例談高中數學結構不良試題的答題策略

北京市房山區教師進修學校(102401) 盧寒芳

1965年,Reitman 首次從認知心理學的角度區分了良構問題和劣構問題.數學學科中結構不良問題具有條件或數據部分缺失或冗余、解決方案多樣、結果開放等特點,其解決過程能有效激發學生的求知欲,幫助學生多角度把握問題本質,追尋知識背后的價值,形成跨學科綜合解決問題的關鍵能力.解決結構不良問題對考查學生的素養和能力,促進學生素養的養成和能力的提升具有深遠意義[1].近幾年的高考數學試題中出現了多種結構不良的試題,本文結合具體例題對結構不良試題的答題策略進行探討分析,希望能夠提升學生解決此類問題的能力.

1 舉例子,否定原命題

例1(2018年高考北京卷理科第13 題) 能說明“若f(x)> f(0)對任意的x ∈(0,2]都成立,則f(x)在[0,2]上是增函數”為假命題的一個函數是____.

分析本題考查函數的單調性和全稱量詞的否定.考查的方式比較新穎,結論具有開放性.要說明一個命題是真命題需要論證,而要說明一個命題是假命題只需要舉一個反例,這就要求學生具備一定的邏輯推理能力, 而且要開拓思維,打破常規,利用已學知識去尋找解決問題的不同的方法.本題需要構造一個滿足“對任意的x ∈(0,2],有f(x)> f(0),但是f(x) 在[0,2] 上不是增函數”這樣條件的函數, 顯然答案不唯一.滿足這一條件的函數類型很多, 如二次函數y=a(?x2+3x)+b(a>0),三次函數y=?x3+5x,三角函數y=超越函數y=,分段函數等都可以.這個題目給學生創造了一個很好的展示自己廣闊思維的平臺.

答題策略相當多的同學還是選擇構造比較熟悉的二次函數和三次函數類型.其實我們學過的基本初等函數y= sinx就是符合條件的,但做題時第一時間想到它的同學卻不多.這也提示同學們作答開放性試題需要有知識的積累和做題經驗的積累.同學們在平時做練習時如果遇到開放性試題或者一些新題,一定要舍得花時間思考,可以嘗試猜想、構造、推理、探究,論證,也許會走一些彎路,也許最后也沒找到答案,但這個思考的過程卻豐富了解題經驗,拓展了思維視角,為考場上的靈活作答奠定了基礎.

2 組合條件,構成新命題

例2已知α、β是兩個不同的平面,m、n是平面α及平面β之外的兩條不同的直線, 給出五個論斷: 1○m⊥α,2○n//α, 3○n⊥β, 4○m⊥n, 5○α⊥β.請選取其中的兩個論斷作為條件,一個論斷作為結論,寫出你認為正確的一個命題____.

分析本題考查線線、線面、面面的位置關系,考查直線與平面平行、直線與平面垂直、平面與平面垂直的判定及性質,考查運用符號語言進行交流表達的能力,考查邏輯推理、直觀想象等數學核心素養.從5 個論斷中選擇3 個構成命題,然后根據所學的直線與平面平行、直線與平面垂直、平面與平面垂直的相關定理找到一個正確的命題,對學生的綜合解題能力要求較高.這五個論斷可組成10 個命題,且正確的命題不止一個,解題時不必把所有正確的命題都找出,只寫出一個即可.“m ⊥α,n//α,則m⊥n”,“m ⊥α,m ⊥n,則n//α”,“α ⊥β,n ⊥β,則n//α”,“n ⊥β,n//α,則α ⊥β”這四個命題都是正確的.但部分學生此題作答空白或者寫的答案沒有邏輯關系,說明只是靠直觀感知判斷,沒有一定的邏輯推理基礎,而且對基本的判定定理和性質定理掌握不到位.

答題策略本題的特點是題設、結論都不確定或不太明確,需要對所給的命題重新組合構成新的命題,然后逐一驗證.對于這類給出了一個特定的情境,而命題的條件、結論及推理論證的過程均不確定的開放性試題,應該靈活運用數學知識,回顧相近的題型、結論、方法,進行類比猜想.熟練掌握空間直線與平面平行、垂直關系的判定定理、性質定理及幾何特征是解答本題的關鍵.很多同學的答案是把組成的命題轉化成了文字語言表述,足見其立體幾何中文字語言、符號語言、圖形語言三種語言相互轉化的基本功非常扎實.

3 作出判斷,說明理由

例3(2019年高考北京卷理科第17 題)改革開放以來,人們的支付方式發生了巨大轉變.近年來,移動支付已成為主要支付方式之一.為了解某校學生上個月A,B 兩種移動支付方式的使用情況,從全校學生中隨機抽取了100 人,發現樣本中A,B 兩種支付方式都不使用的有5 人,樣本中僅使用A 和僅使用B 的學生的支付金額分布情況如下:

支付方式支付金額(元)(0,1000](1000,2000]大于2000僅使用A 18 人9 人3 人僅使用B 10 人14 人1 人

(Ⅲ)已知上個月樣本學生的支付方式在本月沒有變化.現從樣本僅使用A 的學生中,隨機抽查3 人,發現他們本月的支付金額都大于2000 元.根據抽查結果,能否認為樣本僅使用A 的學生中本月支付金額大于2000 元的人數有變化?說明理由.

分析本題考查概率統計知識的綜合應用,主旨是小概率事件發生了,我們怎么看待.考查學生分析和解決問題的能力,考查了學生的數據分析和邏輯推理的數學素養.本題答案比較開放, 根據數據分析“認為有變化”或“無法確定有沒有變化”都可以, 只要理由合理就行.設事件E為“從樣本僅使用A 的學生中, 隨機抽查3 人, 發現他們本月的支付金額大于2000 元”, 假設僅使用A 的學生中本月支付金額大于2000 的人數沒有變化, 由上月的樣本數據, 可得如果認為有變化,理由是P(E)很小,概率很小的事件一般不容易發生,一旦發生了,可以認為本月支付金額大于2000 元的人數發生了變化.如果無法確定有沒有變化,理由是P(E)很小,一般不容易發生,但是也是有可能發生的,所以無法確定有沒有變化.不少學生作答時把結論描述為確定結論“一定有變化”、“無變化”,或者陳述理由時缺乏數據支撐,只是感性的說可能發生或者發生的可能性小.這說明學生用概率統計的思想方法解釋隨機現象的能力都存在不同程度的欠缺.

答題策略數據分析素養與其他核心素養相比有其獨特的地方,主要表現在: 一是研究問題的基本思路不是從定義出發,而是從數據出發;而且推理的基礎不是公理體系,演繹推理,而是歷史經驗,用歸納推理;判斷準則不是對與錯,而是“好與壞”,不同的推斷方法得出不同的推斷結果.因此作出統計判斷時必須要有理有“據”,這個“據”指的就是要用“數據說話”,從而對問題作出合理判斷.同學們一定要提高自己的數據分析意識,掌握數據分析的基本方法,自覺運用概率統計的知識解釋相關的問題或者作出判斷和決策.

4 條件開放,選擇作答

例4已知數列{an}的前n項和為Sn,a1= 1,____.是否存在正整數k(k >1), 使得a1,ak,Sk+2成等比數列?若存在,求出k的值;若不存在,說明理由.

從1○an+1?2an= 0, 2○Sn=Sn?1+n(n≥ 2),3○Sn=n2這三個條件中任選一個, 補充在上面問題中并作答.

分析本題考查等差數列的定義、通項公式和前n項和公式, 等比數列的定義、通項公式和前n項和公式.學生需要在理解三個條件含義的基礎上,求出數列{an}的通項公式和前n項和公式,再根據a1,ak,Sk+2成等比數列得到關于k的方程,判斷k是否存在.本題條件開放,需要學生在三個條件中選擇一個補充后再作答.把題干的選擇權交給學生,由學生來確定解決此題的策略,對學生更具挑戰和吸引力,也充分體現了自主性.如果選擇①,由an+1?2an= 0可知數列{an}是以2 為公比的等比數列,再由題意得到關于k的方程,但方程無正整數解,k不存在.如果選擇②,由Sn=Sn?1+n可知an=n為等差數列,再由題意得到關于k的方程,可以解出k的值.如果選擇3○,需要先利用Sn與an的關系求出an,再求k的值.三個條件選擇哪一個都可以,不同的選擇導致結果可能存在,可能不存在.

答題策略在解決這類條件開放,自由選擇作答的問題時,因為條件選擇的不同,解決的辦法就有差別,可能作答的速度也就有快慢.需要同學們能夠識別問題的類型,找到條件中隱含的結論,搭建起條件和問題之間的關聯,多角度分析問題,從而找到最佳的解決問題的路徑.實際上,選擇哪一個條件都可以,但建議同學們根據自己的情況,選擇自己比較擅長或者自認為有把握的知識、思路和方法,以保證答題的準確率.

5 條件矛盾,排除作答

例5已知?ABC同時滿足下列四個條件中的三個:

(Ⅰ)滿足有解三角形的序號組合有哪些? 說明理由;

(Ⅱ)在(Ⅰ)所有組合中任選一組,并求對應?ABC的面積.

分析本題考查三角形可解的條件、同角三角函數的平方關系、正弦定理、余弦定理和三角形的面積公式, 考查學生的邏輯推理和數學運算的數學素養.本題四個條件中存在一個矛盾的條件, 需要根據三角形可解的條件進行排除.若?ABC同時滿足①, ②, 則由cosB=且B ∈(0,π),得A+B >π,顯然矛盾.所以?ABC不能同時滿足①, ②,只能同時滿足3○, ④,因此滿足有解三角形的序號組合可能為①,③, ④或者②,③, ④,還需驗證一下這兩種組合是否還存在矛盾.經驗證, 兩種組合都是可解三角形.如果選擇①,③, ④求?ABC的面積,只需用余弦定理求出c,就可以直接利用面積公式求解了.如果選擇②,③, ④求?ABC的面積,需要用余弦定理求出c,再根據同角三角函數的平方關系得到sinB,計算量稍大.

答題策略解三角形是高考必考內容之一,需要同學們分析已知與未知之間的關系,選擇合適的定理或公式解決問題,特別是題目中隱含的條件需要深入挖掘.兩邊之和大于第三邊,大邊對大角,三角形內角和為π等都是可解三角形需要滿足的基本條件.因此,根據題干中的條件進行仔細甄別,才能排除矛盾的條件,選出正確的條件.另外,靈活運用相關定理進行求解也是解答本題的關鍵,因為條件選擇的不同,解決的辦法就有差別,作答的速度也就有快慢.所以,同學們只要熟練掌握有關三角形的邊角關系及相關公式,這類需要排除條件的問題就不困難.