會數(shù)系擴(kuò)充過程中理性思維的意義.領(lǐng)會復(fù)數(shù)的不同方式表示法、運(yùn)算法則及其幾何意義，感悟復(fù)數(shù)系與實(shí)數(shù)系之間仍然保持運(yùn)算律不變的聯(lián)系，把握實(shí)數(shù)系擴(kuò)充到復(fù)數(shù)系的過程中運(yùn)算“規(guī)則”的普適性和局限性；通過復(fù)數(shù)a+bi（a,b∈R）對應(yīng)平面直角坐標(biāo)系中的唯一一點(diǎn)Z（a,b）,連接OZ，確定了唯一向量，這向量的坐標(biāo)為（a,b）（如圖4-2），體會復(fù)數(shù)a+bi（a,b∈R）與一對有序?qū)崝?shù)（a,b）的一一對應(yīng)關(guān)系，感受復(fù)數(shù)、代數(shù)、平面向量、三角函數(shù)之間的聯(lián)系，理解復(fù)數(shù)作為一類重要的運(yùn)算對象，為解決實(shí)際問題提供了研究的新工具，體現(xiàn)了復(fù)數(shù)的廣泛應(yīng)用價(jià)值，助力于提升直觀想象、邏輯推理和數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng).

圖4-1

圖4-2

（三）立體幾何初步

立體幾何初步單元學(xué)習(xí)內(nèi)容（如圖5-1），先從基本立體圖形的整體觀察入手，認(rèn)識空間圖形；通過研究現(xiàn)實(shí)世界物體的形狀、大小與位置關(guān)系，結(jié)合現(xiàn)代信息技術(shù)手段，直觀的認(rèn)識柱、錐、臺、球及簡單組合體的結(jié)構(gòu)特征，了解一些簡單幾何體的表面積與體積的計(jì)算方法，學(xué)會從不同的角度觀察、思考構(gòu)成空間圖形的基本元素（如圖5-2）.會以長方體為空間圖形的基本研究載體，運(yùn)用幾何直觀、空間想象，從實(shí)物中抽象出幾何圖形位置關(guān)系（如線線、線面、面面平行與垂直等）、運(yùn)動(dòng)規(guī)律、形態(tài)變化，認(rèn)識和探索空間圖形的性質(zhì).會用圖形與集合語言正確表達(dá)空間點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系，通過推理論證、度量計(jì)算等方式幫助學(xué)生建立空間觀念.

圖5-1

圖5-2

（四）空間向量與立體幾何

本單元的學(xué)習(xí)內(nèi)容（如圖6）是在學(xué)生學(xué)習(xí)了平面直角坐標(biāo)系和平面向量的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步學(xué)習(xí)空間直角坐標(biāo)系和空間向量.以長方體為基本模型，通過具體問題解決過程中感受建立空間直角坐標(biāo)系與引入空間向量的必要性.以基本圖形為基礎(chǔ)，學(xué)會從“基本圖形”研究，到“變形圖形”研究，再到“綜合圖形”的研究；從經(jīng)歷平面向量推廣到空間向量的過程中，體會平面向量和空間向量的概念、運(yùn)算規(guī)則、基本定理以及應(yīng)用等方面的共性和差異，理解向量基本定理的本質(zhì)，感悟“基”的思想，學(xué)會運(yùn)用空間向量的方法研究空間基本圖形的位置關(guān)系和度量關(guān)系，掌握運(yùn)用空間向量方法解決立體幾何中的數(shù)學(xué)問題，充分認(rèn)識空間向量、空間直角坐標(biāo)系是研究空間幾何問題的有效工具，體會空間直角坐標(biāo)系與向量方法在研究立體幾何問題中的重要作用.

圖6

（五）平面解析幾何

本單元的學(xué)習(xí)內(nèi)容（如圖7），借助平面直角坐標(biāo)系，先從已認(rèn)識的直線、圓的幾何圖形開始，學(xué)習(xí)直線與圓的代數(shù)表達(dá)方式——方程，如：直線方程的一般式Ax+By+C=0（A、B不同時(shí)為0）、點(diǎn)斜式y(tǒng)-y1=k（xx1）、斜截式y(tǒng)=kx+b、圓有標(biāo)準(zhǔn)方程（x-a）2+（y-b）2=r2等，從中領(lǐng)會方程中的“數(shù)”和幾何中的“形”之間的內(nèi)在聯(lián)系，進(jìn)一步研究橢圓、雙曲線、拋物線的幾何特征，從學(xué)習(xí)橢圓、雙曲線、拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，如等，感悟在研究幾何圖形時(shí)所蘊(yùn)含解析幾何的數(shù)學(xué)思想方法，理解平面解析幾何的形成和發(fā)展，掌握用代數(shù)方法研究基礎(chǔ)圓錐曲線的性質(zhì)以及它們的位置關(guān)系的通性通法.

圖7

二、幾何與代數(shù)主線的教學(xué)視角

幾何與代數(shù)主線課程的研究內(nèi)容：將平面向量及其應(yīng)用、復(fù)數(shù)、立體幾何初步、空間向量與立體幾何、平面解析幾何這五部分單元內(nèi)容，以圖形與分類、基本圖形、圖形的基本性質(zhì)、研究圖形的基本思想方法、圖形的作用五個(gè)方面為整體研究基本路徑，借助幾何研究圖形，直觀形象易懂，代數(shù)研究數(shù)的運(yùn)算，遵循法則規(guī)律，自然、有機(jī)將“形”和“數(shù)”通過“幾何圖形”與“數(shù)學(xué)運(yùn)算”融合，促進(jìn)系統(tǒng)學(xué)習(xí)幾何與代數(shù)主線中核心的數(shù)學(xué)概念、圖形.

（一）從平面與空間兩個(gè)視角

一是借助平面直角坐標(biāo)系和平面向量從平面圖形角度研究有關(guān)直線、多邊形、圓、橢圓、雙曲線、拋物線的圖象和性質(zhì).如在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)可用一對有序?qū)崝?shù)（a,b）來表示，直線可以用二元一次方程ax+by+c=0（a·b≠0）表示，圓可以用二元二次方程（xa）2+（y-b）2=r2來 表示，橢圓可以用方程1(a＞b＞0)表示等；二是借助空間直角坐標(biāo)系和空間向量從空間圖形角度研究直線、平面、多面體（如四面體、長方體等）、旋轉(zhuǎn)體（球、柱、錐、臺等）.研究幾何圖形的分類，以及圖形與圖形間的相互位置關(guān)系、度量關(guān)系等性質(zhì)，從而掌握研究幾何圖形基本問題的基本思想方法（如：形數(shù)結(jié)合思想方法），掌握“形”與“數(shù)”相結(jié)合的規(guī)律與學(xué)習(xí)方法，促進(jìn)學(xué)生形成科學(xué)探索和用代數(shù)運(yùn)算方法研究幾何圖形結(jié)構(gòu)的良好習(xí)慣，培養(yǎng)學(xué)生正確的學(xué)習(xí)方法、研究問題的基本思維方法，加強(qiáng)對學(xué)生深層次潛能的開發(fā)與挖掘.如利用長方體為研究載體，以長方體的頂點(diǎn)、棱、面認(rèn)識空間的點(diǎn)、線、面，借助長方體學(xué)習(xí)線線平行、線線相交、線線垂直、異面直線、線面平行、線面垂直、線面相交、面與面平行、面面相交、面面垂直等概念及其性質(zhì)與判定，利用長方體直觀理解空間的點(diǎn)、線、面間的位置關(guān)系及其性質(zhì)和判定定理；如長方體ABCD-A1B1C1D（如圖8-1），AB∥CD，AB∥面A1C1，面AC∥面A1C1，AB⊥AD，AD⊥面DC1，面AC⊥面DC1，點(diǎn)A在直線AB上，點(diǎn)A在面AC內(nèi)，直線AB與直線A1C1b異面直線.會用數(shù)學(xué)符號語言和圖形語言來表達(dá)空間的點(diǎn)、線、面之間位置關(guān)系的概念、性質(zhì)與判定，掌握并對這些結(jié)論進(jìn)行推理論證，如空間兩條直線的位置關(guān)系,如圖8-2，若b?α,c?α,b∩c=?,則b∥c;如圖8-3，若b?α,a?α,b∩a=A,則直線b與a相交于A；如圖8-4，若b?α,m?α,b∩m=?,α∩m=A,則直線b與直線m為異面直線；以長方體和空間直角坐標(biāo)系為具體載體，幫助學(xué)生發(fā)現(xiàn)立體幾何問題的解決思路.

圖8-1

圖8-2

圖8-3

圖8-4

（二）由“形”化“數(shù)”的視角

一是幾何角度研究，借助幾何直觀的“看”，分析具體問題、尋找解決問題的思路，能從幾何的角度用“形”的方式描述空間點(diǎn)、直線、平面間的位置關(guān)系，掌握在解決圖形基本問題時(shí)，按照一定的規(guī)律和步驟合理地將“綜合圖形”分解轉(zhuǎn)化為“基本圖形”進(jìn)行研究基本常規(guī)法.

例1 一個(gè)長方體密封盒（如圖9），其中AB=5,BC=3.CC1=2,在A處螞蟻欲爬到C1處，選擇的最短路徑.

從對已知長方體展開的平面對圖形觀察分析，提出合理猜想并進(jìn)行探究，從體驗(yàn)中思考，結(jié)合實(shí)踐操作，領(lǐng)會研究立體圖形表面路徑問題與兩點(diǎn)間距離的聯(lián)系，以及解決立體圖形表面路徑最值問題的基本思想方法，以達(dá)到提升數(shù)學(xué)應(yīng)用能力水平；二是解析幾何角度，明白解析幾何的特點(diǎn)就是把幾何圖形合理地建立在直角坐標(biāo)系中，借助“形”的坐標(biāo)表達(dá)轉(zhuǎn)化為“數(shù)”的運(yùn)算，目標(biāo)是用代數(shù)運(yùn)算解決空間圖形之間的位置關(guān)系（平行、相交、垂直）和度量關(guān)系（距離、角度、面積、體積）等,如點(diǎn)P（x0，y0）到直線l:Ax+By+C=0（A≠0,B≠0）的距離向量角度，向量的特點(diǎn)是把幾何圖形問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)運(yùn)算問題，通過代數(shù)運(yùn)算達(dá)到解決問題目的.如，給定一個(gè)點(diǎn)和一個(gè)非零向量，可以唯一確定過此點(diǎn)與非零向量平行的直線，即也可利用向量坐標(biāo)法解決兩條直線平行或垂直有關(guān)的問題等，如在直角坐標(biāo)系中，向量的坐標(biāo)等于終點(diǎn)Q坐標(biāo)(x2,y2)減去起點(diǎn)P 坐標(biāo)；向 量(x2,y2),若，則x1y2-x2y1=0；若，則x1x22+y1y2=0.無論從哪個(gè)角度研究圖形基本問題，代數(shù)主線的重點(diǎn)是從整體認(rèn)識一批基本幾何圖形及其性質(zhì)，通過對具體圖形進(jìn)行局部研究，掌握利用代數(shù)運(yùn)算來研究幾何圖形位置關(guān)系、度量關(guān)系的數(shù)學(xué)思想方法.基本幾何圖形分空間圖形、平面圖形兩部分，平面圖形主要研究直線、三角形、四邊形、圓、圓錐曲線（橢圓、雙曲線、拋物線）等基本圖形，空間圖形主要研究柱（長方體、圓柱）、錐（圓錐、棱錐）、臺（圓臺、棱臺）、球等基本圖形，圖形的基本性質(zhì)以對圖形的描述與刻畫、位置關(guān)系、度量關(guān)系為主要研究內(nèi)容，對幾何圖形的位置關(guān)系研究重點(diǎn)是平行與垂直，對度量關(guān)系的研究主要在于長度、角度、面積、體積，掌握研究圖形的基本思想方法，如綜合法、解析幾何法、向量法、分析法，從研究過程中感悟借“數(shù)”研究“形”數(shù)學(xué)思想方法的重要性，學(xué)會有邏輯地思考問題，促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的發(fā)展.

圖9

三、幾何與代數(shù)主線的育人視角

高中數(shù)學(xué)課程幾何與代數(shù)主線的單元學(xué)習(xí)是以發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)為導(dǎo)向，重視培育學(xué)生：

首先，從核心知識的視角梳理圍繞幾何與代數(shù)主線的核心概念、法則、定理等，其中一方面促進(jìn)理解運(yùn)算對象、背景、概念的形成過程、應(yīng)用形式等，認(rèn)識到運(yùn)算對象實(shí)數(shù)、復(fù)數(shù)、替代數(shù)的字母、向量等是提升運(yùn)算能力的基礎(chǔ)，理解向量與直角坐標(biāo)系是直線、曲線、平面、曲面以及高維空間數(shù)學(xué)問題的基本工具，也是研究數(shù)學(xué)領(lǐng)域其他問題的基礎(chǔ)，明確運(yùn)算對象是體現(xiàn)數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)的載體；另一方面，幫助學(xué)生更好地掌握運(yùn)算規(guī)則，針對不同運(yùn)算對象的不同運(yùn)算形式的運(yùn)算律、運(yùn)算順序，會用運(yùn)算探索圖形的位置關(guān)系和度量關(guān)系，明確運(yùn)算法則是運(yùn)算的依據(jù)，是推理的基礎(chǔ)，也保障運(yùn)算結(jié)果具有唯一的保障.如代數(shù)運(yùn)算的基本關(guān)系（結(jié)合律、交換律等）、等式性質(zhì)、不等式性質(zhì)，理解向量的符號語言、不同方式表示法、運(yùn)算法則，明確運(yùn)算律在向量運(yùn)算中的核心作用.從而領(lǐng)會了探究運(yùn)算思路是在對運(yùn)算對象深入分析、結(jié)合運(yùn)算對象靈活使用運(yùn)算法則的基礎(chǔ)上產(chǎn)生的，是解決數(shù)學(xué)問題的關(guān)鍵，體現(xiàn)數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)的精華.目標(biāo)是培育學(xué)生學(xué)會用數(shù)學(xué)眼光審視知識的發(fā)展.

其次，從數(shù)學(xué)思想方法的視角尋求幾何與代數(shù)問題解決的通性通法，會有邏輯地思考以“形”轉(zhuǎn)“數(shù)”和以“數(shù)”化“形”來解決幾何與代數(shù)主線相關(guān)問題基本策略，側(cè)重在掌握針對不同的數(shù)學(xué)和實(shí)際問題，合理選擇運(yùn)算方法，設(shè)計(jì)運(yùn)算程序，形成運(yùn)算在實(shí)際問題分類解決中的通性通法（如待定系數(shù)、換元、消元、配方等），以及應(yīng)用向量、直角坐標(biāo)系來解決現(xiàn)實(shí)生活、數(shù)學(xué)和物理問題的通法，感悟這些數(shù)學(xué)運(yùn)算的通法在解決問題中所發(fā)揮的重要作用，掌握運(yùn)用數(shù)學(xué)運(yùn)算把相關(guān)問題分類解決的通性通法，理解借助“形”方法處理解析幾何中的代數(shù)問題可使復(fù)雜問題形象化、簡單化，目標(biāo)是培育學(xué)生會用數(shù)學(xué)語言清晰、準(zhǔn)確地表述問題解決的思維過程.

然后，從向量的視角分析立體幾何的相關(guān)問題，利用向量解釋空間圖形的運(yùn)動(dòng)變換與位置關(guān)系，如借助物理學(xué)中力的合成與分解、力所做的功等為向量運(yùn)算法則的學(xué)習(xí)情境，學(xué)會用向量作為工具對數(shù)學(xué)和實(shí)際問題進(jìn)行分析、研究，探索運(yùn)算思路，體會作為工具在解決物理學(xué)及其他科學(xué)領(lǐng)域中實(shí)際問題中所發(fā)揮的重要作用與廣泛的應(yīng)用.

例2 余弦定理的證明，如圖10，已知ΔABC的兩邊CB=a,CA=b,以及兩邊夾角∠C,求邊長AB.

最后，從素養(yǎng)角度圍繞現(xiàn)實(shí)綜合問題拓展創(chuàng)新解決意識，引導(dǎo)學(xué)生用數(shù)學(xué)的思維方式對現(xiàn)實(shí)綜合問題進(jìn)行多方位、多領(lǐng)域、多角度深入思考，提出符合現(xiàn)實(shí)環(huán)境的要求、理性的、規(guī)范化、最佳解決方案，提升學(xué)生綜合素養(yǎng).

圖10

數(shù)學(xué)教育在新時(shí)代社會高質(zhì)量發(fā)展中承載著立德樹人的責(zé)任與擔(dān)當(dāng)，堅(jiān)持育人為本，明確高中數(shù)學(xué)教育是提高國民素質(zhì)面向大眾的基礎(chǔ)教育.高中數(shù)學(xué)的核心知識是進(jìn)一步學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)、物理、化學(xué)、信息技術(shù)等學(xué)科必備的基礎(chǔ)性知識，數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)成為統(tǒng)領(lǐng)數(shù)學(xué)課程目標(biāo)定位、內(nèi)容選擇、結(jié)構(gòu)的一根主線.在幾何與代數(shù)主線的教學(xué)中整體把握落實(shí)核心素養(yǎng)的總要求.重視將核心素養(yǎng)不同水平具體要求與必修、選擇性必修、選修三類課程內(nèi)容結(jié)合起來，關(guān)注核心素養(yǎng)與具體教學(xué)內(nèi)容的關(guān)聯(lián)，學(xué)會從基本圖形與圖形、圖形與方程的關(guān)系中抽象出數(shù)學(xué)概念及相互之間的聯(lián)系，形成以“數(shù)”化“形”與以“形”轉(zhuǎn)“數(shù)”相結(jié)合的思維習(xí)慣，掌握多角度研究幾何基本圖形、基本性質(zhì)的數(shù)學(xué)思維方式，提升綜合運(yùn)用幾何直觀、空間想象、代數(shù)運(yùn)算有邏輯地思考問題和解決問題的能力，培養(yǎng)規(guī)范化思考與用數(shù)學(xué)語言準(zhǔn)確表達(dá)的思維品質(zhì)和理性精神，以及一絲不茍、嚴(yán)謹(jǐn)求實(shí)的科學(xué)精神，體會數(shù)學(xué)的科學(xué)價(jià)值、應(yīng)用價(jià)值、文化價(jià)值和審美價(jià)值.