參數選擇與運算繁簡的關聯度初探

王海棠　劉新春

[摘 要]平面解析幾何中，一個常見的策略就是假設參數來表示題目中的相關量.但不同的參數對運算的繁簡影響很大，這就需要合理假設參數優化運算.研究選擇參數的方法，分析參數對運算量的影響，指導學生根據題意合理選擇參數，能提高學生的解題速度.

[關鍵詞]解析幾何;參數;選擇

[中圖分類號]? ? G633.6? ? ? ? [文獻標識碼]? ? A? ? ? ? [文章編號]? ? 1674-6058（2021）08-0010-03

在求解平面解析幾何問題的過程中，一個無法回避、令人頭痛的問題是如何假設參數.設立參數是為了將問題中的幾何條件用數量關系來表示.通常有假設直線的斜率（斜率參數）、假設動點坐標（坐標參數）、假設角度（角度參數）和假設線段的數量（數量參數）四種方法.實踐與研究表明，選擇不同的參數往往會產生不同的運算量，那么，它們之間的關聯度到底如何？

從以上5種方法我們還可以看到，在解決解析幾何問題的過程中，運算量是怎樣產生增加的.

（1）聯立方程組解交點坐標.

（2）動點坐標為兩個及以上的參數所表示的代數式尤其是分式，表示直線方程和進行其他運算.

（3）基本量或直線（曲線）方程形式用多個字母及復雜的分式、根式表示時，如三角形的面積、線段的長度.

（4）復雜的消元過程導致運算量增大.

（5）問題本身條件眾多，絕對計算量大.

綜合分析假設參數與運算量形成原因之間的關系，我們對如何假設參數有以下啟示.

（1）如果假設直線斜率為主參數，并用于表示其他動點坐標和數量關系，如果不需要聯立方程組解交點坐標，則不會增加過多運算量.

（2）如果能直接運用動點原始坐標（單個字母）表示數量關系，其結果形式比較簡單;若設立坐標參數表示的數量關系中一個字母[x（y）]只含有二次項，則可以運用圓錐曲線的方程消去參數，此時則宜設動點坐標為主參數，其運算量相對減少.

（3）通常可以先同時設立直線的斜率參數和坐標參數，然后分別用這些參數表示題目條件并轉化為數量關系，比較哪種參數對應的數量關系運算量少、形式簡單，就以此種參數為主參數表示另外的參數和數量關系.

（4）參數的選擇對解題過程的運算量大小有直接的影響，但有些運算量并不是因為設立某種參數造成的.假設任何參數都有一定的運算量，但可以通過一些技能技巧簡化形式，減少運算量.如能不解方程組盡量不解，直接假設坐標參數為主參數，盡量不設斜率參數表示交點坐標，對于表示長度、面積以及復雜的分式根式，能整體代換盡量不化整為零，對于復雜的分式能分解因式盡量不要先行展開，以便分母、分子約去公因式，化簡到最后再代入求值.假設參數不需要求出結果的盡量設而不求.