“高觀點”下柯西不等式的應用探究*

湖南省婁底市湖南人文科技學院(417000) 莫元健 龍承星

柯西不等式作為高中數學新課程中的新增內容,其形式簡潔,應用廣泛,極具解題魅力.近年來,無論是高考試卷還是數學不同學科的題目中都越來越多地出現了與柯西不等式相關的題目.用高等數學中柯西不等式的思想滲透到中學數學中,對解決中學數學中某些不等式的證明或靈活并巧妙地在不同數學學科中應用柯西不等式,將得到出奇制勝、事半功倍的效果.

1 柯西不等式

1.1 柯西不等式的定義

在中學中我們熟知柯西不等式的左邊是平方和的乘積,右邊是乘積和的平方.但在高等數學中,柯西不等式這一定義表達形式將得到延伸,它不僅形式多變,其應用范圍也從中學中二維形式、三維形式演變成高等數學的向量、積分等形式.

柯西不等式不同形式的推廣,是求解常見不等式問題的過渡橋梁,柯西不等式在中學數學和高等數學中都有著明確定義,如表1 所示:

1.2 柯西不等式的應用范圍

柯西不等式被廣泛應用于初等數學、高等代數、微積分、線性代數、概率論等領域,其在不同領域有不同形式[2].柯西不等式有很多種證明方法,不同方法優劣不一,我們在認真了解不同方法證明的條件和特點的同時可推出柯西不等式的各種推廣公式.

表1 柯西不等式的形式比較

形式上: 靈活巧妙地運用柯西不等式能解決不等式證明、三角形求解、最值求解、方程求解等問題.更精彩的是可以利用柯西不等式得出的推廣公式以簡捷和嚴謹的方式來解決其它公式不容易解決的實質性問題.

結構上: 呈對稱性,柯西不等式在代數學、幾何學中都得到廣泛的應用.數學工作者對有關柯西不等式的鉆研與適用的范圍不斷拓展,方法層出不窮,使柯西不等式得到了豐富與發展[3].

1.3 幾何圖形視角中的柯西不等式

2002年北京國際數學家大會的會標“趙爽弦圖”引入了幾何圖形[4],該幾何圖形中隱含不等關系:a2+b2≥2ab,以圖1 為例,我們設由拼接所構成的平行四邊形它的一個內角為θ,則

圖1 趙爽弦圖

從另一方面可得到:

由①②可得:

兩邊平方即可得到

當且僅當sinθ=1,即θ=90°時取到等號,此時兩個直角三角形相似,可得到等號成立的條件是ad=bc.

2 柯西不等式在中學數學教學中的應用

柯西不等式為不等式選講的第三講內容,在中學教材中承前啟后,應用柯西不等式能處理中學中一些典型的數學問題.特別是在不等式的證明中,如果適時巧妙地引入柯西不等式,不僅簡化解題過程,而且對解題有很大的幫助.

2.1 柯西不等式在不等式證明中的應用

利用柯西不等式證明不等式的關鍵是恰當構造變形,化為符合它的形式,當一個式子與柯西不等式的左邊或者右邊具有一般形式時,就可以使用柯西不等式進行證明[5].

例1(2017-高考江蘇卷) 已知a,b,c,d為實數,且a2+b2=4,c2+d2=16,證明ac+bd≤8.

證由柯西不等式可得:(a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd)2(a,b,c,d ∈R), 因為(a2+b2)= 4,(c2+d2)=16,所以(ac+bd)2≤64,所以ac+bd≤8.

小結很多重要不等式都可由柯西不等式證明,而且利用柯西不等式很容易將一些簡單不等式推廣.在應用柯西不等式時,要注意右邊為常數且應留意等號成立得條件.

2.2 柯西不等式在數列求解問題中的應用

在高考中柯西不等式和數列構造法結合常常貫穿于求解數列題目中,旨在展現柯西不等式在解決數列問題中的廣泛運用,如下簡要分析的等比數列題目運用等比數列構造法和柯西不等式背景下解題的典型例子.

例2(2008-陜西省高考卷) 已知數列{an}的首項為:(n=1,2,...),證明a1+a2+...+

證先求出通項公式an, 再借助柯西不等式進行放縮.由已知得所以數列是等比數列, 公比為首項為,于是故記

由柯西不等式得a1+a2+...+an=≥

小結柯西不等式和數列構造法聯合求解是一種打破數學一貫的解題思路,通過觀察、聯結、構造出滿足解題條件的數學對象,能將復雜問題簡單化的一種解題方法.掌握構造法對提升學生思維的創新性、靈活性都有十分重要的意義[6].

2.3 柯西不等式在三角問題中的應用

在解答三角問題時,很多同學往往只會就題論題,快速的寫出答案了事,忽略了數學問題應該善于發揮,擴展思路,一題多證.就題論題會使學生頭腦中的知識散亂,形不成系統,致使學生的空間思維縮小.柯西不等式在解決三角問題的方法中也頻頻涉及.

例3設P是?ABC內的一點,x,y,z是P到三邊a,b,c的距離,R是?ABC外接圓的半徑,證明

證由柯西不等式得:

記S為?ABC的面積,則ax+by+cz=2S=

故不等式成立.

小結三角問題通常包含三角不等式,三角方程,三角極值等,在一些三角問題中,為了應用柯西不等式我們創造必要條件,從而引進一些待定參數,其值得確定也由題設或者由等號成立的充要條件共同確定,由此三角極值問題我們可以反復應用柯西不等式進行解決[7].

2.4 柯西不等式在方程問題解決中的應用

柯西不等式也常常應用在解決方程問題中,使得計算更為簡便快捷.

例4(2017年全國高中數學聯賽陜西省預賽) 若實數a,b,c滿足a+2b+3c= 6,a2+4b2+9c2= 12,則abc的值是:____.

解由題設和柯西不等式得36 = (a+2b+3c)2≤(12+12+12)(a2+4b2+9c2)= 36, 當且僅當a= 2b=3c=即a=2,b=1,c=時等號成立,所以abc=

例5解方程組

解原方程組可化為運用柯西不等式得兩式相乘, 得(x2+y2+z2)·(x2+w2)≥486,當且僅當x=y=z=w時取等號.故原方程的解為x=y=z=w=3.

小結巧用柯西不等式求解無理方程,是先把方程(含有無理式)應用柯西不等式化為不等式,而后聯合原方程把不等式又化成等式,在判定為等式之后再利用柯西不等式取等號的共性, 求得與原方程同解且比原方程簡單的無理方程,進而得到簡單的整式方程,從而求得原方程的解[8].

3 柯西不等式在高等數學中的應用

教師教學與學生學習的目的是通過學習理論知識轉化成自己的思想,在實踐中能夠學以致用,從而達到鍛煉自己的思維能力.

我們在實踐教學中通常通過利用柯西不等式求參數的取值范圍、證明等式的成立、解決極值問題來推廣柯西不等式在高等數學中的具體應用[9].學生通過不同題型的訓練自己具備分析的能力.

3.1 柯西不等式在線性代數中的應用

一般線性代數或高等代數教材中往往涉及柯西不等式的內容.

定理1設α=則(α,β)2≤(α,α).(β,β).

證若α為零向量, 結論顯然成立; 設α為非零向 量,對任意的t ∈R,有(tα+β,tα+β) ≥ 0, 即(α,β)t2+2(α,β)t+(β,β)≥0,因為(α,α)>0,所以?=4(α,β)2?4(α,α).(β,β)≤0,故(α,β)2≤(α,α).(β,β).

小結一般線性代數或高等代數教材通常是利用向量α,β的線性 組 合α+tβ來構造內積, 而由內積(tα+β,tα+β)的非負性,證得柯西不等式.

3.2 柯西不等式在空間解析幾何中的應用

柯西不等式不僅形式優美,而且應用非常廣泛,不但可以解決代數中重要不等式問題,而且還能解決解析幾何中的有關問題,本文例析空間解析幾何中的柯西不等式問題的應用如下.

定理2[10]設a,b為兩個向量,則|a·b|≤|a|·|b|.

證設a,b的夾角為θ, 則a·b=|a|·|b|cosθ, 因為|cosθ|≤1,所以|a·b|≤|a|·|b|.

例6求的最大值與最小值.

解令向量a=(2 sinθ,b=(1,sin?,cos?),由柯西不等式

小結柯西不等式在結構上對稱,無論是在代數學中,還是在幾何學中都得到廣泛的應用,柯西不等式能有效解決解析幾何中問題.

3.3 柯西不等式在定積分中的應用

柯西不等式有各種各樣的類型,在不同的數學領域中都有著極其廣泛的應用.它在定積分中也廣泛應用著.

定理3設f(x),g(x)在[a,b]上連續,則有

證若f(x)≡0 時,結論顯然成立;設f(x)不恒為零,則對任意的t ∈R,由[tf(x)+g(x)]2≥0得f2(x)t2+f(x)g(x)t+g2(x)≥0,兩邊在[a,b]上關于x積分得

例7設f(x),g(x)在區間[a,b]上均連續,證明:

證(1)對任意實數λ,有即左邊是一個關于λ的二次多項式,它非負條件是其判別式非正,即從而本題得證.

小結柯西不等式不同的形式和內容對應于不同的數學領域,其能啟發人得到靈活多樣的證明思維,但其本質是不變的,所以這些都充分體現了數學各領域間的內通行、滲透性和統一性.在定積分中亦如此[11].

4 高等數學中柯西不等式的思想和方法對中學數學解題的指導

柯西不等式是高等數學中重要的不等式,并且在初等數學中也有著廣泛的應用,對初等數學的解題有很大幫助.

例8設x,y,z ∈R,2x ?y ?2z=6,試求x2+y2+z2的最小值.

解考慮以下兩組向量u= (2,?1,?2),v= (x,y,z),根據柯西不等式(u·v)2≤|u|2·|v|2,有

即(2x ?y ?2z)2≤9(x2+y2+z2),將2x?y ?2z=6 代入其中,得36 ≤9(x2+y2+z2),而有x2+y2+z2≥4,所以x2+y2+z2最小值為4.

例9證明n個實數平方的平均數不小于n個數的算術平均數的平方, 即若a1,a2,...,an ∈R, 則有

證有柯西不等式變形得

小結這是我們初等數學中, 常用得不等式, 而此題將初等數學中得“算平均”,“幾何平均”問題擴展到了“二次冪平均問題”, 即≤這不僅拓寬了中學生得知識面,而且為許多不等式開辟了一條新路.

5 結語

柯西不等式在整個數學體系中占有非常重要的地位.實踐教學中要引導學生深入了解柯西不等式的定義,理解柯西不等式的證明.學生在學習過程中要注重鍛煉自己的邏輯思維能力與發散思維能力,并能夠運用多學知識解答試卷試題,甚至能夠啟發自己得思維在實踐生活中予以應用.