算理算法并重，提升運算能力

王良東

[摘 要]培養學生的運算能力，有利于學生更加深刻地理解算理，從而尋求合理途徑解決實際問題。以“商中間有0的除法”教學為例，探尋小學數學課堂培養學生運算能力的路徑，實現算理與算法二者的有機融合。

[關鍵詞]算理;算法;除法;運算能力

[中圖分類號] G623.5[文獻標識碼] A[文章編號] 1007-9068（2021）05-0073-02

小學數學可概括為 “數與代數”“空間與圖形”“統計與概率”和“綜合與實踐”四個板塊。無論哪個板塊的學習，都離不開數學運算，運算教學貫穿于小學數學教學的始終。新課標將“運算能力”列為數學核心素養之一。培養學生的運算能力，有利于學生更加深刻地理解算理，從而尋求合理途徑解決實際問題。然而，在教學中，教師重算法輕算理的觀念根深蒂固，加上小學生抽象思維能力薄弱，造成了學生在運算中只會“依葫蘆畫瓢”，缺乏足夠的創造性，由此制約了學生運算能力的發展。下面筆者以“商中間有0的除法”的教學為例，探尋在小學數學課堂中培養學生運算能力的路徑。

一、創設情境，引發興趣

教育家蘇霍姆林斯基曾說：“如果老師不想辦法使學生產生情緒高昂和智力振奮的內心狀態就急于傳授知識，不動情感的腦力勞動就會帶來疲倦。沒有歡欣鼓舞的心情，沒有學習興趣，學習也就成了負擔。”動機和興趣是促進學生認知發展的源泉和動力，創設教學情境是調動學生學習興趣和動機的有效路徑。關于教學情境的創設，一是可從學生身邊的實例入手。小學生以形象思維為主，對事物的認知往往離不開具體事物和具體情境的支撐。教師在教學中從學生的生活實際入手創設情境，能有效化解運算教學的枯燥乏味，激發學生學習興趣。二是創設的情境要有利于激發學生的認知沖突。“水嘗無華，相蕩而生漣漪，石本無火，相擊而生靈光。”認知沖突能使學生意識到原有的知識無法解決新問題，從而將學生置于“憤悱”狀態，真正激發學生的學習動機。

師：有345個桃子，平均分給3只猴子，每只猴子能夠分到多少個桃子？

生1：345÷3=115（個）。

師：現在改一下題目：有315個桃子，平均分給3只猴子，每只猴子能夠分到多少個桃子？

生2：還是用除法計算。315÷3……

師：你在計算中遇到了什么問題嗎？

生2：我發現十位上的1除以3不夠除。

“轉軸撥弦三兩聲，未成曲調先有情。”教學中，教師首先創設了“猴子分桃子”的情境，調動了學生的學習興趣，為枯燥單調的運算教學加入了“調味劑”;其次，教師以復習舊知入手，找準學生的思維起點，巧妙地變化題目，引發學生的認知沖突，使學生產生學習的需求，從而找到學生思維的發展點。

二、理解算理，初識算法

新課標指出，計算教學要引導學生理解算理，掌握算法，通過必要的練習逐步達到教學要求。可見，計算教學不僅要使學生掌握算法，形成技能，更重要的是讓學生理解算理，在充分理解的基礎上構建算法。要提升學生的運算能力，正確處理算理和算法的關系至關重要。從概念上來看，算理指的是計算過程中的道理，它是運算的理論依據，解決了“為什么這樣算”的問題;算法即計算的法則，它是運算的操作程序，解決了“怎么算”的問題。目前，運算教學普遍存在以下兩種傾向：一是受傳統應試教育的影響，教師過分關注運算結果和運算速度，對于算法背后的算理缺乏足夠的重視，由此出現了重算法、輕算理的傾向;二是片面追求對算理的論述和講解，不但增加了學生的思維負擔，還造成了學生計算技能的停滯不前。算理和算法是運算的兩個重要方面，同等重要，不可偏廢其一。一般情況下，運算能力的形成往往從理解算理開始，由于算理具有較強的抽象性，這對于以形象思維為主的小學生而言是個不小的挑戰。兒童心理學家皮亞杰指出 ：“ 要認識一個客體 ，就必須動之以手。”因此，教師可引入數學操作來化解算理的抽象性，以加深學生對算理的理解，從而提升運算教學的實效。

師：誰能用自己的方法計算出315÷3？

生1：可以把它轉化為我們學過的內容。300÷3=100，15÷3=5，100+5=105。

生2：這樣計算比較麻煩，還是列豎式計算更加方便。

師：我們在闡釋計算過程時，經常會采用擺小棒的辦法。同學們能嘗試用擺小棒的方法驗證315÷3的計算過程嗎？

生3：需要315根小棒，數量太多了。

師：該如何解決這個問題呢？

生4：用一個筆筒來代表100根小棒，這樣，315根小棒就是3個筆筒、1捆小棒、5根小棒。

師：請同學們以小組為單位，用擺小棒的辦法來演示除法的計算過程。

生5：把315根小棒平均分成3份，首先把300根小棒（3個筆筒）平均分成3份，每份就是100根小棒（1個筆筒），由于1捆小棒不夠平均分成3份，所以把十位上的1拆開加上剩下的5根小棒，這樣一共是15根小棒，把這15根小棒平均分成3份，每份是5根小棒。因此，每份是100+5=105（根）小棒。

師：同學們還有什么疑問嗎？

生6：為什么要把1整捆的小棒拆開呢？

生7：因為只有一捆小棒，不夠分成3份。（每份需是整捆）

生8：把這捆小棒拆開，和剩下的5根小棒結合起來，就能夠分成3份了，每份是15÷3=5（根）。

生9：為什么不是15根，而是105根呢？

生10：因為一個筆筒代表了100根小棒，而不是10根，所以最后的結果肯定大于100。

理解算理是提煉算法、形成運算技能的基礎和前提。教學中，教師引導學生通過擺小棒的方式把抽象的除法變成直觀生動的“平均分”的過程。在分小棒的過程中，學生主要解決了兩個問題：一是小棒的數量問題。由于需要的小棒較多，學生創造性地提出用筆筒代表100根小棒，這就使得操作過程大大簡化;二是十位不夠商1的問題。1捆小棒不能分成3份（必須是整捆），因此需要把這捆小棒拆開，與另外5根小棒合并，從而把這15根小棒平均分成3份，這是學生理解“商的中間有0的除法”的關鍵所在。

三、概括算法，形成技能

數學特級教師曹培英認為，算法和算理是運算能力的一體兩翼， 尤其是在小學數學教學中， 兩者相輔相成， 不可偏廢。因此，學生僅僅理解了算理還不夠，教師必須溝通算理與算法的聯系，引導學生從算理中提煉出算法。只有這樣，才能有效促進算法的生成，并最終促進運算技能的發展。算法是人們經過長期的實踐探索逐漸優化而成的，它經常表現為一種有著嚴密規范的操作性程序。實現從算理到算法的過渡，教師可從以下三點進行把握：一是算法的生成必須以透徹理解算理為基礎。如果學生不能充分理解算理，所習得的算法必然是膚淺的、機械式的，缺乏靈活性和創造性的。二是準確把握歸納算法的時機。如果提煉算法過早，學生對算理的理解不透徹，會影響學生對算法的把握，如果遲遲不提煉算法，使學生在算理中盤桓不前，就無法形成真正的運算技能，運算教學就會淪為“紙上談兵”。三是引導學生借助數學語言歸納算法。學生不但要會用算式演算，還要懂得其中的道理，能夠用數學語言表達出每一步的含義，唯有如此才算得上真正的理解。

師：同學們能夠根據剛才的擺小棒過程，并結合學過的列豎式的經驗，自己“發明”出315÷3的豎式嗎？

（學生嘗試書寫豎式，教師收集了3種學生書寫的算式）

師：這3種豎式中，哪一種是正確的呢？

（學生認為圖3是正確的）

師：前兩種豎式演算錯在哪里？

生1：圖1中，商中的5應該寫在個位上，因為最后是把15根小棒分成3份，每份是5根，如果像圖1那樣寫在十位上，就變成50根了。

生2：圖2中，商的百位是1，個位是5，十位怎么能空著呢？當十位不夠商1時，應該用0來補齊。

師：十位上的0有什么作用？

生3：十位上的0是用來占位的。

師：你能結合分小棒的過程，說一說圖3中每一步的意思嗎？

生4：先用百位上的3除以3，商1個百，所以把1寫在百位，這就相當于把300根小棒（3個筆筒）平均分成3份，1份是100根小棒（1個筆筒）;再用十位上的1除以3，不夠商1，就把這個1退位與5合在一起變成15，15除以3商5，把5寫在個位上，這就相當于把1整捆小棒拆開，與剩下的5根小棒合成15根小棒，然后平均分成3份，每份是5根小棒。由于十位上沒有數，所以用0來占位。

教學中，教師把分小棒的過程與算式演算緊密結合，打通了理解算理與構建算法之間的關聯，使得算理與算法之間的聯系變得順暢起來。學生把算法中的步驟與小棒操作聯系起來，使得算法中的每一步都有章可循，使得抽象的豎式變得生動起來。

學生運算能力的培養和提升不能一蹴而就。隨著年級的增加，數學計算變得越來越復雜，學生可能會遇到各種新問題。但是，運算教學是有章可循的，只要教師兼顧算理與算法，實現二者的有機融合，就能夠促進學生運算能力的提升。

（責編 羅 艷）