素養導向 深度理解
——安徽中考數學選擇壓軸題賞析及教學啟示

江蘇省常州市武進區前黃實驗學校(213172) 徐 宏

《義務教育數學課程標準(2011年版)》指出:“評價應以課程目標和課程內容為依據, 體現數學課程的基本理念,全面評價學生在知識技能、數學思考、問題解決和情感態度等方面的表現.”最值問題是中考數學中常常出現的熱門題目,近幾年安徽中考數學選擇壓軸題都是求最值問題的題目,試題設計別具匠心,很好地體現了課程標準的精神,以素養為導向,考察學生對問題的深度理解.希望通過試題賞析,能全面領會數學課程的基本理念,關注核心內容,引領并促進數學核心素養在平時的教學中落地生根.

1 試題呈現

(2019年第10 題)如圖1,在正方形ABCD中,點E,F將對角線AC三等分, 且AC= 12, 點P在正方形的邊上,則滿足PE+PF=9 的點P的個數是( )

A.0 B.4 C.6 D.8

圖1

圖2

圖3

(2017年第10 題)如圖2, 在矩形ABCD中,AB= 5,AD= 3, 動點P滿足則點P到A、B兩點距離之和PA+PB的最小值為( )

(2016年第10 題) 如圖3, Rt?ABC中,AB ⊥ BC,AB= 6,BC= 4,P是?ABC內部的一個動點, 且滿足∠PAB=∠PBC,則線段CP長的最小值為( )

2 試題解答

(2019年第10 題) 解答: 如圖4, 作點F關于BC的對稱點M, 連接CM, 連接EM交BC于點N, ∵點E,F將對 角線AC三 等分, 且AC= 12, ∴CE= 8,CF= 4,∵點M與點F關于BC對稱,∴CF=CM= 4,∠ACB= ∠BCM= 45°, ∴∠ACM= 90°, ∴EM=則在線段BC存在點N到點E和點F的距離之和最小為∴在線段BC上點N的左右兩邊各有一個點P使PE+PF= 9,同理在線段AB,AD,CD上都存在兩個點使PE+PF=9.即共有8 個點P滿足PE+PF=9,故選: D.

圖4

圖5

圖6

(2017年第10 題)解答: 設?ABC中AB邊上的高是∴動點P在與AB平行且與AB的距離是2 的直線l上,如圖5,作A關于直線l的對稱點E,連接AE,連接BE,則BE就是所求的最短距離.在Rt?ABE中,∵AB= 5,AE= 2+2 = 4,∴BE=即PA+PB的最小值為故選D.

(2016年第10 題) 解答: ∵∠ABC= 90°, ∴∠ABP+∠PBC= 90°, ∵∠PAB= ∠PBC, ∴∠PAB+ ∠ABP=90°, ∴∠APB= 90°, ∴點P在以AB為直徑的⊙O上,連接OC交⊙O于點P, 此時PC最小.在Rt?BCO中,∵∠OBC= 90°,BC= 4,OB= 3, ∴OC= 5, ∴PC=OC ?OP=2.∴PC最小值為2.故選B.

3 試題賞析

3.1 簡約親切,彰顯人文關懷

這幾個小題從表述上看,給人以簡潔明了之感,減輕了學生閱讀的負擔;圖文結合,文字簡練,表述清晰,極具簡約美.作為選擇壓軸題,選取的考察知識點是常見、常考的“點圓最值”、“將軍飲馬”模型,親切的背景緩解了中考帶來的緊張不安,從心理上給考生樹立了信心,為考生理解題意、解決問題提供了方便,有助于考生自我潛能的挖掘,也彰顯了命題組老師對考生的人文關懷.

3.2 構思精巧,凸顯核心素養

雖然這幾個小題考察知識點是常見、常考的“點圓最值”、“將軍飲馬”模型,但不是簡單的套用模型去考察學生的計算能力.如2019年山東某市中考數學選擇壓軸,只是將背景放入平面直角坐標系,再將一些條件復雜化而已.

如圖7, Rt?ABO中, ∠OBA=90°,A(4,4), 點C在 邊AB上, 且點D為OB的中點, 點P為邊OA上的動點,當點P在OA上移動時,使四邊形PDBC周長最小的點P的坐標為( )

圖7

安徽中考數學這幾個選擇壓軸題從構思上看,設計精巧,新穎巧妙,凸顯核心素養.學生面對這幾個試題時,“似曾相識”卻又“耳目一新”, 有“跳一跳, 夠得到”的沖動.如2017年第10 題,學生看到要求解的“距離之和PA+PB的最小值”,很容易想到“將軍飲馬”模型,但是那條直線在哪里呢?命題組老師巧妙的利用面積、利用平行線之間距離將直線“隱藏”了.如同: 平面直角坐標系中,已知點A(a,a),實際就是點A是直線y=x上的動點.再如2019年第10 題,此題源于“將軍飲馬”模型而又不落俗套,從封閉的“將軍飲馬”求最值問題轉化為開放的判斷點的個數問題.由模型求出最小值不是難事,但是要確定符合條件的點有幾個,則凸顯了學生的數學素養.考察學生直觀想象、邏輯推理、數學運算等核心素養和關鍵能力.學生首先通過直觀感覺對稱性,邏輯推理出點P的個數只可能是0 個、4 個或8 個.看到“滿足PE+PF=9”,也很容易想到“將軍飲馬”模型去求最小值,從而通過比較這兩個的大小來解決問題.

3.3 變中究質,追求深度理解

這幾個選擇壓軸題讓學生感覺到既熟悉又新鮮,能顯示出“穩”中不失“變”的立意,立足于學生對初中幾何知識的深刻理解,角度新穎,學生想要做出試題,就要能對問題的本質做到深度理解.如2017年第10 題,不僅考察“將軍飲馬”模型,更考察點的軌跡問題,體現了初高中的知識銜接.2016年第10 題同樣也考察點的軌跡問題,需要對定理“直徑所對的圓周角是直角”做到深度理解,反之應用,需要動手與動腦相結合.2019年第10 題更是巧妙地將正方形、等腰三角形、軸對稱、勾股定理、三角形的三邊關系等知識串聯起來,體現了形與數、動與靜之間的聯系,在常規背景中考察學生對于問題本質的深度理解.

文[3]指出: 有些地方的數學中考人為地編造“難題”,顯得很不自然,求解過程讓人很難想到,難以體現數學的學科特點和本質,無法體現解決數學問題的一般規律和通性、通法,絕大多數學生根本想不到解法,得分率非常低,如此“造題”為難學生,考試的意義何在呢? 安徽省近三年求最值問題的題目設計別具匠心,既有區分度,學習優秀的學生也能夠上手,起到了考查與選拔的作用.本人也曾在文[4]中詳細分析了一個幾何最值問題,感覺到有些幾何最值試題只是在考技巧,忽略了對數學本質的探究、理解.

4 教學啟示

中考試題都是經過命題專家在課標、教材的指引下精心設計的,只有深入其中去思考、去體會、去研究,才會發現其引導功能和教學價值,進而加深對課標和教材的理解,使教師的教學工作游刃有余.

4.1 以教材為根本,關注核心素養

中考試題的是以《義務教育數課程標準(2011年版)》標準命制,以教材為根本,根據初中學生的生理、心理特點等來命制,很多題目的情境或原型都來自教材.如同“點圓最值”、“將軍飲馬”模型的題目在人教版、蘇科版等全國各種版本教材中都可以找到.但是中考試題通常是以教材例習題為“背景”,經過了命題組老師的巧妙構思編擬而成的,它們源于教材,又高于教材.這就啟發我們在教學中,要關注課程標準,回歸教材,關注基礎知識的落實,同時更要關注學生的核心素養.引導學生努力探索問題的“衍生點”;創造性地使用教材,開發豐富有效的課程資源,引導學生進行探究性學習,在例習題及中考題的探究中理解問題本質,在此基礎上尋找知識的“生長點”.

4.2 積累活動經驗,引導感悟思想

《義務教育數課程標準(2011年版)》把原來的“雙基”擴充為“四基”,數學活動經驗的積累與數學思想方法被提到了新的高度.如同這幾個中考數學選擇壓軸題對學生思維的深度與廣度都有一定的要求.因此,在教學中教師不能以解決問題作為教學的終結點,而應將數學基本活動經驗的積累貫穿于教學過程中,要注重直觀想象、邏輯推理、數學建模等核心素養的培養,讓學生在學好基礎知識、掌握基本技能的同時不斷積累活動經驗,并且能夠運用實踐,內化為自己的知識經驗.同時,數學思想方法更應滲透在數學教學的整個過程之中.教師在教學中要重視對常用數學思想方法的滲透、總結與提煉,要結合典型問題的研討,多給學生獨立思考、自主探索的時間與空間,抓住一題多解、多題一解、一題多變的特點,引導學生不僅要學會知識的應用,更要領悟知識應用中的數學思想方法,形成應用數學思想方法解決問題的自覺意識,提高用思想方法進行數學思考的水平.

4.3 培養思維能力,形成數學素養

《義務教育數學課程標準(2011年版)》提出“數感”“符號意識”“幾何直觀”“推理能力”“運算能力”等10 個核心詞,《普通高中數學課程標準(2017年版)》又提出數學抽象、邏輯推理、數學建模、直觀想象、數學運算和數據分析這六個數學學科核心素養,學生的數學素養是多種能力及意識的綜合表現,這要求我們在教學中要通過一個個數學探究、數學實驗、數學應用等逐漸培養能力,形成學生的數學素養.具體到解題教學中,教師要專研教材,創設開放性問題,一題多變,一題多解,多解歸一,這有助于培養學生思維的深刻性、靈活性、嚴密性、創造性和批判性.