莫讓“未卜先知”架空操作效力

劉亞東

[摘 要]自己動手得出的結論是最有說服力的，也是最有科學效力的，但是對于一些顯而易見的定理，學生通過預習早已能直接套用其形式，帶著未卜先知的結論去操作，學生就會投機取巧，架空操作的效力。教學 “三角形的內角和定理”時，教師通過調研分析的結果改良教學，取得了很好的教學效果。

[關鍵詞]操作;三角形的內角和;測量

[中圖分類號] G623.5[文獻標識碼] A[文章編號] 1007-9068（2021）05-0021-02

三角形的內角和定理是深入研究三角形的理論基礎。課本先讓學生測量各類三角形的內角，分別計算出各類三角形的內角和，再自主猜想任意三角形的內角和都為180°，接著指引學生用拼接法來證實猜想，進而得出確切結論。由于該內容非常適宜操作驗證，因此它成了許多教師展示課的首選，然而操作起來卻意外頻發：如讓學生用測量角度的方法探尋三角形內角和規律時，學生都說是180°，鮮有179°或181°等情況出現，導致教師找不到反例，也沒有可以對照辨析的錯誤資源。

一、教學實錄

師（課件展示3個三角形，形狀分別是鈍角三角形、銳角三角形與直角三角形）：憑肉眼觀察，哪個三角形的內角和最大？

生1：我覺得它們3個的內角和是相等的。

生2：我也同意這種說法，因為已知四邊形的內角和是360°，將四邊形沿對角線切分，得到2個三角形，就能順利得出1個三角形的內角和就是四邊形內角和的一半，也就是180°。

師：任意1個三角形都能通過分割四邊形得出嗎？每個三角形的3個內角都一樣嗎？

生（齊）：不是。

師：那怎么求出其內角和呢？

生3：測量。

師：怎樣量呢？

生4：用量角器量。

師：老師有個要求，就是每位組員可以自由發揮，繪制一個不限形狀的三角形，精確測得各個內角的度數后，如實記錄數據。

師：測量要實事求是，不準弄虛作假。4分30秒后開始匯報。

生5：我畫的是1個鈍角三角形，鈍角度數為170°，其余兩個銳角的度數各是5°和5°，合計180°。

生6：我畫的是1個直角三角形，毫無疑問，直角當然是90°，其中一個銳角是45°，另一個銳角也是45°，三個角相加為180°。

生7：我畫的是1個銳角三角形，三個角全是銳角，度數各是80°、34°、66°，三個角相加也是180°。

生8：我畫的也是1個直角三角形，直角當然是90°，剩余兩個是銳角，各是58°和32°，3個角相加也是180°。

師：同學們真是手腳麻利！通過親自測算，發現了一個重大秘密，那就是任意一個三角形的內角和均為180°，有沒有與180°不同的結果呢？

生（齊）：沒有！

師：真的沒有嗎？

生（齊）：沒有！

師：我發現一例。請這位同學來說說他的讀數和計算結果。

生9（慢吞吞地）：我量的3個角的大小各是110°、34°、34°，三個角相加為192°。

師：不對吧！110°+34°+34°=192°嗎？應該是178°吧。

師：其他同學有不同結果嗎？

生（齊）：沒有！

生10：我懷疑他量錯了。

師：今天我們能將所有三角形全部畫出來檢測嗎？（不能）我們班有多少人？（48人）三角形千千萬萬，不計其數，各種形狀應有盡有，內角和是否都是180°呢？有沒有例外？

生（齊）：沒有！

生11：我懷疑生9畫三角形時，一個角沒有連接密實，以前我也犯過這種錯誤，但是量的結果都是180°。

師（欣喜地）：同學們，測量誤差在所難免，得到的數據和結果相應地就會失實，看來用量角器測量也有缺陷，接下來我們撤除量角器。棄用量角器后，能改用其他方法證實三角形的內角和是180°嗎？

……

二、調研分析與改良措施

1.調查分析

學生測算的結果出奇地統一，都為180°，當真是“人人得手”嗎？筆者對四年級兩個班110位學生進行了兩次調研。

第一次是讓學生分別測出圖1左端單列的6個角的大小（其中∠1、∠2、∠3與①號三角形的三個內角大小吻合;∠4、∠5、∠6與②號三角形的三個內角大小吻合）。

第二次是讓學生測出圖1右端的①和②號兩個三角形的三個內角的大小。

度量結果如下表：

由此分析，第一次測量結果科學可靠，有18位學生量得①號三角形對應內角的和為180°;有23位學生量得②號三角形對應內角的和為180°，得出兩個都是180°的有6位學生。有些學生盡管測算得到180°的角度總和，但是具體到每個角的度數還是存在微小誤差。第二次測量的結果可信度很低。有些學生投機取巧，只量出兩個內角的度數，再用預知的總和180°作差，推算出第三個角的度數。這種因果顛倒、循環論證的做法，歸咎于學生測量前預先知道三角形內角和為180°的定理。如果操作得出的與這個理論的結果有出入，為了掩蓋失誤，逃脫責罰，學生就會偷偷篡改實驗數據。因此，在課堂教學中，尤其是公開課上，很少有學生愿意丟丑露拙，會極力否認自己測的不是180°。有些學生則為了迎合老師，也會違心地說出自己測量的結果是180°。

2.改進策略

師：請大家完成課堂練習第1題（量出圖1中的6個角）。認真測量，不得有誤，測量后匯報（先匯報∠1、∠2、∠3三個角的度數，再匯報∠4、∠5、∠6三個角的度數）。

生1：∠1=54°，∠2=80°，∠3=48°。

生2：∠1=52°，∠2=79°，∠3=50°。

生3：∠1=50°，∠2=80°，∠3=50°。

生4：∠1=55°，∠2=80°，∠3=79°。

生5：∠4=40°，∠5=110°，∠6=35°。

生6：∠4=40°，∠5=106°，∠6=35°。

師：方才我們測量的∠1、∠2、∠3的大小與①號三角形的三個內角相吻合;∠4、∠5、∠6與②號三角形的三個內角相吻合（課件動態演示），請大家再次測算它們的內角和是多少？

（學生計算后匯報;全班約有75%的學生沒有得到180°，但是基本都在175°與180°之間;個別學生讀數時，張冠李戴，得到200多度的結果）

師 （指著課件上的兩個三角形） ：為什么我們測算的結果五花八門呢？

生7：可能是讀數失誤。

生8：也可能“兩點”（量角器的中心點與角的頂點）未能嚴格對準，“兩線”（量角器的0刻度線與角的邊線）沒有重合……

師：在度量的時候，微小的誤差在所難免。那么，除了測算，你還有別的方法來證實三角形的內角和是180°嗎？

……

三、讓動手操作成為一種心甘情愿之舉

學生已經提前獲知三角形的內角和是180°這個結論，再讓學生去測算三角形的內角和，只會使學生喪失操作的興趣和動機，就會有一些學生投機取巧，違規操作，量出兩個角的度數后，推算出第三個內角的度數，假冒是測量的結果;一些學生眼見得不到180°，于是進行重新測量，東拼西湊，削足適履，勉強得出180°。這樣一來，動手操作就形同虛設。因此，筆者在兩次調查分析的基礎上，調整思路，改進教學設計：沒有固執地要求學生量三角形的三個內角，而是先把三角形的三個內角分割出來，讓學生盡興“盲測”，再揭曉真相——它們分別對應三角形的三個內角，這樣的操作迫使學生只能老老實實測量度數，按部就班計算角度和，并且意識到不認真操作得不出180°這個結論，斷了他們弄虛作假的后路，從而激發了他們另辟蹊徑的決心，調動他們尋覓其他驗證方法的積極性與主動性，操作的必要性呼之欲出。

有的學生把矩形分割成兩個全等的直角三角形，推知內角和是180°;有的學生利用三角板的固有度數，計算內角和;有的學生分別在鈍角三角形、銳角三角形內作高，分割成兩個直角三角形，推理出其內角和也是180°……在此基礎上，只需要引導學生大膽想象：如果把三角形的三個內角剪切下來，拼接在一起，會得到什么角呢？這樣，師生自然配合默契，合作愉快。

因此，操作材料要精耕細作，只有打造精品，才能讓“動手”成為“甘心情愿”，甚至“求之不得”之舉。

（責編 金 鈴）